Wege zur Innenwelt des mathematischen Modellierens: Kognitive Analysen zu Modellierungsprozessen im Mathematikunterricht

196 Pages·2011·19.95 MB·German

by  Rita Borromeo Ferri (auth.)

Rita Borromeo Ferri
Wege zur Innenwelt des mathematischen Modellierens
VIEWEG+TEUBNER RESEARCH
Perspektiven der Mathematikdidaktik
Herausgegeben von:
Prof. Dr. Gabriele Kaiser, Universität Hamburg
PD Dr. Rita Borromeo Ferri, Universität Hamburg
Prof. Dr. Werner Blum, Universität Kassel
In der Reihe werden Arbeiten zu aktuellen didaktischen Ansätzen zum
Lehren und Lernen von Mathematik publiziert, die diese Felder empirisch
untersuchen, qualitativ oder quantitativ orientiert. Die Publikationen sol-
len daher auch Antworten zu drängenden Fragen der Mathematikdidaktik
und zu offenen Problemfeldern wie der Wirksamkeit der Lehrerausbildung
oder der Implementierung von Innovationen im Mathematikunterricht an-
bieten. Damit leistet die Reihe einen Beitrag zur empirischen Fundierung
der Mathematikdidaktik und zu sich daraus ergebenden Forschungs-
perspektiven.
Rita Borromeo Ferri
Wege zur Innenwelt
des mathematischen
Modellierens
Kognitive Analysen zu Modellierungsprozessen
im Mathematikunterricht
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Gloria Stillman
VIEWEG+TEUBNER RESEARCH
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Habilitationsschrift Universität Hamburg, 2009
1. Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ute Wrasmann | Britta Göhrisch-Radmacher
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Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1299-5
per lemietiglie
Giulia e Laura
Geleitwort
Amongthe claimsthathavebeencentraltomathematicalmodellingresearchan.dteachingis
thatindividualsfollow quitedistinctivelydifferentpathwayswhenengaginginmodelling. In
contrast, researchers and theorists often used idealised modelling cycles (there are rnany)
whicharereallynormativedescriptions ofthe iterativemodellingprocess. Suchdescriptions
havetheirplaceintheorydevelopment,inresearchparticularlywheninvestigatingandinter
pretingmodellingbehaviourandinclassroomteachingwheretheycanbeusedasscaffoldsby
both students and teachers particularlywhen developing meta-knowledge about modelling.
However,asmuchastheyareahletoenlightenustheyalsocontributetoourignoringofcer
tainthingsthatoccurinc1assroomswhenaparticularmodellingeventoccursastheseareseen
asidiosyncratictotheindividualandthusoflessinterest.Th.equestionstillremains,however,
whataretherealpathwaystakenidiosyncraticallybyaparticularindividualwhenmodelling?
EarlyworkbyOkeandBajpai(1986)usingrelationshiplevelgraphsshowedthatrealmodel
lingprocessesundertakenbymodellersarefarfromlinear,orunidirectionalandmostgenuine
workersinthefield ofmathematicalmodellinghaveadoptedacyclicalviewofthemodelling
cycleeversincebuttherehasbeenlittleresearch sincethattime lookingatthis empirically.
Thus the workbyRitaBorromeoFerriwhich includes herreconstructions ofstudents'indi
vidual"modellingroutes"duringtasksolutioninavarietyofmodellingtasks- acentraland
alreadywell-knownconceptdevelopedintheframe ofherwork - ismorethantimely. Bor
romeo Ferri takes a cognitiveperspective attempting 10 gain insights into the minds ofstu
dents andteachers engaged inmodelling inthe classroom. Takingacognitiveviewpointher
workgivessupportforempiricaldifferentiationofmodellingphasesas:realsituation,mental
representationofthesituation,realmodel,mathematicalmodel,mathernaticalresultsandreal
results.Thetransitionsbetweenphasesinvolvecognitiveprocesses,inparticular:understand
ingthe task, sirnplifyingorstrueturingthe task, mathematising, workingmathematically, in
terpretingandvalidating,respectively.Thelastofthesecompletesthecyclebacktothemental
representationofthe situation. The secondand thirdrequire the inputofextra-mathematical
knowledge. Comparedwith themorecommonnormativedescriptionsofthephases,takinga
cognitiveperspectiveas datafromthesephasesan.dtransitionsareinterrogated,moreinsight
is possible in10 what is actuallyhappening from the perspective ofthe modellingindividual
whethertheybethestudentengagedinthemodellingortheteacherorchestratingthemodel
lingactivity.Inthecomingpagestheauthorofthisbookwillcarefullypareawaythefilmthat
hasmadetheseprocessesopaque10manyofusfromaresearchperspectiveformanyyears.It
thuswillbeofmuchvaluetoallofuscontinuing10researchandteachinthisfield.
GloriaStillman,Ballarat(Australia)
Inhalt
Geleitwort VII
Inhalt. IX
Abbildungs-undTabellenverzeichnis XI
Einleitung:ProblemstellungundÜberblick. 1
MathematischeModelIierungauskognitiverPerspektive:
ZumStandderDiskussionundzurGrundlegungersterTheoriebausteine 5
1.1ModelIierungundModelIierungskreisläufe- nationaleundinternationaleAnsätze 7
1.1.1 RichtungenundAuffassungendesModellierensinderdidaktischenDiskussion.7
1.1.2TypenvonModelIierungskreisläufen 14
1.2StudienzummathematischenModellierenmitkognitiverPerspektive 23
1.2.1 GrundströmungdespädagogischenModellierens 24
1.2.2GrundströmungdeskontextbezogenenModellierens 35
1.2.3WeitereStudien 39
1.3TheoriebausteinI:EntwicklungeinereigenenAuffassungvomModelIierungs-
kreislaufunterkognitionspsychologischerPerspektive .40
1.4 ModelIierungundmathematischeDenkstile- diekognitionspsychologische
Verknüpfung 42
1.5 Theoriebaustein11:AnalysevonModelIierungsprozessenunterderPerspektive
mathematischerDenkstile 50
2 RekonstruktionderInnenweltdesmathematischenModellierens:Methodologischeund
methodischeGrundlagen 57
2.1 PositionierunginderqualitativenempirischenForschung 57
2.1.1 GruppenunterrichtundGruppenprozesse_relevanteAspekte 63
2.1.2ZurRolledesIndividuumsinderGruppe 66
2.1.3VomLaborinsFeld 68
2.2ErhebungsmethodenundErhebungsphasen 69
2.2.1DasSampie 69
2.2.2Erhebungsmethoden- undderenVemetzung 70
2.2.3DieModelIierungsaufgaben- StoffdidaktischeAnalysen 75
2.2.4Erhebungsphasen- mitdemZielderVertiefung 85
2.3Die"Netz-undPhasenanalyse"- Auswertungsmethoden 86
2.3.1 Datentriangulation 87
2.3.2KodierungalsZusammenhaltvonNetzundPhasen 88
2.3.3Typenbildung 92
2.3.4Individuum-Aufgabe-Gruppe- das"IGA-Rechteck" 94
x Inhalt
3 WegezurInnenweltdesmathematischenModellierens- Analysenundempirische
Rekonstruktionen 101
3.1 Querschnittsanalyse 101
3.2ZurempirischenUnterscheidungderPhasenbeimModellieren l09
3.3IndividuelleModellierungsverläufe(,,modellingroutes") 113
3.3.1Fallbeispiell:SebiundMichi-,,Malsehen,wervonunsbeidenbesser
durchkommt!" 115
3.3.2Fallheispiel2:DanielundEmil-"IchbinaufdemBauernhofgroßgeworden,
alsosagmirmalnichts!" 127
3.4VonindividuellenVerläufenzuGruppenverläufen 131
3.4.1 Gruppenverläufe- GemeinsamkeitenundUnterschiede 132
3.4.2VergleichvonIndividuenundGruppen 143
3.5,,Minikreisläufe"undTypenvonAufgabenstrukturen 146
3.6LehrpersonenimUmgangmitModelIierungsaufgabenimUnterricht.. 153
3.6.1 Der"nachträglicheFormalisierer" 155
3.6.2Die,,realitätsnaheValidiererin" 158
3.6.3Die,,Formal-Reale" 163
4 ZusammenfassungundAusblick. 169
4.1WegezurInnenweltdesmathematischenModellierens 169
4.2KonsequenzenfllrUnterrichtundLehrerbildung 175
Literatur 177
Abbildungs-und Tabellenverzeichnis
Abbildung1.1:ModellierungskreislaufnachKaiser(1986) 5
Abbildung 1.2:ModellierungskreislaufTyp1 15
Abbildung1.3:ModellierungskreislaufnachPollak(1979,233) 16
Abbildung1.4:ModellierungskreislaufTyp2 16
Abbildung1.5:ModellierungskreislaufnachKaiser(1986) 17
Abbildung1.6:ModellierungskreislaufTyp3 18
Abbildung1.7:SchematischesDiagrammvomModellierungsprozess(Verschaffei,Greer,
deCorte2000,xii) 19
Abbildung1.8:ModellierungskreislaufTyp4 20
Abbildung1.9:ModellierungskreislaufnachBlumlLeiß(2005,19) 21
Abbildung 1.10:FlowchartnachBurkhardt(2006, 181) 26
Abbildung1.11:Flowchartsvon"goodmodellers"und"poormodellers"imVergleich 28
Abbildung1.12:BigFootProblem(Lesh& Doerr2003,6) 37
Abbildung1.13:Modeling-elicitingactivities(Lesh& Doerr,2003,4) 38
Abbildung1.14:ModellierungskreislaufunterkognitionspsychologischerPerspektive .41
Abbildung1.15:SandrasLösungzurGeburtstagsfeier .47
Abbildung1.16:SonjasLösungzurGeburtstagsaufgabe .48
Abbildung1.17:TimsLösungzurGeburtstagsaufgabe 49
Abbildung1.18:EmilsLösungzurMurmelaufgabe 53
Abbildung2.1:ÜbersichtüberdasDesignderErhebungderKlassen 73
Abbildung2.2:ÜberblickKodierschema 92
Abbildung2.3:IGA-Rechteck. 95
Abbildung2.4:AuszugausFragebogenzummathematischemDenken(Michi) 96
Abbildung2.5:IGA-RechteckmitBeispiel 99
Abbildung3.1:DarstellungeinesModellierungsverlaufs-Beispiel.. 115
Abbildung3.2:MichisundSebisModellierungsverläufe 124
Abbildung3.3:SebisLösungzutTanken-Aufgabe 125
Abbildung3.4:MichisLösungzurTanken-Aufgabe 125
Abbildung3.5:MichiundSebiimLabor 126
Abbildung3.6:ModellierungsverlaufDanielundEmil 129
Abbildung3.7:ZeichnungvonTobibeider,,Leuchtturmaufgabe" 132
Abbildung3.8:ZeichnungvonMichibeider"Leuchtturmaufgabe" 133