Wstep do teorii zbiorow i kombinatoryki

202 Pages·2009·0.711 MB·Polish

by  Grzegorz Szkibiel

´
U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I N S K I
GRZEGORZ SZKIBIEL
WSTEP
(cid:44)
´
DO TEORII ZBIOROW
I KOMBINATORYKI
SZCZECIN 2002

Spis tre´sci
Przedmowa .................................................. 5
1. Elementy teorii matematycznych ............................. 7
2. Zasada indukcji matematycznej..............................17
3. Rachunek zdan´..............................................23
4. Niekt´ore zastosowania rachunku zdan´........................32
5. Wzmianka o kwantyfikatorach...............................40
6. Elementy algebry zbior´ow...................................44
7. Sumy i przekroje uog´olnione.................................66
8. Pojecie produkt kartezjan´ski dw´och zbior´ow.................73
(cid:44)
9. Relacje......................................................77
10. Relacje r´ownowaz˙no´sci.....................................84
11. Funkcje....................................................89
12. Obrazy i przeciwobrazy zbior´ow...........................107
13. Zbiory skon´czone ......................................... 116
14. Zbiory przeliczalne........................................127
15. Zbiory nieprzeliczalne.....................................133
16. Zbiory cze´sciowo uporzadkowane..........................139
(cid:44) (cid:44)
17. Zbiory uporzadkowane liniowo.............................145
(cid:44)
18. Rozwiazania..............................................150
(cid:44)
1. Elementy teorii matematycznych...........................150
2. Zasada indukcji matematycznej............................152
3. Rachunek zdan´ .......................................... 155
4. Niekt´ore zastosowania rachunku zdan´.......................158
5. Wzmianka o kwantyfikatorach.............................161
6. Elementy algebry zbior´ow.................................162
7. Sumy i przekroje uog´olnione...............................167
8. Pojecie produktu kartezjan´skiego dw´och zbior´ow.............170
(cid:44)
9. Relacje ................................................. 172
10. Relacje r´ownowaz˙no´sci...................................179
11. Funkcje................................................180
12. Obrazy i przeciwobrazy zbior´ow .......................... 185
13. Zbiory skon´czone........................................189
14. Zbiory przeliczalne......................................192
15. Zbiory nieprzeliczalne....................................193
16. Zbiory cze´sciowo uporzadkowane..........................195
(cid:44) (cid:44)
17. Zbiory uporzadkowane liniowo............................195
(cid:44)
Skorowidz..................................................199
Literatura ................................................. 202
Przedmowa
Fakt, z˙e matematyka lez˙y u podstaw wszystkich nauk zosta(cid:195)l
stwierdzony juz˙ w staroz˙ytno´sci. Wielcy filozofowie greccy – Pitago-
ras, Tales, Eratostenes i inni, to przede wszystkim matematycy.
Potrzeba byl(cid:195)o jednak wielu wiek´ow, by stwierdzi´c, co lez˙y u podstaw
matematyki. Nowoczesna matematyka opiera sie na pojeciu zbi´or –
(cid:44) (cid:44)
pojecie to zosta(cid:195)lo przyjete ponad sto lat temu*.
(cid:44) (cid:44)
Niniejszy skrypt jest w ca(cid:195)lo´sci po´swiecony zbiorom oraz tema-
(cid:44)
tom, kt´ore pozwalaja lepiej zrozumie´c to pojecie. Przedstawiono
(cid:44) (cid:44)
w nim podstawowe pojecia matematyczne: produkt kartezjan´ski,
(cid:44)
relacja, funkcja. Sa one przyk(cid:195)ladami zbior´ow. Prawidl(cid:195)owe zrozu-
(cid:44)
mienie tych poje´c jest do´s´c trudne, ale konieczne w studiowaniu
(cid:44)
matematyki.
Zbiorom po´swiecony jest jeden z d(cid:195)luz˙szych rozdzia(cid:195)l´ow tego
(cid:44)
skryptu. Przedtem wprowadzone sa elementy, kt´ore – po pierw-
(cid:44)
sze – pozwalaja lepiej zrozumie´c to trudne pojecie, a po drugie –
(cid:44) (cid:44)
maja na celu przybliz˙enie pewnych schemat´ow rozumowania, kt´ore
(cid:44)
spotykane sa we wszystkich dzia(cid:195)lach matematyki. W dalszych roz-
(cid:44)
dzia(cid:195)lach pokazano, w jaki spos´ob podstawowe elementy matematyki
opieraja sie na pojeciu zbi´or.
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
Kaz˙dy rozdzia(cid:195)l sk(cid:195)lada sie z trzech cze´sci, z kt´orych pierwsza
(cid:44) (cid:44)
to cze´s´c teoretyczna, odpowiadajaca wyk(cid:195)ladowi. Druga cze´s´c, czyli
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
,,Problemy do dyskusji”, powinna stanowi´c tre´s´c ´cwiczen´. Rozwia-
(cid:44)
zania wszystkich zadan´ z tej cze´sci zosta(cid:195)ly umieszczone w ostat-
(cid:44)
nim rozdziale. Ostatnia, trzecia cze´s´c to zadania przeznaczone do
(cid:44)
samodzielnego rozwiazania, czyli praca domowa (cze´sci tej pozba-
(cid:44) (cid:44)
wiony jest ostatni rozdzia(cid:195)l).
Niniejszy skrypt jest adresowany przede wszystkim do stu-
dent´ow pierwszego roku studi´ow licencjackich, ale takz˙e studenci
studi´ow magisterskich znajda w nim cenne uzupe(cid:195)lnienie wyk(cid:195)ladu.
(cid:44)
Materia(cid:195)l tu zawarty czesto bedzie wykorzystywany na starszych la-
(cid:44) (cid:44)
tach studi´ow, dlatego warto jest zachowa´c egzemplarz skryptu przy-
najmniej do kon´ca studi´ow.
* Dok(cid:195)ladnie w 1883 roku w ksiaz˙ce Grundlagen einer allgemeinen Mannig-
(cid:44)
faltigkeitslehre Georga Cantora.
6 Wstep do teorii zbior´ow i kombinatoryki
(cid:44)
Skrypt powstal(cid:195) na podstawie wyk(cid:195)lad´ow oraz ´cwiczen´ prowa-
dzonych w latach prze(cid:195)lomu tysiacleci przez autora oraz jego asysten-
(cid:44)
tki: A. Szkibiel, E. Kasior oraz I. Staniewska. Autor pragnie po-
(cid:44)
dziekowa´c serdecznie tym osobom za owocna pomoc przy prowadze-
(cid:44) (cid:44)
niu wyk(cid:195)ladu, jak i za cenne wskaz´owki oraz ciekawe zadania, kt´ore
zosta(cid:195)ly tu umieszczone. Podziekowania nalez˙a sie tez˙ studentom,
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
kt´orych wszystkich nie spos´ob wymieni´c, ale to dzieki nim i dla nich
(cid:44)
powsta(cid:195)l ten skrypt.
1. Elementy teorii matematycznych
Na wszystkich zajeciach z przedmiot´ow matematycznych be-
(cid:44) (cid:44)
dziemy sie porusza´c wewnatrz pewnych teorii. Kaz˙dy dzia(cid:195)l mate-
(cid:44) (cid:44)
matyki sk(cid:195)lada sie z wielu teorii, kt´ore czesto nak(cid:195)ladaja sie na
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
siebie. W analizie matematycznej na przyk(cid:195)lad mamy do czynienia
z teoriami liczb rzeczywistych, ciag´ow, szereg´ow, ca(cid:195)lki, pochodnych
(cid:44)
funkcji oraz wieloma innymi. W algebrze spotkamy sie z teoriami
(cid:44)
przestrzeni wektorowych, liczb zespolonych, macierzy, r´ownan´ linio-
wych itp. Teoria r´ownan´ liniowych czesto korzysta z teorii macierzy
(cid:44)
i na odwr´ot. Zatem teorie te nak(cid:195)ladaja sie na siebie.
(cid:44) (cid:44)
Poznamy tutaj kilka podstawowych sk(cid:195)ladnik´ow, kt´ore wchodza
(cid:44)
w sk(cid:195)lad kaz˙dej teorii. Sa to nastepujace elementy:
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
– pojecia pierwotne,
(cid:44)
– definicje,
– aksjomaty,
– pewniki,
– twierdzenia,
– hipotezy.
Om´owimy wszystkie te wspomniane elementy, trzeba jedynie
nadmieni´c, z˙e w zalez˙no´sci od kontekstu lub upodoban´ autor´ow
ksiaz˙ek nazwy tych poje´c moga sie r´oz˙ni´c. Dla dok(cid:195)ladnego zilus-
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
trowania omawianych przez nas poje´c, bedziemy pos(cid:195)lugiwa´c sie
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
dwoma przyk(cid:195)ladami. Pierwszy z nich to skon´czona geometria afi-
niczna, a drugi to liczby naturalne.
Pojecia pierwotne. Sa to elementy, kt´orych sie nie definiu-
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
je. Odgrywaja one role atom´ow bad´z tez˙ bit´ow, z kt´orych zbudo-
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
wana jest teoria. Musza to wiec by´c pojecia zrozumia(cid:195)le dla kaz˙dego
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
oraz zgodne z intuicja. Na przyk(cid:195)lad, wiemy dobrze co to jest czas,
(cid:44)
ale nie silimy sie tego definiowa´c. Podobnie kaz˙dy doskonale rozu-
(cid:44)
mie s(cid:195)lowo ,,posi(cid:195)lek”, jednakz˙e wielu z nas sprawil(cid:195)oby wiele k(cid:195)lopot´ow
dok(cid:195)ladne zdefiniowanie tego pojecia. W matematyce najcze´sciej
(cid:44) (cid:44)
uz˙ywanymipojeciamipierwotnymisazbi´or ielementzbioru. Wteo-
(cid:44) (cid:44)
riach geometrycznych sa one zastapione przez, odpowiednio, pojecia
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
8 Wstep do teorii zbior´ow i kombinatoryki
(cid:44)
figura i punkt. W teorii prawdopodobien´stwa pojeciami pierwotny-
(cid:44)
mi sa zdarzenie oraz zdarzenie elementarne.
(cid:44)
1.1. Przyk(cid:195)lad: skon´czona geometria afiniczna. Pojeciami
(cid:44)
pierwotnymi sa tu punkt oraz zbi´or.
(cid:44)
1.2. Przyk(cid:195)lad: liczby naturalne. Pojeciami pierwotnymi sa tu
(cid:44) (cid:44)
zbi´or,liczba,liczba1 lubjedynkaorazbycienastepnikiem. Oiletrzy
(cid:44)
pierwsze pojecia sa raczej zrozumia(cid:195)le, o tyle zrozumienie ostatniego
(cid:44) (cid:44)
moz˙e przysporzy´c problemu. Intuicyjny sens sformul(cid:195)owania ,,liczba
m jest nastepnikiem liczby n” jest taki, z˙e liczba m jest liczba
(cid:44) (cid:44)
naturalna, kt´oranastepuje(wystepuje, jest)bezpo´sredniopo n. Oz-
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
nacza to wiec pewna relacje okre´slona na pewnym zbiorze liczb.
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
Definicja. Jesttoelement, kt´oryokre´slasiezapomocapoje´c
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
pierwotnych lub tez˙ za pomoca systemu w(cid:195)lasno´sci. Na przyk(cid:195)lad,
(cid:44)
je´sli definiujemy s(cid:195)lowo ,,sztu´cce”, moz˙emy uz˙y´c pojecia pierwotnego
(cid:44)
,,posi(cid:195)lek”. Nasza definicja moz˙e w´owczas przyja´c forme sztu´cce sa
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
to przyrzady s(cid:195)luz˙ace do spoz˙ywania posi(cid:195)lku. Oczywi´scie moga sie tu
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
pojawi´cpewnewatpliwo´sci. Naprzyk(cid:195)lad,czyrekatez˙ jestsztu´ccem?
(cid:44) (cid:44)
Osoba nie majaca nic wsp´olnego z matematyka wy´smiewa zwykle
(cid:44) (cid:44)
tego rodzaju pytania. Dla matematyka stanowia one jednak ´zr´odl(cid:195)o
(cid:44)
problemu. W matematyce tworzymy definicje tak, aby tego rodzaju
watpliwo´sci nie byl(cid:195)o.
(cid:44)
Podamy teraz przyk(cid:195)lad definicji, kt´ora bedziemy p´o´zniej uz˙y-
(cid:44) (cid:44)
wa´c. Jest to definicja oparta na pojeciach pierwotnych zbi´or i ele-
(cid:44)
ment.
1.3. Przyk(cid:195)lad. Zdefiniujemy sume zbior´ow nastepujaco: Suma
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
zbior´ow A oraz B jesttozbi´orsk(cid:195)ladajacysieztychitylkotychele-
(cid:44) (cid:44)
ment´ow, kt´ore sa elementami zbioru A lub elementami zbioru B.
(cid:44)
Na pewno znajdzie sie wielu czytelnik´ow, kt´orych zdziwi nad-
(cid:44)
miar s(cid:195)l´ow w tej definicji. Po co jest tam fraza ,,z tych i tylko tych”?
Odpowied´z: gdyby tej frazy nie byl(cid:195)o, natychmiast powsta(cid:195)loby py-
tanie, czy opr´ocz element´ow zbioru A oraz zbioru B co´s jeszcze
moz˙e nalez˙e´c do sumy.
Czasami trudno jest zdefiniowa´c pewne pojecie, uz˙ywajac do
(cid:44) (cid:44)
tego tylko jednego zdania. Trzymajac sie naszych kulinarnych po-
(cid:44) (cid:44)
r´ownan´, spr´obujmy zdefiniowa´c ,,obiad”. Mamy tu do dyspozycji
Elementy teorii matematycznych 9
pojecie pierwotne ,,posi(cid:195)lek”. Definicja Obiad jest to posi(cid:195)lek spoz˙y-
(cid:44)
wany po po(cid:195)ludniu nie jest dobra, poniewaz˙ w tym czasie moz˙emy po
prostu pi´c kawe i je´s´c paczka, co trudno uzna´c za obiad. Podobnie
(cid:44) (cid:44)
definicja Obiad jest to posi(cid:195)lek sk(cid:195)ladajacy sie z dw´och dan´ nie jest
(cid:44) (cid:44)
najlepsza, bo nie precyzujemy przedzia(cid:195)lu czasowego, kiedy te dania
maja by´c spoz˙yte. Dlatego, aby zdefiniowa´c pojecie obiad, musimy
(cid:44) (cid:44)
uz˙y´c nie jednej w(cid:195)lasno´sci, ale systemu w(cid:195)lasno´sci.
1.4. Przyk(cid:195)lad: skon´czona geometria afiniczna. Zdefiniujemy
pojecia krawed´z oraz linia. Krawedzia nazywamy dowolny zbi´or z(cid:195)lo-
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
z˙onyz dok(cid:195)ladniedw´ochpunkt´ow. Zatem krawed´zniemoz˙ezawiera´c
(cid:44)
wiecej niz˙ dwa punkty. Oczywi´scie moz˙emy narysowa´c dwa punkty
(cid:44)
oraz (cid:195)laczacy je odcinek i traktowa´c te figure jako krawed´z. Jednakz˙e
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
z˙aden punkt odcinka, z wyjatkiem jego kon´c´ow, nie nalez˙y do kra-
(cid:44)
wedzi. Wyobra´zmy sobie sytuacje, w kt´orej mamy cztery punkty,
(cid:44) (cid:44)
z kt´orych z˙adne trzy nie sa wsp´ol(cid:195)liniowe, czyli mamy sze´s´c krawedzi.
(cid:44) (cid:44)
Jez˙eli oznaczymy te krawedzie, jak opisali´smy wyz˙ej, to dwie z nich
(cid:44)
sie przetna. Miejsce przeciecia sie tych krawedzi nie jest punktem.
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
Takz˙e je´sli trzy punkty sa wsp´o(cid:195)lliniowe, to krawed´z zawierajaca dwa
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
skrajne punkty nie zawiera tego ´srodkowego.
Podamy teraz druga definicje. Linia o poczatku w punkcie
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
a oraz kon´cu w punkcie b nazywamy taki zbi´or K krawedzi, z˙e
(cid:44)
A1 punkty a oraz b nalez˙a do pewnych krawedzi k , k nalez˙a-
(cid:44) (cid:44) a b (cid:44)
cych do zbioru K;
A2 jez˙eli x jest punktem r´oz˙nym od a i od b oraz nalez˙y on
do pewnej krawedzi k nalez˙acej do zbioru K, to istnieje
(cid:44) x1 (cid:44)
krawed´z k nalez˙aca do zbioru K , kt´ora zawiera punkt x.
(cid:44) x2 (cid:44)
Aby zdefiniowa´c pojecie linia, uz˙yli´smy nie jednej w(cid:195)lasno´sci,
(cid:44)
tylko systemu w(cid:195)lasno´sci. Tak zdefiniowana linie moz˙emy interpre-
(cid:44) (cid:44)
towa´c jako figure z(cid:195)loz˙ona z odcink´ow. Pamietajmy jednak, z˙e je´sli
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
dwa z takich odcink´ow sie przetna, to miejsce przeciecia nie moz˙e
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
by´c punktem.
1.5. Przyk(cid:195)lad: liczby naturalne. Zdefiniujemy liczbe 2. Licz-
(cid:44)
ba 2 lub dw´ojka nazywamy liczbe, kt´ora jest nastepnikiem je-
(cid:44) (cid:44) (cid:44) (cid:44)
dynki. Moz˙emy tu sie spyta´c, czy istnieje wiecej niz˙ jedna dw´ojka.
(cid:44) (cid:44)
Odpowied´z na to pytanie znajdziemy w nastepnym podrozdziale.
(cid:44)
10 Wstep do teorii zbior´ow i kombinatoryki
(cid:44)
Aksjomat. Jest to w(cid:195)lasno´s´c pojecia pierwotnego lub tez˙ zde-
(cid:44)
finiowanego, przyjeta bez dowodzenia. Nikt nie ma watpliwo´sci,
(cid:44) (cid:44)
co do tego, z˙e czas p(cid:195)lynie, ale nikomu nie przyjdzie do g(cid:195)lowy tego
udowadnia´c. Aksjomat czesto nazywamy prawem. Jak wiadomo,
(cid:44)
kaz˙de prawo ma jaka´s motywacje i podobnie jest z aksjomata-
(cid:44) (cid:44)
mi. Aksjomaty okre´slaja zar´owno dobrze znane w(cid:195)lasno´sci liczb
(cid:44)
(na przyk(cid:195)lad prawo (cid:195)laczno´sci mnoz˙enia lub prawo przemienno-
(cid:44)
´sci dodawania) czy figur geometrycznych, jak i bardziej skompli-
kowane w(cid:195)lasno´sci obiekt´ow spotykanych przy studiowaniu matema-
tyki wyz˙szej. Na przyk(cid:195)lad, przyjmujemy, z˙e prosta nie ma sze-
roko´sci, ale nie dowodzimy tego. Podobnie nie pr´obujemy udowad-
nia´c praw (cid:195)laczno´sci dodawania i mnoz˙enia liczb rzeczywistych lub
(cid:44)
praw przemienno´sci tych dzia(cid:195)lan´.
1.6. Przyk(cid:195)lad. Najprostszym, ale i najistotniejszym aksjomatem
dla wielu teorii jest aksjomat istnienia. Zaczyna sie on od s(cid:195)l´ow
(cid:44)
istnieje przynajmniej jeden..., na przyk(cid:195)lad
Istnieje przynajmniej jeden zbi´or.
lub
Istnieje przynajmniej jeden punkt.
By(cid:195)loby g(cid:195)lupio, gdyby elementy, na kt´orych opiera sie nasza
(cid:44)
teoria, nie istnia(cid:195)ly. Dlatego ich istnienie przyjmujemy ,,na wiare”.
(cid:44)
W teorii zbior´ow za ten ,,przynajmniej jeden zbi´or” uwaz˙amy zbi´or
pusty, czyli taki, kt´ory nie ma element´ow. Oznaczamy go przez ∅.
Majacjuz˙ jedenzbi´or, moz˙emyzdefiniowa´cdrugi. Naprzyk(cid:195)lad {∅},
(cid:44)
co oznacza zbi´or jednoelementowy, zawierajacy zbi´or pusty. Dalej
(cid:44)
definiujemy
{∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}
i tak dalej.
Jez˙eli podamy definicje za pomoca systemu w(cid:195)lasno´sci (jak na
(cid:44) (cid:44)
przyk(cid:195)lad definicja linii), to w(cid:195)lasno´sci z tej definicji staja sie aksjoma-
(cid:44) (cid:44)
tamipojecia, kt´orejestdefiniowane. Itak, A1orazA2, todwaaksjo-
(cid:44)
maty linii. Przyjmujac zbi´or, punkt oraz krawed´z jako pojecia pier-
(cid:44) (cid:44) (cid:44)
wotne tworzymy poczatki teorii linii, kt´orej aksjomatami sa w(cid:195)la´s-
(cid:44) (cid:44)
nie A1 i A2.
Definicje i aksjomaty moz˙emy wprowadza´c w dowolnej chwili.
Nie moz˙na jednak ,,sie zapetli´c”, czyli w definicji powol(cid:195)a´c sie na
(cid:44) (cid:44) (cid:44)