Table Of ContentA.A.BOROWKOW
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 53
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
A. A. BOROWKOW
WAHRSCHEINLICHKEITS
THEORIE
EINE EINFÜHRUNG
In deutscher Sprache herausgegeben von
Prof. Dr. PETER FRANKEN
1976
SPRINGER BASEL AG
A. A. BOPOBROB
Hypc Teopnn BepOHTHOCTeiI
Erschienen im Verlag Nauka, Moskau
Deutsche Übersetzung: Dr. Egmar Rödel
Dipl.-Math. Hans Kühne
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Borovkov, A1eksandr A.
Wahrscheinlichkeitstheorie: e. Einf.jA. A. Borowkow. In dt. Sprache hrgg. von Peter Franken.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Math. Reihe
Bd. 53) Einheitssacht. : Kurs teorii verojatnostej <dt.).
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten
© Springer Basel AG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1976
ISBN 978-3-0348-5498-6 ISBN 978-3-0348-5497-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5497-9
VORWORT DES HERAUSGEBERS
Der Autor des vorliegenden Buches, korrespondierendes Mitglied der Akade
mie der Wissenschaften der UdSSR und Professor an der Nowosibirsker Staat
lichen Universität, A. A. BORoWKow, ist ein international bekannter Vertreter
der sowjetischen wahrscheinlichkeitstheoretischen Schule. Das auf Erfahrungen
aus langjähriger Lehrtätigkeit beruhende Buch schließt eine empfindliche
Lücke im Angebot an mathematischen Hochschullehrbüchern.
Die ersten sieben Kapitel des Buches entsprechen sehr gut den verbindlichen
Vorstellungen über den Aufbau der obligatorischen Grundvorlesung Wahr
scheinlichkeitstheorie für Studenten der Mathematik an den Hochschulen und
Universitäten der Deutschen Demokratischen Republik. Das einzige in der
DDR bisher erschienene Buch von A. RENYI, das diesen Anforderungen genügt,
ist für den Anfänger zu umfangreich.
Die Darstellung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, den
heute allgemein anerkannten Prinzipien gemäß, auf der Verwendung der Maß
und Integrationstheorie. Das erforderliche Minimum an Kenntnissen auf diesem
Gebiet wird bereitgestellt. Die Maß- und Integrationstheorie erscheint jedoch
im Buch als das, was sie für Wahrscheinlichkeitstheoretiker wirklich ist, nämlich
ein Hilfsmittel. Das Hauptanliegen besteht in der Vermittlung wahrscheinlich
keitstheoretischer Kenntnisse und Denkweisen.
Hervorzuheben sind die kurzen und eleganten Beweise. Die Beispiele sind
so ausgewählt, daß sie den Leser auf das Wesentliche der vorangehenden
Begriffe und Sätze orientieren. Der Leser wird sehr schnell an Sachver
halte herangeführt, die gewöhnlich den Spezialvorlesungen vorbehalten wer
den (z. B. W ALDsche Identität, lokale Grenzwertsätze, stabile Verteilungen,
Geschwindigkeitsabschätzungen, Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen,
Erneuerungstheorie, bedingter Erwartungswert). Bemerkenswert ist die Auf
nahme des Kapitels über Faktorisierungsidentitäten, durch das dem Leser
der Einblick in einige höchst aktuelle Untersuchungsmethoden vermittelt
wird.
Die bekannten Verteilungstypen und ihre numerischen Charakteristika wer
den recht kurz behandelt. Dem Anfänger werden diesbezüglich die Lehrbücher
von B. W. GNEDENKO, M. FISZ und A. RENYI empfohlen.
Professor BORoWKow hat freundlicherweise alle inzwischen entstandenen
Änderungen und Ergänzungen für die DDR-Ausgabe zur Verfügung gestellt.
Es handelt sich dabei um eine Vielzahl kleiner Verbesserungen der Beweise und
VI Vorwort des Herausgebers
der inhaltlichen Erläuterungen sowie um neue Beispiele, die die Darstellung des
Stoffes auflockern.
Daneben gibt es eine Reihe umfangreicher und grundlegender Änderungen:
Das Kapitel 5 enthält eine sehr schöne Darstellung des Grenzwertsatzes von
POISSON mit der dazugehörigen Geschwindigkeitsabschätzung. Wesentliche
Änderungen haben die Kapitel 6 und 7 erfahren, wobei solche Fragen wie Ge
schwindigkeitsabschätzungen und Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen
neu aufgenommen wurden. Neu geschrieben wurden die Abschnitte über Kon
vergenzarten, charakteristische Funktionen und stabile Verteilungen. Es wurde
ein ganzes Kapitel 8 über Erneuerungstheorie neu aufgenommen. Auf seiner
Grundlage gibt es eine Reihe wesentlicher Änderungen in den Kapiteln 9 und 11.
Insgesamt hat das Buch durch die erwähnten Veränderungen didaktisch und
inhaltlich sehr gewonnen. Die vorliegende Fassung entspricht im wesentlichen
der in Vorbereitung befindlichen 2. SU- Auflage des Buches.
Zwischen Autor und Herausgeber gab es während der Vorbereitung der
DDR-Ausgabe eine fruchtbare Zusammenarbeit. In Abstimmung mit dem Autor
wurde der Anhang über die Integrationstheorie vom Herausgeber durch die
Abschnitte 5, 6 und 7 ergänzt.
Ebenfalls in Abstimmung mit dem Autor hat der Herausgeber einige gering
fügige Textänderungen vorgenommen und einige Anmerkungen hinzugefügt,
die dem Anfänger das Verständnis erleichtern sollen und ihn insbesondere auf
weitere Literatur aufmerksam machen.
P.FRANKEN
VORWORT DES AUTORS
Diesem Buch liegen Vorlesungen zugrunde, die der Verfasser im Laufe einiger
Jahre im dritten Studienjahr der mathematischen Fakultät der Nowosibirsker
Staatlichen Universität gehalten hat. Es wird vorausgesetzt, daß der Leser in
Ergänzung zum traditionellen Analysiskurs auch mit Elementen der Maßtheorie
und insbesondere mit dem Begriff des Integrals bezüglich eines Maßes auf einem
abstrakten Raum und seinen einfachsten Eigenschaften vertraut ist. Das Fehlen
dieser Kenntnisse hindert jedoch keineswegs beim erfolgreichen Aneignen des
Stoffs, falls der Leser bereit ist, bei einigen Behauptungen und Beweisen auf
ihre allgemeinste Fassung zu verzichten.
Es gibt auch eine weitere Möglichkeit. Der Leser vermeidet alle Schwierig
keiten, wenn er beim Lesen der entsprechenden Abschnitte auf die Anhänge 1
und 3 am Ende des Buches zurückgreift, die in kurzer Form die notwendigen
Ergebnisse aus der Maß- und Integrationstheorie enthalten.
Auch einige andere die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie berühren
den Fragen wurden in den Anhängen 1-4 behandelt, was dem Verfasser die
Möglichkeit gibt, im Haupttext des Buches bei der Darlegung der eigentlichen
wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragen und Methoden tiefer vorzudringen.
Die ersten neun Kapitel des Buches bilden ein geschlossenes Ganzes, und man
liest sie am besten hintereinander. Die Kapitel 10-13 setzen das Studium wahr
scheinlichkeitstheoret~her Probleme in drei verschiedenen Richtungen fort
(Faktorisierungsidentitäten - Kapitel 10, MARKowsche Ketten und Informa
tionstheorie - Kapitel 11 und 12 sowie einfachste Typen zufälliger Prozesse -
Kapitel 13), die man unabhängig voneinander lesen kann. In den Vorlesungen
wurde den Studenten verschiedener Jahrgänge jeweils eine dieser drei Ergän
zungsvarianten dargeboten, und der Verfasser hat keinen Grund anzunehmen,
daß einer dieser Varianten vom methodischen oder erkenntnistheoretischen
Standpunkt der Vorzug gebürt.
Im Buch wird eine ganze Reihe von Aufgaben und Beispielen ausführlich
behandelt. Das enthebt den Leser jedoch nicht der Notwendigkeit, selbständig
zu üben. Aus den gegenwärtig vorhandenen Aufgabensammlungen liegt die
Aufgabensammlung von L. D. MESCHALKIN1) dem Buch besonders nahe und
wird daher dem Leser empfohlen.
1) Empfehlenswert ist auoh die Aufgabensammlung von E. S. WENZEL und I.B. Ow
TSCHAROW, Akademie-Verlag, Berlin 1973 (Anm. d. Red).
VIII Vorwort des Autors
Der Verfasser dankt an dieser Stelle seinen Freunden und Kollegen J u. W.
PROCHOROW, W. W. PETROw und B. A. ROGOSIN, deren zahlreiche nützliche
Hinweise zur Verbesserung des Buches beigetragen haben.
Der Verfasser dankt aufrichtig E. A. PETSCHERSKI, der den größten Teil der
Arbeit bei der Überarbeitung der Vorlesungsaufzeichnungen übernommen hat
und dabei eine Reihe wertvoller Bemerkungen gemacht hat. Der Verfasser
dankt des weiteren N. P. LEONTJEWA für die schnelle und sorgfältige Fertig
stellung des Manuskripts und für die Beseitigung einer Reihe von Fehlern.
A. A. BORoWKow
Hinwei8 für den LeBe,.. Das Zeichen ~ im Text bedeutet das Ende eines Beweises. Die
Numerierung der Formeln, der Lemmata und der Sätze wird in jedem Kapitel extra vor
genommen. Kleingedruckte Texte können beim ersten Lesen weggelassen werden.
INHALTSVERZEICHNIS
Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitell. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 5
§ 1. Der Wahrscheinlichkeitsraum . . . 5
§ 2. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 7
§ 3. Das BERNOULLIsche Schema. . . . . . . . . . 10
§ 4. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen. Beispiele • 13
Kapitel 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume ... 16
§1. Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Wahrscheinlichkeits-
raum .................. . 16
§ 2. Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen . • . . • . . . . . 20
§ 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit von Ereignissen und
Versuchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
§ 4. Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und die BA YEssche Formel . 24
Kapitel 3. Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen 29
§ 1. Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . 29
§ 2. Eigenschaften von Verteilungsfunktionen und Beispiele 31
§ 3. Integrale . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 37
§ 4. Zufällige Vektoren . • . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 5. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen und Klassen von Ereignissen . 41
Kapitel 4. Numerische Charakteristika von Zufallsgrößen . . . . . . . 52
§ 1. Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 2. Bedingte Verteilungsfunktionen und bedingte Erwartungswerte 55
§ 3. Der Erwartungswert des Produktes von Zufallsgrößen . . . . 59
§ 4. Der Erwartungswert von Zufallsgrößen, die von der Zukunft unabhängig
sind .............' . . . . . . . . . . . . . . . 60
§ 5. Die Varianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 6. Der Korrelationskoeffizient und andere numerische Charakteristika . 65
§ 7. Die TscHEBYScHEwsche Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . 68
§ 8. Die Verallgemeinerung des Begriffes des bedingten Erwartungswertes . 69
Kapitel 5. Folgen unabhängiger Versuche mit zwei Ausgängen
(Das unendliche BERNOULLI-Schema) 75
§ 1. Das Gesetz der großen Zahlen 75
§ 2. Der lokale Grenzwertsatz . . . . . . 77
