Table Of ContentAndreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlentheorie fur Einsteiger
Aus dem Programm_ ______
Mathematik
Albrecht Beutelspacher
"Das ist o.B.d.A. triviall"
Tips und Tricks zur Formulierung
mathematischer Gedanken
Albrecht Beutelspacher
Kryptologie
Albrecht Beutelspacher
"In Mathe war ich immer schlecht .. .'1
Otto Forster
Algorithmische Zahlentheorie
Robert Kanigal
Der das Unendliche kannte
Das Leben des genialen Mathematikers
S. Ramanujan
Serge Lang
Faszination Mathematik
Ein Wissenschaftler stellt sich
der 6ffentlichkeit
Serge Lang
Mathel
Begegnungen eines Wissenschaftlers
mit Schulern
Winfried Scharlau
Schulwissen Mathematik:
Ein Oberblick
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Andreas Bartholome
Josef Rung
Hans Kern
Zahlentheorie
fur Elnstelger
2./ uberarbeitete Auflage
Mit einem Geleifwort
von Jurgen Neukirch
I I
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Dr. Andreos Barth%me und josef Rung unterrichten om
Hans-leinberger-Gymnasium in landshut
Anschrift: jUrgen-Schumann-StraBe 20, 84034 landshut
Dr. Hons Kern unterrichtet om Schyren-Gymnasium in Pfaffenhofen/llm
Anschrift: Niederscheyerer StraBe 4, 85276 Pfaffenhofen
1. Auflage 1995
2., uberarbeitete Auflage 1996
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1996
UUrrsspprruunngglliicchh erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH,
BBrraouunnsscchhwweeiigg//WWiieessbbooddeenn,, 1996
Dos Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich
geschutzl. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des
Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulas
sig und strafbar. Dos gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen,
Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und
Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlag: Klaus Birk, Wiesboden
Gedruckt oul saurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-16680-9 ISBN 978-3-663-05743-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05743-7
v
Geleitwort
"Von der Mathematik habe ich nie etwas verstanden!" Wann immer
wir Mathematiker uns als Mathematiker zu erkennen geben, wird uns
dieses freimiitige Bekenntnis der Ignoranz serviert, meist im Tonfall der
Genugtuung und mit der Gebarde des Triumphes, so als ob man sich
damit in die Gemeinschaft der normalen Menschen einreiht, denen eine
menschliche Seele innewohnt und ein warmes Herz in der Brust schlagt.
An der Mathematik liegt es nicht, daB sie in so miBlichem Ansehen steht.
Wer ihr im echten Sinne begegnet ist, weiB, daB sie eine Welt der Wunder
und der Schonheit ist, und wird sich vor dem obigen Ausruf ebenso ver
wahren wie vor stolzem Bekenntnis, nicht zu wissen, wer Beethoven ist. So
muB es wohl an der Art liegen, wie sie unterrichtet wird, die Mathematik.
Das vorliegende Buch von A. Bartholome, J. Rung und H. Kern
setzt diesem Zerrbild unserer Wissenschaft die schone Wahrheit entgegen.
Es ist an die Schiiler und - mit gutem Grund - an die Lehrer des Gymna
siums gerichtet. Ihr Gegenstand ist die Zahlentheorie, die "Konigin unter
den mathematischen Wissenschaften". Die Autoren haben fiir die Schule
ein vorbildliches kleines Werk geschaffen. Es lebt von dem Wissen erfahre
ner Lehrer, von der Liebe echter Mathematiker zu ihrem Metier und von
einer heiteren Lebendigkeit der Darstellung. Kluge Auswahl und weise Be
schrankung des Stoffes zeichnet die Autoren als treilliche Lehrmeister aus.
Nirgendwo werden "Klappern" zu billigem Erfolg herangezogen, iiberall
handelt es sich urn echte und wesentliche mathematische Probleme und
Ereignisse, die in verstiindlicher Weise dargestellt werden, und von denen
man sicher sein kann, sie auch im Bereich moderner Forschung anzutreffen.
Die Darstellung ist in einer schwungvollen, verfiihrerischen Sprache ge
faBt, die im jugendlichen Leser eigene Vorstellung und eigene Phanta
sie hervorzurufen vermag. Die vielen Aufgaben sind so gestellt, daB sie
dem erfolgreichen Bearbeiter zum echten mathematischen Erlebnis wer
den konnen. Er wird spater mit Freude berichten: "Ich habe einmal die
Mathematik verstanden".
vi Geleitwort
Das Buch ist als ein Addendum zum gewohnlichen mathematischen Un
terricht am Gymnasium zu verstehen. Wiirde dieser Unterricht von sei
ner qualenden Uberladenheit befreit und auf allen Stufen in dieser Weise
gefiihrt, so konnte sich das Bild der Mathematik in der Gesellschaft zum
Besseren wenden.
Regensburg, Dezember 1994 Prof. Dr. Jiirgen Neukirch
vii
Vorwort
" ...W aB Sie mir von Ihrer Seite wie im Auft rag von Herrn Euler sagen, ist
zweifellos viel gUi.nzender. Ich meine daB schone Theorem von Herrn Euler iiber
Primzahlen und seine Methode, zu testen, ob eine gegebene Zahl, wie groB auch
immer sie sein moge, eine Primzahl ist oder nicht. WaB Sie sich bemiihten, mir
iiber den Gegenstand zu berichten, erscheint mir sehr scharfsinnig und Ihres
groBen Meisters wiirdig. Aber finden Sie nicht, daB es fiir die Primzablen beina
he zuviel Ehre ist, soviel Gedanken iiber sie zu verbreiten, und sallte man nicht
Riicksicht auf den verwohnten Geschmack unserer Zeit nehmen? Ich unterlaBse
es nicht, aHem, WaB aus Ihrer Feder kommt, Gerechtigkeit widerfahren zu laBsen,
und bewundere Ihre groBen Geisteskriifte, um die miBlichsten Schwierigkeiten
zu iiberwindenj aber meine Bewunderung verstarkt sich, wenn daB Thema zu
niitzlichen Erkenntnissen fiihren kann. Ich schlieBe hierin die griindlichen Un
tersuchungen iiber die Starke von Balken ein, von denen Sie sprechen ... "
soweit Daniel Bernoulli in einem Antwortbrief an Nicolaus Full, den Assi
stenten Eulers (nach A. Weil).
Wir werden dennoch nicht iiber die Starke von Balken berichten, son
dem den Primzahlen die Ehre antun. Dazu wollen wir die Leser dieses
Buches im Klassenzimmer abholen und ins so helle und doch geheimnis
volle Reich der Zahlen fiihren. Dieses Buch handelt von dem, WaB schon
die kleinen Kinder konnen und kennen: vom Zahlen und den natiirlichen
Zahlen 1,2,3 und so weiter. DaB Buch wurde fiir die Schulbank geschrie
ben: fiir Pluskurse oder Freiwillige Arbeitsgemeinschaften in Mathematik
und Informatik, als Anregung fiir Jugend - forscht - Arbeiten oder als
Hilfe fiir das Losen von Aufgaben aus dem Bundeswettbewerb Mathema
tik. (Es wurde in den Schuljahren 1991/92 und 92/93 in einem Pluskurs
am Hans-Leinberger-Gymnasium in Landshut verwendet. Teile von ihm
dienten bei der Durchfiihrung eines Proseminars an der Universitat Re
gensburg.) Dieses Buch mochte etwas von dem spielerischen und experi
mentellen Charakter der Zahlentheorie vermitteln, es wird zeigen, wie man
den Computer sinnvoll einsetzen kann- und es soll verdeutlichen, welche
Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt sind. Auch der Lehrer und Liebha
ber wird sicher einiges Spannendes in dem Buch entdecken. In der Schule
bleiben ja leider das Rechnen und die Algebra meist im rein Formalen.
Dagegen ist die bescheidenste Geometrieaufgabe oft mit einer kleinen Er-
viii Vorwort
kenntnis verbunden. Auch im Algebraunterricht kannte das so sein. Es ist
ein Unterschied, ob man urn des Rechnens willen rechnet, oder ob man
rechnet, weil man einer aufregenden Entdeckung auf der Spur ist. Es ist
etwas anderes, die binomischen Formeln zu iiben urn des Ubens willen,
oder ob man mit ihrer Hilfe Erkenntnisse iiber die Zahlen sammelt. Wir
hoffen, der Leser wird hier einiges finden.
Wer unser Buch studiert, solI dabei viel Handwerkliches mitbekommen,
auch Anwendungen des doch etwas trockenen Algebrastoffes lernen (viele
der iiber 300 Aufgaben sind Routine, aber so manche sind sehr schwer
und fordern alle Kraft und Phantasie!). Sie oder er solI aber auch ein
wenig Theorie mitbekommen-denn nur eine gute Theorie zeigt uns, " was
dahintersteckt" .
Schlie6lich - und vielleicht ist dies das wichtigste-mage das Buch allen
zur Erbauung und zum Trost dienen!
Inhaltlich haben wir uns als Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest
zu verstehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie
verwendet wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf das Ziel zu,
sondern verweilen gerne am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns,
wenn wir dort eine bunte Blume zu entdecken meinen. An viel SchOnem
mu6ten wir voriibereilen und manch Wichtiges (Uberlegungen zur Re
chenzeit etwa) achtlos liegen lassen. Aber der Leser wei6 ja, der Mensch
ist endlich (besonders die Autoren) und mu6 sich mit dem Unvollkomme
nen zufriedengeben. Dennoch hoffen wir, der Leser wird sich auf dieser
Reise iiber die vielen schanen Kostbarkeiten von Herzen freuen.
Den einzelnen Abschnitten dieser "Reise" haben wir Zitate aus Son
ja Kowalewskajas Jugenderinnerungen vorausgestellt und wir wiirden uns
sehr freuen, machte unsere Leserin (Leser) am Ende doch mit Sonja aus
rufen: " ... ungeachtet all der Klagen und des Jammers (ob der Fehler der
Verfasser) war die Fahrt doch herrlich"([Kow68]). Wer sich zu sehr iiber
die Fehler iirgert, mage an das Gebet der heiligen Theresia von Avila
denken: " Herr! Lehre mich die wunderbare Weisheit, daB ich mich irren
kann".
Viel Vergniigen bei der Arbeit mit diesem Buch wiinschen die Verfasser.
Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
ix
Vorwort zur 2. Auflage
Wir freuen uns, daB bereits nach gut einem Jahr eine zweite Auflage un
seres Btichleins notig wird.
Die positiven Zuschriften aus Schule und Hochschule waren sehr ermuti
gend. In dieser 2. Auflage haben wir - vielleicht zur Enttauschung einiger
Leser - inhaltlich nichts wesentliches erganzt, sondern nur moglichst viele
Fehler verbessert.
Der zweite Author hat auf dem Internationalen Mathematikerkongress
1994 in Ztirich Professors John Stillwells beeindruckenden Vortrag tiber
"Number Theory as a Core Mathematical Discipline" gehort.
" ... mathematics, from kindergarten onwards should be built around a
core that is
• interesting at all levels
• capable of unlimited development
• strongly connected to all parts of mathematics
... Number theory meads these requirements, ....... number theory is the
best basis for mathematical education ... " (in: Proceedings of the ICM,
Birkhauser 1995, p.1559 - 1567).
In diesem Sinne wtinschen wir viel Freude bei der Arbeit mit unserm
Buch.
Landshut im Juli 1996, die Autoren.
x
Inhaltsverzeichnis
1 Vollstandige Induktion 1
1.1 Das kleinste Element 1
1.2 Das Prinzip vom Maximum 7
1.3 Das Induktionsprinzip 8
1.4 Zusammenfassung.... 21
2 Euklidischer Algorithmus 23
2.1 Teilen mit Rest . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Zahlen benennen. Stellenwertsysteme 27
2.3 Rechnen mit langen Zahlen .. 35
2.4 Der grofite gemeinsame Teiler . 45
2.5 Das Rechnen mit Kongruenzen 53
2.6 Ein wenig Geheimniskramerei . 61
2.7 Primzahlen ........... 65
2.8 Ein kleiner Spaziergang zum Primzahlsatz 78
2.9 Der chinesische Restsatz 80
2.10 Die Euler-Funktion . . . . . . . . . . . . . 100
3 Der kleine Fermatsche Satz 105
3.1 Kleiner Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Die Ordnung einer Zahl modulo einer Primzahl 112
3.3 Primitivwurzeln.................. 114
3.4 S. Germains Beitrag zum Problem von Fermat . 127
3.5 Verschliisseln mit dem Kleinen Fermat 132
3.6 Logarithmieren modulo p. . . . . 135
3.7 Einheiten in Primpotenzmoduln 138
4 Die Jagd nach groBen Primzahlen 144
4.1 Der negative Fermat-Test ................ 144
4.2 Pseudoprimzahlen..................... 152
4.3 Pseudoprimzahlen zur Basis a und Carmichael-Zahlen . 159
4.4 Ein probabilistischer Primzahltest . . . . . . . . . . . . 161
