Table Of ContentAndreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlentheorie fUr Einsteiger
Aus dem Programm ____- -...
Mathematik
Albrecht Beutelspacher
Da s •1 st o.B • d •A • tri•V•i a II•I I
II
Tips und Tricks zur Formulierung
mathematischer Gedanken
Albrecht Beutelspacher
Kryptologie
Robert Kanigal
Der das Unendliche kannte
Dos Leben des genialen Mathematikers
S. Ramanujan
Serge Lang
Faszination Mathematik
Ein Wissenschaftler stellt sich
der Offentlichkeit
Serge Lang
Mathe!
Begegnungen eines Wissenschaftlers
mit Schulern
Winfried Scharlau
Schulwissen Mathematik:
Ein Uberblick
____________________
Vie~eg ~
Andreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlenlheorie
fur linsteiger
Mit einem Geleitwort
von Jurgen Neukirch
I I
Vlawag
ClP-Codierung angefordert
Dr. Andreas Bartholome und Josef Rung unterrichten am
Hans-leinberger-Gymnasium in landshut
Anschrift: Jurgen-Schumann-StroBe 20, 84034 landshut
Dr. Hans Kern unterrichtet am Schyren-Gymnosium in Pfaffenhofen/llm
Anschrift· Niederscheyerer StroBe 4, 85276 Pfaffenhofen
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlogsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wlesbaden, 1995
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Umschlag: Klaus Birk, Wiesboden
Gedruckt auf sourefrelem Papier
ISBN-13: 978-3-528-06680-2 e-ISBN-13: 978-3-322-87606-5
001: 10.1007/978-3-322-87606-5
v
Geleitwort
"Von der Mathematik habe ich nie etwas verstanden!" Wann immer
wir Mathematiker uns als Mathematiker zu erkennen geben, wird uns
dieses freimiitige Bekenntnis der Ignoranz serviert, meist im Tonfall der
Genugtuung und mit der Gebarde des Triumphes, so als ob man sich
damit in die Gemeinschaft der normalen Menschen einreiht, denen eine
menschliche Seele innewohnt und ein warmes Herz in der Brust schlagt.
An der Mathematik liegt es nicht, daB sie in so miBlichem Ansehen steht.
Wer ihr im echten Sinne begegnet ist, weiB, daB sie eine Welt der Wunder
und der SchOnheit ist, und wird sich vor dem obigen Ausruf ebenso ver
wahren wie vor stolzem Bekenntnis, nicht zu wissen, wer Beethoven ist. So
muB es wohl an der Art liegen, wie sie unterrichtet wird, die Mathematik.
Das vorliegende Buch von A. Bartholome, J. Rung und H. Kern
setzt diesem Zerrbild unserer Wissenschaft die schOne Wahrheit entgegen.
Es ist an die Schiiler und - mit gutem Grund - an die Lehrer des Gymna
siums gerichtet. Ihr Gegenstand ist die Zahlentheorie, die "Konigin unter
den mathematischen Wissenschaften". Die Autoren haben fUr die Schule
ein vorbildliches kleines Werk geschaffen. Es lebt von dem Wissen erfahre
ner Lehrer, von der Liebe echter Mathemat.iker zu ihrem Metier und von
einer heiteren Lebendigkeit der Darstellung. Kluge Auswahl und weise Be
schrankung des Stoffes zeichnet die Autoren als treffliche Lehrmeister aus.
Nirgendwo werden "Klappern" zu billigem Erfolg herangezogen, iiberall
handelt es sich um echte und wesentliche mathematische Probleme und
Ereignisse, die in verstandlicher Weise dargestellt werden, und von denen
man sicher sein kann, sie auch im Bereich moderner Forschung anzutreffen.
Die Darstellung ist in einer schwungvollen, verfiihrerischen Sprache ge
faBt, die im jugendlichen Leser eigene Vorstellung und eigene Phanta
sie hervorzurufen vermag. Die vielen Aufgaben sind so gestellt, daB sie
dem erfolgreichen Bearbeiter zum echten mathematischen Erlebnis wer
den konnen. Er wird spater mit Freude berichten: "Ich habe einmal die
Mathematik verstanden".
vi Geleitwort
Das Buch ist als ein Addendum zum gewohnlichen mathematischen Un
terricht am Gymnasium zu verstehen. Wiirde dieser Unterricht von sei
ner quiilenden Uberladenheit befreit und auf allen Stufen in dieser Weise
gefiihrt, so konnte sich das Bild der Mathematik in der Gesellschaft zum
Besseren wenden.
Regensburg, Dezember 1994 Prof. Dr. Jiirgen Neukirch
vii
Vorwort
" ... Was Sie mir von Ihrer Seite wie im Auft rag von Herrn Euler sagen, ist
zweifeUos viel glanzender. Ich meine das schone Theorem von Herrn Euler iiber
Primzahlen und seine Methode, zu testen, ob eine gegebene Zahl, wie groB auch
immer sie sein moge, eine Primzahl ist oder nicht. Was Sie sich bemiihten, mir
iiber den Gegenstand zu berichten, erscheint mir sehr scharfsinnig und Ihres
groBen Meisters wiirdig. Aber linden Sie nicht, daB es fiir die Primzahlen beina
he zuviel Ehre ist, soviel Gedanken iiber sie zu verbreiten, und soUte man nicht
Riicksicht auf den verwohnten Geschmack unserer Zeit nehmen? Ich unterlasse
es nicht, aHem, was aus Ihrer Feder kommt, Gerechtigkeit widerfahren zu lassen,
und bewundere Ihre groBen Geisteskrafte, um die mi61ichsten Schwierigkeiten
zu iiberwinden; aber meine Bewunderung verstarkt sich, wenn das Thema zu
niitzlichen Erkenntnissen fiihren kann. Ich schlieBe hierin die griindlichen Un
tersuchungen iiber die Starke von Balken ein, von denen Sie sprechen ... "
soweit Daniel Bernoulli in einem Antwortbrief an Nicolaus FuB. den Assi
stenten Eulers. (nach A. Weil).
Wir werden dennoch nicht uber die Starke von Balken berichten, son
dem den Primzahlen die Ehre antun. Dazu wollen wir die Leser dieses
Buches im Klassenzimmer abholen und ins so helle und doch geheimnis
volle Reich der Zahlen fUhren. Dieses Buch handelt von dem, was schon
die kleinen Kinder konnen und kennen: vom Zahlen 'und den naturlichen
Zahlen 1,2,3 und so weiter. Das Buch wurde fUr die Schulbank geschrie
ben: fUr Pluskurse oder freiwillige Arbeitsgemeinschaften, als Anregung
fUr Jugend - forscht - Arbeiten oder als Hilfe fUr das Losen von Aufgaben
aus dem Bundeswettbewerb Mathematik. (Es wurde in den Schuljahren
1991/92 und 92/93 in einem Pluskurs am Hans-Leinberger-Gymnasium
in Landshut verwendet. Teile von ihm dienten bei der DurchfUhrung eines
Proseminars an der Universitat Regensburg.) Dieses Buch mochte etwas
von dem spielerischen und experimentellen Charakter der Zahlentheorie
vermitteln, es wird zeigen, wie man den Computer sinnvoll einsetzen kann
und es soli verdeutlichen, welche Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt
sind. Auch der Lehrer und Liebhaber wird sicher einiges Spannendes in
dem Buch entdecken. In der Schule bleiben ja leider das Rechnen und die
Algebra meist im rein Formalen. Dagegen ist die bescheidenste Geome
trieaufgabe oft mit einer kleinen Erkenntnis verbunden. Auch im AIge-
viii Vorwort
braunterricht kannte das so sein. Es ist ein Unterschied, ob man urn des
Rechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weil man einer aufregen
den Entdeckung auf der Spur ist. Es ist etwas anderes, die binomischen
Formeln zu uben urn des Ubens willen, oder ob man mit ihrer Hilfe Er
kenntnisse uber die Zahlen sammelt. Wir hoffen, der Leser wird hier einiges
finden.
Wer unser Buch studiert, solI dabei viel Handwerkliches mitbekommen,
auch Anwendungen des doch etwas trockenen Algebrastoffes lernen (viele
der uber 300 Aufgaben sind Routine, aber so manche sind sehr schwer
und fordern alle Kraft und Phantasie!). Sie oder er solI aber auch ein
wenig Theorie mitbekommen-denn nur eine gute Theorie zeigt uns, "was
dahintersteckt" .
SchlieBlich - und vielleicht ist dies das wichtigste- mage das Buch allen
zur Erbauung und zum Trost dienen!
Inhaltlich haben wir uns als Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest
zu verstehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie
verwendet wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf das Ziel zu,
sondern verweilen gerne am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns,
wenn wir dort eine bunte Blume zu entdecken meinen. An viel Schanem
muBten wir vorubereilen und manch Wichtiges (Uberlegungen zur Re
chen zeit etwa) achtlos liegen lassen. Aber der Leser weiB ja, der Mensch
ist endlich (besonders die Autoren) und muB sich mit dem Unvollkomme
nem zufriedengeben. Dennoch hoffen wir, der Leser wird sich auf dieser
Reise uber die vielen schanen Kostbarkeiten von Herzen freuen.
Den einzelnen Abschnitten dieser "Reise" haben wir Zit ate aus Son
ja Kowalewskajas Jugenderinnerungen vorausgestellt und wir wurden uns
sehr freuen, machte unsere Leserin (Leser) am Ende doch mit Sonja aus
rufen: " ... ungeachtet all der Klagen und des Jammers (ob der Fehler der
Verfasser) war die Fahrt doch herrlich" ([?]). Wer sich zu sehr uber die
Fehler iirgert, mage an das Gebet der heiligen Theresia von Avila denken:
"Herr! Lehre mich die wunderbare Weisheit, daB ich mich irren kann".
Viel Vergnugen bei der Arbeit mit diesem Buch wunschen die Verfasser.
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
ix
Inhaltsverzeichnis
1 VollsUindige Induktion 1
1.1 Das kleinste Element 1
1.2 Das Prinzip vom Maximum 7
1.3 Das Induktionsprinzip 8
1.4 Zusammenfassung.... 21
2 Euklidischer Algorithmus 24
2.1 Teilen mit Rest . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Zahlen benennen. Stellenwertsysteme 28
2.3 Rechnen mit langen Zahlen 36
2.4 Der griifite gemeinsame Teiler . 46
2.5 Das Rechnen mit Kongruenzen 54
2.6 Ein wenig Geheimniskramerei . 61
2.7 Primzahlen ........... 66
2.8 Ein kleiner Spaziergang zum Primzahlsatz 79
2.9 Der chinesische Restsatz 81
2.10 Die Euler-Funktion . . . . 101
3 Der kleine Fermatsche Satz 106
3.1 Kleiner Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2 Die Ordnung einer Zahl modulo einer Primzahl 113
3.3 Primitivwurzeln................. 115
3.4 S. Germains Beitrag zum Problem von Fermat 127
3.5 Verschltisseln mit dem Kleinen Fermat 133
3.6 Logarithmieren modulo p. . . . 136
3.7 Einheiten in Primpotenzmoduln 139
4 Die Jagd nach groBen Primzahlen 145
4.1 Der negative Fermat-Test . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Pseudoprimzahlen..................... 153
4.3 Pseudoprimzahlen zur Basis a und Carmichael-Zahlen . 160
4.4 Ein probabilistischer Primzahltest . . . . . . . . . . . . 162
x Inhaltsverzeichnis
4.5 Primzahltest von Miller und Rabin - Starke Pseudoprim-
zahlen . . . . . . . . 164
4.6 RSA-Verschliisselung 172
Stichwortverzeichnis 174
Literaturverzeichnis 177
