Table Of ContentLectu re Notes in
Operations Research and
Mathematical Systems
Economics, Computer Science, Information and Control
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. KUnzi, ZUrich
Series: Institut fur Gesellschafts- und Wirtschaftswissenschaften
der Universitat Bonn. Advisers: H. Albach, F. Ferschl, W. Krelle
41
Udo Ueing
Institut fUr Gesellschafts- und Wirtschaftswissenschaften
der UniversiUit Bonn
Zwei Losungsmethoden
fij r ni chtkonvexe
Programmierungsprobleme
Springer-Verlag
Berlin · Heidelberg· New York 1971
Advisory Board
H. Albach· A. V. Balakrishnan' F. Ferschl . R. E. Kalman' W. Krelle . N. Wirth
AMS Subject Classifications (1970): 9OC30
ISBN-13: 978-3-540-05415-3 e-ISBN-13: 978-3-642-65195-3
DOl: 10.1007/978-3-642-65195-3
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1971. Library of Congress Catalog Card Number73-155590.
Softcover reprint ofthe hardcover 1s t edition 1971
Offsetdruck:Julius Beltz, HemsbachlBergstr.
Vorwort
Programmierungen sind ein sehr wirkungsvolles Instrument zur prak
tischen Berechnung optimaler wirtschaftlicher Entscheidungen. 1m ein
fachsten Fall der linearen Programmierung wird eine lipeare Zielfunk
tion bei Geltung linearer Ungleichungen als Nebenbedingung maximiert
oder minimiert. Sehr viele 6konomische Probleme lassen sich in diese
Form bringen. Leider ist das nicht bei allen m6glich: sehr wichtige
Probleme (z.E. viele Investitionsprobleme) fUhren auf nichtlineare
Zielfunktionen und nichtlinear-e Ungleichungen als Nebenbedingungen. Es
gibt in der Zwischenzeit eine ganze Reihe von Rechenverfahren, die ge
statten, von einem beliebigen, zul~ssigen Anfangspunkt ausgehend ite
rativ ein lokales Extremum zu berechnen. Leider liegen die Probleme
h~ufig so, daE zahlreiche lokale Extrema existieren, w~hrend man natUr
lich am globalen Extremum interessiert ist. Bisher hat es nur ein Ver
fahren gegeben (das von Orden und Ritter), das fUr einen Spezialfall
quadrati scher Formen als Zielfunktion und fUr lineare Ungleichungen als
Nebenbedingungen das globale Extrumum in endlich vie len Rechenschritten
zu erreichen gestattet. Alle Versuche zur Verallgemeinerung dieses Ver
fahrens auf beliebige nichtlineare Zielfunktionen oder nichtlineare Ne
benbedingungen sind bisher gescheitert.
Hier setzt nun die Arbeit von Herrn Ueing ein. Er entwickelt zwei Ver
fahren, die mit tragbarem Rechenaufwand von einem lokalen Extremum zum
n~chsten mit einem h6heren Wert der Zielfunktion (bei einer Maximumauf
gabe) Uberzugehen gestatten. Das erste Verfahren, dessen allgemeine Idee
von mir schon vor einiger Zeit vorgeschlagen wurde. ist sehr allgemein:
es verlangt fast keine der Zielfunktionen und der Neben
Einschr~nkungen
bedingungen. Dem Verfasser gelingt es, das Verfahren so zu formalisie
ren, daE man "bei nicht zu schlecht konditionierten Problemen" erwarten
kann, auch das globale Extremum zu erreichen. Leider ist es bisher nicht
gelungen, notwendige oder hinreichende Konvergenzkriterien fUr das Ver
fahren anzugeben. Damit bleiben die Grenzen der Anwendbarkeit des Ver
fahrens zun~chst offen. FUr die Praxis kann es aber auch so schon brauch
bar sein, weil es immerhin gestattet, bessere lokale Extrema zu finden,
wenn auch m6glicherweise nicht das globale. rch bin der Uberzeugung, da~
dies Verfahren (oder Varianten davon) in sehr allgemeinen F~llen zum
Ziele fUhrt. Jedenfalls wird sich eine Weiterarbeit in diese Richtung
wohl lohnen.
IV
Das zweite vom Verfasser entwickelte Verfahren schrHnkt die Zielfunk
tionen und Nebenbedingungen ein, konvergiert jedoch mit Sicherheit zum
globalen Extremum. Es mu~ vorausgesetzt werden, da~ die zu maximierende
Zielfunktion und die Funktionen, die die Ungleichungen als Nebenbedin
gungen festlegen, konvex sind. Hiermit konnen auch nicht zusammenhHngen
de Bereiche als zul~ssiges Gebiet zugelassen werden. Dies ist ein gro~er
Fortschritt.
Viele Autoren haben sich mit dem nichtkonvexen Programmierungsproblem
besch~ftigt, darunter so hervorragende Mathematiker und Natioanlokono
mer. wie Ragnar Frisch, und - wenn man von Orden und Ritter absieht - nur
heuristische Methoden angeben konnen. Das erste in dieser Arbeit vorge
stellte Verfahren ist - mange Is eines Konvergenzbeweises - auch noch als
solches einzustufen, dagegen nicht das zweite. Insgesamt zeigt diese Ar
beit, da~ man auch vor Problemen dieser Art nicht zu kapitulieren
braucht, sondern da~ es Ans~tze gibt, die zumindest in vielen FHllen und
im Spezialfall konvexer Zielfunktion und konvexer Nebenbedingungen stets
zum Erfolg fUhren. Dies ist ein Durchbruch auf diesem wichtigen Gebiet.
Es steht zu hoffen, da~ diese neuen Moglichkeiten auch andere Wissen
schaftler wieder anziehen, die dies Gebiet als hoffnungslos aufgegeben
haben.
Bonn, Januar 1971
Wilhelm Krelle
- 1 -
Zwei Losungsmethoden fUr nichtkonvexe Programmierungs
probleme:
tibersicht:
Die bisher angewandten mathematischen Hilfsmittel zur
Losung allgemeiner nichtlinearer Programmierungsprobleme
lieferten nur lokale Losungen. Das Ziel dieser Arbeit
besteht darin, unter bestimmten Voraussetzungen eine glo
bale Aussage Uber nichtkonvexe Programmierungsprobleme
zu tref£en.
1m folgenden wird das nichtkonvexe Problem in eine Folge
von Teilproblemen zerlegt. Die Zerlegung beruht auf der
EinfUhrung eines skalaren und eines Vektoroperators. Die
Konstruktion der Operatoren beinhaltet alternierende
Gradienten der Zielfunktion und Restriktionen unter Hin
zunahme einer Hilfsrestriktion.
Weiterhin werden Losungszustande des gesamten Problems
erklart. Die Wirkung der Operatoren auf die L5sungszu
stande kommt in zwei ganzen Zahlen zum Ausdruck: dem
"Losungsgrad" und der "Stufenzahl". In dem entsprechen
den Zustandsraum wird ein notwendiges Konvergenzkri
terium angegeben.
Die zweite Losungsmethode besteht aus einem Formalismus,
dessen Elemente notwendig und hinreichend sind, zur Be
rechnung des globalen Extremums bestimmter indefiniter
Programmierungsprobleme. Eine konvexe Zielfunktion wird
Uber einem moglicherweise nicht zusammenhangenden Be
reich, der durch konvexe Restriktionen gegeben ist, maxi
miert.
Unter den gewohnlichen Eindeutigkeitsvoraussetzungen
fUr die lokale Konvergenz wird in einer endlichen Anzahl
von Rechenschritten eindeutig die globale Losung berech
net. Die Schritte ergeben sich aus einer vorgegebenen
- 2 -
Kombinatorik zwischen der ZielfUnktion und den Re
striktionen. Es wird eine Losungsmenge konstruiert,
die endlich viele Elemente enthalt. Der Beweis, daS
in dieser Menge das globale Extremum mit Sicherheit
enthalten ist, wird geftihrt.
Beide Verfahren wurden programmiert und auf der hies i
gen Rechenanlage (IBM 7090) erfolgreich getestet.
Funktionen tiber nichtzusammenhangende Bereiche wurden
maximiert.
- 3 -
INHALTSANGABE
1. EINLEITUNG 5
2. MODIFIZIERTE GRADIENTENVERFAHREN 8
2.1 Gedankllche Struktur der Program
mlerungsprobleme 8
2.2 CRST-Methode 12
2.3 Der lokale Charakter der Gradienten
verfahren 15
3. EIN OPERATORFORMALISMUS ZUR LOSUNG
NICHTKONVEXER PROGRAMMIERUNGSPRO
BLEME 26
:5.1 Der Grundgedanke des Verfahrens 26
3.2 Erklarung der Hl1fsschrltte HP1
undHP2 27
3.3 Konstruktion und Anwendung des
skalaren Operators H 31
Konstruktion und Anwendung des
Vektoroperators HV 35
3.5 Darstellung des Ergebnlsses anhand
einee Niveauecbemae 42
4. EIN KOMBINATORISCHES VERFAHREN ZUR
LOSUNG NICHTKONVEXER PROG~rnIERUNGS
PROBLEME 52
4.1 Der Grundgedanke des Verfahrens 52
4.2 Konstruktion der Durchschnittsbe
reiche 53
- 4 -
Berechnung der LBsungsmenge H 57
4.~
4.4 Bestimmung des globalen Maximums 63
4.5 Lineare Restriktionen 65
5. ANWENDUNG DES VERFAHRENS MIT HILFE
ElNER ELEKTRONISCHEN RECHENMASCHlNE 68
5.1 Der Aufbau des Rechenmasch1nenpro-
gramms 68
5.2 Be1sp1ele 74
LITERATURVERZEICHNIS 91
- 5 -
1. EINLEITUNG
Die nichtlineare Programmierung dient im Rahmen der
Unternehmensforschung dazu, optimale Entscheidungen
tiber mathematisch formulierbare Wirtschaftsprozesse
zu treffen. Die mathematische Formulierbarkeit ist
die Voraussetzung fur die Konstruktion eines Modells,
von dessen Losung die optimale Entscheidung abhangt.
Das Problem liegt einmal darin, die Modelle derart
aufzustellen, daB sie den realen wirtschaftlichen Zu
sammenhang moglichst gut wiedergeben und zum anderen
darin, Losungsverfahren anzugeben, mit deren Hilfe
die optimale Losung dieser Modelle gefunden werden
kann. Die vorliegende Arbeit widmet sich dem zweiten
Teil dieser Forderung: dem Auffinden optimaler Losun
gen allgemeiner nichtlinearer Programmierungsprobleme.
Ein allgemeines Maximierungsproblem stellt sich wie
folgt: gegeben sei eine Funktion f (x), die die Ziel
vorstellung in Abhangigkeit von veranderlichen GraBen
=
x1' x2' ••• xn mathematisch reprasentiert; x (x1'
x2' ••• xn)'. f (x) kann nicht an beliebigen Stellen
des Raumes Rn gebildet werden, sondern es wird durch
=
Restriktionen gi (x) ~ 0, i 1 ••• m vorgeschrieben,
welche x ~ Rn zulassig sind. Dieser Sachverhalt solI
durch die Schreibweise
ausgedruckt werden.
Der zulassige Bereich sei
1.
B = [ x / gi (x) ~ 0, i = 1 ... m
=
m Anzahl der Restriktionen
n = Dimension von Rn
- 6 -
Selbst wenn vorausgesetzt wird, daa f (x) und gi (x)
~o, i = 1 ... m stetige und zweimal eindeutig diffe
renzierbare Funktionen sind, gibt es im allgemeinen
eine von vornherein nicht bestimmbare Anzahl lokaler
Extrema.
Ein lokales Maximum x der Zielfunktion f (x) ist dann
x
erreicht, wenn es in einer bestimmten Umgebung von
kein x e B gibt, ftir das gilt:
>
f (x) f (x).
Da es aufgrund der bisher bekannten Methoden nicht mog
lich ist, aIle lokalen Extrema eines indefiniten Pro
grammierungsproblems mit nichtlinearen Restriktionen
anzugeben, kann eine Aussage tiber das globale Extremum
~ mit f (~) > f (x) fti.r. aIle x ~ B nicht getroffen wer-
den.
Vom mathematischen Standpunkt aus ist man nun gezwun
gen, Spezialisierungen ftir f (x) und gi (x) ~ 0,
i = 1 ... m einzuftihren, um praktikable Optimalitats
kriterien zu formulieren.
Anhand dieser Spezialisierungen (Abschnitt 2.1) ergibt
sich eine Klassifizierung der bisher losbaren Program
mierungsprobleme.
Vom wirtschaftlichen Standpunkt aus oder aus der Sicht
des "Modellkonstrukteurs" gesehen, mochte man moglichst
groaztigig tiber die Funktionen f (x) und gi (x) ~ 0,
=
i 1 ••• m verftigen konnen, um das Modell sehr nahe
an die Realitat heranzuftihren.
