Zuschnitt- und Packungsoptimierung: Problemstellungen, Modellierungstechniken, Lösungsmethoden

350 Pages·2008·1.914 MB·German

by  Dr. Guntram Scheithauer (auth.)

Guntram Scheithauer
Zuschnitt- und Packungsoptimierung
Guntram Scheithauer
Zuschnitt- und
Packungsoptimierung
Problemstellungen, Modellierungstechniken,
Lösungsmethoden
STUDIUM
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Dr. Guntram Scheithauer
Geboren 1954 in Bischofswerda. Studium der Mathematik an der Technischen Universität Dresden
von 1974 bis 1979. Promotion 1983 auf dem Gebiet der diskreten Optimierung. Seit 1983 wissen-
schaftlicher Mitarbeiter am Institut für Numerische Mathematik der Technischen Universität
Dresden. Forschungsaufenthalt im Wintersemester 1989/90 am Institute of Computer Science,
University of Wroclaw. Seit 1982 Beschäftigung mit Zuschnitt- und Packungsproblemen, Mitarbeit
an zahlreichen Praxisprojekten mit mehreren Unternehmen und Institutionen.
1.Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
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von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8351-0215-6
Vorwort
Die Begriffe Anordnungs-, Packungs- und Zuschnittproblem (engl. allocation, packing
und cutting problem) umfassen eine Vielzahl theoretischer und praktischer Problem-
stellungen. Obwohl sehrverschiedenartige Formulierungen Verwendung finden, gibt es
zwischenihnenvielfach sehrengeBeziehungen, sodassMethodenzurLösungvonZu-
schnittproblemenauchzurLösungvonAnordnungs-undPackungsproblemeneingesetzt
werdenkönnen undumgekehrt.
Zum Beispiel kann jedes (zweidimensionale) Puzzle als Packungsproblem aufgefasst
werden:AllePuzzleteilesindineingegebenesGebietüberlappungsfreizupacken.Ande-
rerseits istesaberauchalsZuschnittproblem formulierbar: Wieistdasgegebene Gebiet
zuzerschneiden, umallePuzzleteile zuerhalten?
ImRahmen dieses Buches werden wiruns mitAnordnungs-, Packungs- und Zuschnitt-
problemen beschäftigen, bei denen eine Optimierungskomponente von Bedeutung ist.
Dabei unterscheiden wir im Wesentlichen zwei Problemstellungen, die hier jeweils als
Anordnungsproblem formuliert sind:
• ErmittlungeineroptimalenAnordnungsvariante
Gegeben sind ein Bereich (Container) Bund eine Menge von kleineren, bewerte-
tenObjekten. ManfindeeineTeilmengederObjekte,dieunterEinhaltung gewis-
serRestriktioneninBangeordnetwerdenkönnen,sodassderenGesamtbewertung
maximalist.
• ErmittlungeineroptimalenKombination vonAnordnungsvarianten
Gegeben sind hinreichend viele bewertete Container und eine Menge von kleine-
ren Objekten. Gesucht ist eine Teilmenge der Container derart, dass alle Objekte
unter Einhaltung gewisser Bedingungen in diese gepackt werden können und die
Gesamtbewertung derverwendeten Containerminimalist.
Probleme des ersten Typs sind in der Regel auf eine maximale Materialausbeute aus-
gerichtet, während die des zweiten Typs i. Allg. einen minimalen Materialeinsatz als
Zielgrößebesitzen.
Es ist schier unmöglich, die große Vielfalt von Fragestellungen, die als Anord-
nungs-, Packungs- oder Zuschnittproblem formuliert werden, im vollen Umfang erfas-
sen zu können. Bestrebungen, durch eine Klassifikation dieser Themen einen besseren
VI
ÜberblicküberverwandteAufgabenstellungen, derenModellierung undalgorithmische
Behandlungzuerhalten,sinddeshalbunerlässlich. AndieserStelleseiinsbesondere auf
grundlegende Beiträgein[Dyc90],[DF92]und[WHS04]verwiesen.
Das Anliegen dieses Buches ist es, durch die Behandlung einiger grundlegender Zu-
schnitt-undPackungsproblemeeinenEinstiegindieseThematik,derenProblemstellun-
gen, Modellierungstechniken und Ansätze für Lösungsmethoden zu vermitteln. Insbe-
sonderewerdenfolgendeOptimierungsprobleme indeneinzelnen Kapitelnnäherunter-
sucht:
• Rucksackprobleme,
• CuttingStock-undBinPacking-Probleme,
• Guillotine-Anordnungen vonRechtecken,
• Nicht-Guillotine-Anordnungen vonRechtecken,
• Rechteck-Packungen inStreifen,
• Behandlung vonQualitätsrestriktionen,
• Paletten-undMulti-Paletten-Beladungsprobleme,
• Container- undMulti-Container-Beladungsprobleme,
• Anordnung vonPolygonen,
• Kreis-undKugelpackungen.
DieBeschreibungdereinzelnenFragestellungenwerdenwirdabeiwahlweisealsAnord-
nungs- oder Packungs- oder Zuschnittproblem vornehmen. Eine Darstellung in anderer
FormulierungistinderRegeloffensichtlich.
Das Buch richtet sich an alle, die sich mit Anordnungs-, Packungs- oder Zuschnittpro-
blemen beschäftigen oder befassen werden. Insbesondere betrifft dies Studierende der
Mathematik, der Optimierung, der Wirtschafts- und Technomathematik, des Operati-
ons Research, aber auch der Ingenieurwissenschaften. Gleichfalls besteht die Absicht,
Anwendern in Industrie und Forschung ein gewisses Hilfsmittel in die Hand zu geben.
Durch die vorgestellten Modellierungsmethoden und die zugehörigen Lösungstechni-
ken sowie durch zahlreiche Literaturverweise auf weiterführende Untersuchungen und
verwandte Problemstellungen soll es dem Leser erleichtert werden, neue auftretende
Zuschnitt-oderPackungsprobleme ingeeigneterWeisezubearbeiten.
DasBuchentstandaufderGrundlagelangjährigerArbeitauf demGebietderZuschnitt-
und Packungsoptimierung und mehrerer Vorlesungen zu dieser Thematik. Diese Be-
schäftigung umfasstesowohlmehrtheoretisch orientierte Fragestellungen alsauchkon-
kreteAnwendungen inderPraxis.
Mein Dank gilt Prof. Dr. Bernd Luderer insbesondere für seine Ermutigung zu diesem
Buchprojekt. Dr.GlebBelovdanke ichfürviele Anregungen undVorschläge. Meinbe-
Vorwort VII
sondererDankgiltDr.Jürgen Rietzfürdiesehrgründliche Durchsicht desManuskripts
und seine zahlreichen Hinweise und Verbesserungsvorschläge. Nicht zuletzt danke ich
meinerFrauMonikafürihrVerständnisunddietatkräftige Unterstützung.
Dresden,Dezember2007 GuntramScheithauer
Inhaltsverzeichnis
1 Modellierung 1
1.1 Mengentheoretische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Repräsentation derObjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Repräsentation derAnordnungsvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Approximation undinterneBeschreibung derTeile . . . . . . . . . . . 8
1.5 Nichtlineares Optimierungsmodell, (cid:92)-Funktionen . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Ganzzahlige lineareOptimierungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 WeitereModellierungsvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 DasRucksackproblem 19
2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 DerAlgorithmus vonGilmoreundGomory . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 DieLängste-Wege-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Branch-and-Bound-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Periodizität derLösung,Dominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Rucksackprobleme mitoberenSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Rasterpunktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 DasCuttingStock-unddasBinPacking-Problem 41
3.1 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 DasGilmore/Gomory-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 DasrevidierteSimplex-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 DieFarley-Schranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Spaltengenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 DasCuttingStock-Problem mitmehrerenAusgangslängen . . . . . . . 56
3.7 Alternative Modelleundangrenzende Problemstellungen . . . . . . . . 58
3.8 DieEigenschaften IRUPundMIRUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
X Inhaltsverzeichnis
3.8.1 DefinitionvonIRUPundMIRUP . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.3 TeilproblememitMIRUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.4 WeitereRelaxationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.5 Höherdimensionale CuttingStock-Probleme . . . . . . . . . . 69
3.9 DasBinPacking-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9.1 Reduktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9.2 UntereSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.3 Heuristiken undexakteAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.11 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 OptimalerGuillotine-Zuschnitt 81
4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Guillotine-Zuschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 ZweistufigerGuillotine-Zuschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 DreistufigerGuillotine-Zuschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 WeitereSchemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Teilebeschränkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.8 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 OptimaleRechteck-Anordnungen 97
5.1 Lineareganzzahlige Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 DasModellvomBeasley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Einlinearesgemischt-ganzzahliges Modell . . . . . . . . . . . 99
5.2 ObereSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 EinKonturkonzept-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 DasKonturkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 EinBranch-and-Bound-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.3 ObereSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.4 ÄquivalenzundDominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.5 WeitereLösungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Inhaltsverzeichnis XI
6 Rechteck-AnordnungenimStreifen 115
6.1 Lineareganzzahlige Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.1 EinModellvomBeasley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.2 Einlineares gemischt-ganzzahliges Modell . . . . . . . . . . . 117
6.2 UntereSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 Heuristiken fürdasStreifen-Packungsproblem . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.1 Heuristiken fürdasOffline-Streifen-Packungsproblem . . . . . 123
6.3.2 Güteaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.3 Regal-Algorithmen fürOnline-Probleme . . . . . . . . . . . . 131
6.3.4 Aussagen zumdurchschnittlichen Fall . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 LokaleSucheundMetaheuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4.1 LokaleSuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4.2 Metaheuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5 EinBranch-and-Bound-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6 Guillotine-Streifenpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6.1 QualitätvonGuillotine-Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6.2 Lineareganzzahlige Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.8 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7 Qualitätsrestriktionen 157
7.1 Zuschnitt variablerLängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.3 Optimalwertfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.1.4 ObereSchranken undLösungsstrategie . . . . . . . . . . . . . 162
7.1.5 Anordnung einesTeiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.1.6 Branch-and-Bound-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.1.7 ForwardState-Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.1.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Unerlaubte Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.2 Basis-Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2.3 Effektivierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.4 BeispieleundErweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
XII Inhaltsverzeichnis
8 DasPaletten-Beladungsproblem 191
8.1 Dasklassische Paletten-Beladungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.2 ÄquivalenzvonPaletten-Beladungsproblemen . . . . . . . . . 192
8.2 ObereSchranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.3 DieG4-Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3.1 Bezeichnungen, Block-Heuristiken . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3.2 DieG4-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3.3 DieG4-Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.4 Aufwandsreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4 DasGuillotine-Paletten-Beladungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4.1 BasismodellundAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4.2 DefinitionvonTeilproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4.3 Eigenschaften vonE undE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
0 1
8.4.4 EinAlgorithmusfürTeilproblem 1. . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.5 DasPaletten-Beladungsproblem mitmehrerenTeiletypen . . . . . . . . 215
8.6 DasMulti-Paletten-Beladungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.6.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.6.2 Lösungsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6.3 DerMPLP-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6.4 DieVerteilungsprozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.6.5 DieAnordnungsprozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.6.6 Einealternative Anordnungsprozedur . . . . . . . . . . . . . . 224
8.6.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.8 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9 Containerbeladung 231
9.1 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2 DasContainer-Beladungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.1 Ganzzahliges lineares Optimierungsmodell . . . . . . . . . . . 232
9.2.2 DerBasis-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.2.3 DasKonturkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.2.4 WeitereHeuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3 DasMulti-Container-Beladungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.4 Dreidimensionale Streifenpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.5 LP-Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.5.1 DieStreifen-Relaxation desContainer-Beladungsproblems . . . 244