Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 2396
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
vom Minister für Wissenschaft und Forschung J ohannes Rau
Prof. Dr. Hansjürgen Schönert
Abteilung für Physikalische Chemie der Biopolymeren
Institut für Physikalische Chemie
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
Zum Transport eines reversibel
polymerisierenden oder isomeri
sierenden Biopolymeren
Westdeutscher Verlag 1974
© 1974 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
ISBN-13: 978-3-531-02396-0 e-ISBN-13: 978-3-322-88065-9
DOI: 10.1007/978-3-322-88065-9
Innaltsverzeicnnis
I) Einleitung.................................... 1
11) Die Differentialgleicnung •............•.•..... 4
111) Anfangs- und Randbedingungen .........••.•..... 6
IV) Lösungsansatz ................................. 7
V) Lösungsverfanren. • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . •. 15
VI) Lösung. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . • . •. 20
VII) Diskussion. • . • • • . . • . . . • • . • . • . . • . . • • . . • . . . . . . .• 38
VIII) Annang I: Integraltabelle ...•.......•..•..•..• 41
IX) Annang 11: Die Funktionen w1 bis w17 .....•...• 67
X) Tabelle I: Die Funktionen Y30' Y50' Y31
und Y32 ...........•. 70
XI) Tabelle 11: Die Funktion ~1 •......•....•....•. 71
XII) Literaturverzeicnnis ................•........• 81
XIII) Abbildungen .••.••••.•..•...••.•••••••...•••••. 82
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I) Einleitung
In einem Mehrkomponentensystem, in dem Konzentrationsgra
dienten vorhanden sind, findet Diffusion statt, die zu
einem Ausgleich der Konzentration fUhrt. Wenn das System
aus nur einer Phase besteht, ist der Endzustand die homo
gene Phase; besteht das System aus mehreren Phasen, stel
len sich im Endzustand an den Phasengrenzen Konzentra
tionssprünge entsprechend dem Verteilungs satz von NERNST
ein.
Neben der Diffusion können andere Transportprozesse statt
finden: Sedimentation oder Elektrophorese. Diesen Prozes
sen ist gemeinsam, daß bei Abwesenheit von Konvektion die
Substanzen einem äußeren Feld unterworfen werden - im Fall
der Sedimentation dem Schwere- oder Zentrifugalfeld und im
Fall der Elektrophorese dem elektrischen Feld -, und daß
ihnen diese Felder eine stationäre Wanderungsgeschwindig
keit erteilen.
Wenn in einem Mehrkomponentensystem, das im weiteren aus
nur einer fluiden Phase, wie bei den Messungen in der Ul
trazentrifuge oder der Elektrophoresezelle bestehen soll,
gleichzeitig Konzentrationsgradienten und äußere Felder
vorhanden sind, fUhrt die Überlagerung von Diffusion und
Sedimentation bzw. Elektrophorese zu einem für die Substan
zen charakteristischen Transportverhalten, das bekanntlich
zu einer empfindlichen quantitativen und qualitativen Ana
lysenmethode benutzt werden kann; die Fortschritte auf den
Gebieten der Biochemie und insbesondere der Biopolymeren
wären ohne Ultrazentrifuge und Elektrophorese undenkbar.
Das von außen angelegte Feld kann auch durch ein Strömungs
feld realisiert werden, sodaß alle chromatographischen Ver
fahren, wie Gel-, Ionenaustausch- oder Gaschromatographie
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sowie Papier- und Dünnschichtelektrophorese, ebenfalls in
die gleiche Kategorie der Transportprozesse fallen, bei
denen eine Überlagerung von Diffusion und von außen er
zwungener Wanderung stattfindet.
Zur weiteren Erläuterung wird das einfache, nur aus Lö
sungsmittel und einer gelösten Komponente A bestehende Sy
stem betrachtet. Zur Zeit t = 0 habe die Substanz A ein
Konzentrationsprofil, wie es in Abb. 1, links, gezeigt ist;
x ist die Raumkoordinate in der Ultrazentrifuge- oder Elek
trophoresezelle bzw. im Chromatographieexperiment, längs
derer die Substanz A durch das äußere Feld transportiert
wird. Die darunter gezeigte Gradientenkurve, d.h. die Auf
tragung von o~~x) gegen x, zeigt an den Stellen x1 und xo'
die den KonzentrationssprUngen entsprechen, zwei 6-Funk
tionen.
Nach einer bestimmten Versuchsdauer t sind die Konzentra
tionssprUnge durch Diffusion verbreitert. Die Substanz ins
gesamt ist durch das äußere Feld längs der x-Koordinate um
eine bestimmte, durch die stationäre Wanderungsgeschwindig
keit von A festgelegte Strecke transportiert. Das Konzen
trationsprofil und die Gradientenkurve sind in diesem Zu
stand in dem rechten Teil von Abb. 1 festgehalten. Die Kur
ven in dem Diagramm, in dem ~~ gegen x aufgetragen ist,
sind Gauß-Kurven, die die Diffusion beschreiben und die mit
konstanter Geschwindigkeit nach rechts wandern.
Bei einigen BioPolrmeren, z.B. tt-Chymotrypsin1-5) und ß
Lactoglobulin4,5,6 , treten Abweichungen von diesem nor
malen Verhalten auf: die führende Grenze (leading boundary)
- Grenze bzw. boundary wird im allgemeinen der Bereich zwi
schen Lösung und Lösungsmittel bezeichnet - ist schärfer,
d.h. weniger durch Diffusion verbreitert (hypersharp) als
im Normalfall; die hintere Grenze (trailing boundary) ist
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breiter und in bestimmten Konzentrationsbereichen mit
einer Schulter versehen. Dies ist in Abb. 2 schematisch
angedeutet.
Die grundsätzliche Klärung dieser Erscheinung gelang Gil
bert4,5,7,8). Er konnte zeigen, daß die Ursache hierftir
in einer reversiblen Polymerisation der Substanz
n.A~An
zu suchen ist, indem er die zugeordnete Differentialglei
chung unter Vernachlässigung der Diffusion löste. Es ent
steht ein Konzentrationsprofil, das in der Gradientenkurve
der hinteren Grenze ein Minimum aufweist (Abb. 2, gestri
chelte Kurve), falls der Polymerisationsgrad n größer als
2 ist und eine von der Polymerisationskonstanten abhängige
Mindestkonzentration überschritten wird. Der Grund für das
Minimum ist darin zu finden, daß das Monomere A und das
Polymere An verschiedene Wanderungsgeschwindigkeit besit
zen und im äußeren Feld partiell getrennt werden.
Es ergibt sich allerdings die Frage, ob die Diffusion, die
in der Theorie von Gilbert nicht eingeschlossen ist, nicht
unter bestimmten Voraussetzungen so stark ist, daß das Mi
nimum verwischt wird. Mit anderen Worten: die Theorie soll
te unter Einschluß der Diffusion aufgestellt und die zuge
ordnete Differentialgleichung gelöst werden.
Einige Autoren4,5) haben sich dieser Aufgabe angenommen und
die Differentialgleichung mit numerischen Verfahren gelöst:
es ergaben sich in der Tat Abweichungen gegenüber den ein
fachen Ausdrücken von Gilbert.
In dieser Arbeit wird ein analytisches Verfahren vorgeschla
gen, das es gestattet, die Rechnungen durchzuführen und die
Lösungen zu diskutieren, wenn kein Computer zur Verftigung
steht, und das dartiberhinaus einen besseren Überblick über
die Mannigfaltigkeit der Lösungen gibt, wenn die verschie-
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denen Parameter wie Diffusionskonstante, Assoziationskon
stante, Wanderungsgeschwindigkeiten, Feldstärke und Zeit
variiert werden.
Die Arbeit verfolgt noch ein weiteres Ziel: wir haben beo
bachtet9), daß auch ohne äußeres Feld eine Aufspaltung der
der Diffusionskurve allein in einen Peak mit Schulter statt
finden kann, nämlich bei der Diffusion von Polymethacryl
säure in wässriger Lösung in dem Bereich, in dem die Sub
stanz eine Konformationsänderung zeigt. Daraus erhellt, daß
die Diffusion eine entscheidende Rolle spielt.
Die vorliegende Arbeit beschränkt sich auf den mathemati
schen Teil, damit der Rahmen nicht gesprengt wird.
11) Die Differentialgleichung
Die Diffusion im binären System aus Lösungsmittel und Kom
ponente A wird durch das Gesetz von FICK beschrieben:
J D grad c ( 1 )
Hierbei ist J die Teilchenstromdichte von A, gemessen z.B.
in mol cm-2 s-1, D der Diffusionskoeffizient und c die zu
J zugeordnete Konzentration, also z.B. die Molarität von
A, gemessen in mol cm-3.
Die Teilchenstromdichte ist auf eine Bezugsgeschwindigkeit
zu beziehen1 0), deren Wert hier der Einfachheit halber die
Geschwindigkeit der Meßzelle ist.
Den Transport durch ein äußeres Feld setzen wir an in der
Form:
J u . c (2)
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Dann ist u die stationäre Wanderungsgeschwindigkeit rela
tiv zur Meßzelle.
Im Fall der Überlagerung der zwei Transporterscheinungen
resultiert aus den Gleichungen (1) und (2):
J = - D grad c + u . c
Die Kontinuitätsgleichung lautet:
~ = - div J (4)
so daß die Differentialgleichung
oC
div {D grad c - u . c}
~
resultiert.
Diese Gleichung gilt für eine Substanz A, die keine chemi
sche Reaktion, wie Assoziationsreaktion oder Iso
n.A~An
merisationsreaktion aufweist. Wenn eine Reaktion
A~A*,
eintritt, schreiben die genannten Autoren4,5,7,8) die Glei
chung (5) für jede Species A, An' A* getrennt mit den ent
sprechenden Koeffizienten DA' DA ' DA*, uA' uA ' uA* hin,
n n
und verknüpfen die entstehenden Differentialgleichungen
über das Massenwirkungsgesetz.
In dieser Arbeit wird ein anderer Weg eingeschlagen10,11,12):
es wird der Begriff des Bestandteils (constituent) verwen
det. Die Konzentration aller Teilchenarten, die aus der Kom
ponente A durch die chemische Reaktion hervorgehen, wird
zur Konzentration c des Bestandteils zusammengefaßt. Es ist
dann u die Wanderungsgeschwindigkeit des Bestandteils, die
sich aus den Wanderungsgeschwindigkeiten der Teilchenarten
zusammensetzt; ebenso ist D der aus den einzelnen Beiträgen
der Teilchenarten zusammengesetzte Diffusionskoeffizient.
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Diese zwei Koeffizienten und u sind konzentrationsabhän
~
gig. Diese Konzentrationsabhängigkeit ist bei Vorgabe des
Mechanismus der chemischen Reaktion und der Größen DA' DA '
n
Wenn dies geschehen ist, bleibt die Gleichung (5) richtig11).
Sie ist jetzt nur gegenüber dem Transport ohne chemische
Reaktion komplizierter, als man D = D(c) und u = u(c) ein
zusetzen hat.
Die Gleichung (5) in dieser Form bildet den Ausgangspunkt
unserer weiteren Rechnungen.
111) Anfangs- und Randbedingungen
Bei der Chromatographie und Elektrophorese genügt es, nur
eine Raumkoordinate x zu betrachten. Bei der Sedimentation
muß man wegen der Form der Ultrazentrifugenzelle den Radius
r als Ortsvariable wählen. Die dadurch bedingte Schwierig
keit in der mathematischen Behandlung wird umgangen, indem
man die Ultrazentrifugenzelle durch eine linear ausgedehnte
Zelle mit rechteckigem Querschnitt annähert12) (Vernachläs
sigung des radialen Verdünnungseffektes). Dadurch kann für
alle drei Meßverfahren die Gleichung (5) auf
~ = ~{D(C) ~ - u(c) • c} (6)
vereinfacht werden.
Die endliche Zelle wird durch eine beiderseits unendlich
ausgedehnte Zelle approximiert. Die Lösung bleibt dann
richtig, solange der Konzentrationsgradient nicht bis zum
Zellrand vorgewandert ist. Dies ist eine ausgezeichnete
Näherung für Chromatographie und Elektrophorese, weniger
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gut für die Sedimentation. Es ist aber anzunehmen, daß die
charakteristischen Kurvenmerkmale, wie z.B. das Minimum,
auch im Fall der Sedimentation hierdurch nicht stark be
einträchtigt werden.
Nach diesen Ausführungen sind die Rand- und Anfangsbedin
gungen wie folgt zu formulieren:
c cA für - 00 <x<O }
für t 0
c = cB für O<x<+oo
__ 00
c = cA für x }
für t > 0 (7)
x _ +
c cB für 00
Zur Zeit t = 0 existiert also am Koordinatensprung ein Kon
zentrationssprung 6c
(8)
FUr ) 0 wird damit die hintere Grenze beschrieben, für
~c
c < 0 die vordere Grenze.
~
Die mittlere Konzentration ist
c (9)
IV) Lösungsansatz
Der Konzentrationsabhängigkeit von D(c) und u(c)wird dadurch
Rechnung getragen, daß beide Größen um den im Experiment vor
gegebenen Mittelwert c in eine TAYLOR-Reihe nach Potenzen
von (c - c) entwickelt werden:
D(c) = O{1 + k1(c-c) + k2(c-c)2 + k3(C-c)3 + k4(C-c)4} (10)
