Table Of ContentWolf-Dieter Heller
Henner Lindenberg
Manfred Nuske
Karl-Heinz Schriever
Wahrscheinlichkeits
rechnung
TeUl
Mit vollständig gelösten
Aufgaben
Studien-und Unterrichtsmaterial zur Lehrerfortbildung SULF
Bandl
Wolf-Dieter Heller
Henner Lindenberg
Manfred Nuske
Karl-Heinz Schriever
Wahrscheinlichkeits
rechnung
Teil I
Mit vollständig gelösten
Aufgaben
Springer Basel AG 1979
Herausgegeben in Zusammenarbeit mit dem Staatlichen
Institut fUr Lehrerfort- und Weiterbildung (SIL)
des Landes Rheinland-Pfalz, Speyer.
CIP-Kurztite1aufnahme der Deutschen Bib1iothek
Wahrschein1ichkeitsrechnung:
mit vo11st. ge1osten Aufgaben 1
Wo1f-Dieter Heller ... [Hrsg. in Zsarb. mit d.
Staat1. Inst. fUr Lehrerfort- u. Wei terbi 1d ung
(SIL) d. Landes Rhein1and-Pfa1z, Speyer). -
Base1, Boston, Stuttgart : Birkhauser.
NE: He11er, Wo1f-Dieter [Mitarb.]; Staat1iches
Institut fUr Lehrerfort- und -weiterbi1dung des
Landes Rhein1and-Pfa1z <Speyer>
Teil1. -1979.
(Studien- und Unterrichtsmateria1 zur Lehrer=
fortbi1dung ; Bd. 1)
ISBN 978-3-7643-1106-3 ISBN 978-3-0348-5333-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5333-0
Die vor1iegende Pub1ikation ist urheberrecht1ich
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durch Fotokopie, Mikrofi1m ader andere Verfahren -
reproduziert ader in eine von Maschinen, insbesondere
Datenverarbeitungsan1agen, verwendbare Sprache
Ubertragen werden.
© Springer Basel AG 1979
Urspriinglich erschienen bei Bi rkhauser Ver1 ag Ba se 1 , 1979.
- i -
ZUM GELEIT
Der Themenbereich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik findet zunehmend Ein
gang in den modernen Mathematikunterricht. Aus diesem Grund hat sich das Staatli
che Institut für Lehrerfort- und -weiterbildung (SIL) des Landes Rheinland-Pfalz
die Aufgabe der unterrichtsbezogenen Lehrerfortbildung zu diesem Thema gestellt.
Das Eindringen neuer Themenbereiche in den Schulunterricht bedarf dieser,den Lehr
planentwurf ergänzenden Hilfen, da für viele Mathematiklehrer die vom fachwissen
schaftlichen Studium gegebenen Voraussetzungen oft nicht ganz ausreichen und unter
richtspraktische Erfahrungen fehlen.
Das hier vorliegende Studien- und Unterrichtsmaterial ist daher so konzipiert, daß
es einerseits theoretisch solide fundiert ist aber andererseits auch leicht in die
Unterrichtspraxis umgesetzt werden kann.
Die beiden Skripten "Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 und 2" sind lehrgangsbe
gleitend zu einem SIL-Kurs erstellt worden, der im SS 78 und WS 78/79 in Speyer
durchgeführt wurde. Die sehr positive Resonanz, die dieser Kurs und dieses Studien
und Unterrichtsmaterial fanden, läßt uns glauben, daß uns damit die angestrebte
schwierige Verbindung von "Schule" und "Hochschule" gut gelungen ist.
Da dieses Skriptum aufgrund seiner Ausführlichkeit und des anwendungsbezogenen
Aspekts auch für ein Selbststudium besonders geeignet ist, wurde mit dem Birkhäu
ser-Verlag ein Nachdruck dieses Materials vereinbart, um dem sicher großen Bedürf
ni s nach Fortbil dungsmögl i chkeiten im Themenberei ch "Wahrschei nl i chkeitsrechnung"
gerecht zu werden.
Die Skripten "Wahrscheinl ichkeitsrechnung Teil 1 und 2" sind dabei die ersten Hef
te ei ner neu gegründeten Rei he des Bi rkhäuser-Verl ags: "Studien- und Unterri chts
materialien zur Lehrerfortbildung (SULF)". Es ist geplant, daß in dieser Reihe Ma
terialien erscheinen, die gleichzeitig unter fachwissenschaftlichen und unterrichts
bezogenen Gesichtspunkten verfaßt sind.
In dieser Konzeption 1a ufen z .Zt. zwei weitere Kurse, näml ich "Beschreibende Sta
tistik" und "Schätzen und Testen", von denen die entsprechenden Skripten in Kürze
in dieser SULF-Reihe erscheinen werden.
Das SIL möchte den Autoren für ihre Arbeit herzl ich danken.
Dr . Wo lf Böhm
SIL Speyer
- ii -
VORWORT
Die historische Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist von einer inten
siven Wechselwirkung zwischen Theorie und Anwendungen geprägt.
Stand im 17. Jahrhundert noch die Berechnung von Gewinnwahrscheinlichkeiten bei
Glücksspielen im Vordergrund. so erwies sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff bald
als eine äußerst fruchtbare Idee für Bevölkerungsstatistik und weite Bereiche der
Naturwissenschaften.
Seit in den zwanziger und dreißiger Jahren unseres Jahrhunderts die Wahrschein
lichkeitsrechnung axiomatisiert und damit als mathematische Disziplin anerkannt
wurde. schreitet einerseits die Entwicklung der Theorie (besonders gegenwärtig)
sehr schnell voran und ergeben sich anderseits immer neue Anwendungsgebiete.
Heute wären beispielsweise das gesamte Versicherungswesen oder die moderne Teil
chenphysik ohne Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht denkbar. Der Ablauf ökonomischer
Prozesse. die Entwicklung von Warteschlangensystemen im Bereich des Verkehrswesens
oder der Fernmeldetechnik. die Ausbreitung von Epidemien •... - für Vorgänge dieser
und ähnlicher Natur können mathematische Modelle ohne Wahrscheinlichkeitsbegriff
(sogenannte deterministische Modelle) nur als erster Einstieg in die jeweilige
Problematik dienen; realistische Beschreibungen solcher komplexer Systeme und
insbesondere Prognosen über ihre zukünftige Entwicklung können nur mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung erzielt werden (d.h. mit Hilfe sogenannter stochasti
scher Modelle).
Einer der Hauptanwendungsbereiche der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung ist
selbstverständlich die analytischecStatistik. deren Untersuchungsmethoden heute
in immer stärkerem Maße nahezu alle Zweige der Natur-. Ingenieur- und Gesellschafts
wissenschaften durchdringen.
Von der Qualitätsüberwachung industrieller Fertigung über die Versuchsplanung und
Versuchsauswertung in der Physik. Technik, Biologie. Landwirtschaft, r~edizin.
Psychologie. Soziologie •... bis hin zur ökonometrischen Analyse. Prognose und Pla
nung von Politiken zur optimalen Bewirtschaftung natürlicher Ressourcen reicht das
Spektrum der Einsatzmöglichkeiten statistisch-analytischer Methoden.
Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet einerseits hervorragende Möglichkeiten. auf an
schauliche und interessante Weise mathematisches Denken zu entwickeln und einzu
üben. und stellt anderseits Grundtechniken bereit, die für eine Vielzahl akademi-
- iii -
scher und praktischer Berufe Bedeutung haben.
Ihre feste Verankerung in den Mathematikunterricht gymnasialer Mittel- und Ober
stufen erscheint seit langem überfällig.
Der Hauptgrund dafür, daß Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bisher noch
nicht den ihrer Bedeutung entsprechenden Platz im schulischen Mathematikunterricht
einnehmen konnten, liegt vornehmlich in der Tatsache, daß die Fachlehrer-Ausbildung
an den Hochschulen diese Bereiche erst seit kurzer Zeit - und auch hier noch nicht
überall und nicht immer in ausreichendem Maße - berücksichtigt.
Um diese Lücke zwischen Hochschule und Schule zu schließen, wurde vom SIL Speyer
in den Jahren 1978 und 1979 ein vierteiliger Lehrgang über Wahrscheinlichkeitsrech
nung und Statistik durchgeführt, der interessierten Fachlehrern der Region Pfalz/
Rheinhessen die Möglichkeit zur Einarbeitung in diesen Themenkreis bot.
Die hier vorgelegten beiden "Bände zur Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden aus
einem Skriptum und einer Aufgabensammlung, welche als kursbegleitendes Studienma
terial und praktische Unterrichtshilfe für die Teilnehmer des SIL-Lehrgangs er
stellt wurden. Zwei weitere Bände "Beschreibende Statistik" und "Schätzen und
Testen" sind in Vorbereitung und werden in Kürze erscheinen.
Für die Planung und hervorragende Organisation des Lehrgangs danken wir dem SIL.
insbesondere Herrn Dr.~J. Böhm, recht herzlich.
Ebenso möchten wi r es ni cht versäumen, an dieser Stell e "unseren Kurstei 1n ehmern"
zu danken. Erst durch ihre beständige Mitarbeit, durch die Vielzahl von Anmerkun
gen, Korrekturen und didaktischen Hinweisen, die sie uns im Rahmen eines intensiven
Dialogs gaben, wurde es uns möglich, unser Ausgangsmaterial so aufzubereiten und
darzustellen, daß es einem breiteren Leserkreis nützlich sein könnte.
Herrn Prof. Dr.M. Rutsch sind wir zu besonderem Dank verpflichtet für zahlreiche
wertvolle Diskussionen und für sein aktives Interesse am Entstehen dieser Bände.
Wir danken ferner dem Birkhäuser Verlag- für die Unterstützung unseres insgesamt
vierstufigen Projekts und Tür die bisherige hervorragende Zusammenarbeit. Unser
Manuskript wurde abschnittsweise von mehreren Damen geschrieben; auch ihnen sei
an dieser Stelle recht herzlich gedankt.
Karlsruhe, im März 1979 Die Autoren
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AUFBAU
Der vorliegende Band ist der erste Teil eines Arbeitsbuches, welches als Begleit
text und Aufgabensammlung für einen Lehrgang über Wahrscheinlichkeitsrechnung im
Rahmen der Lehrerfortbildung angefertigt wurde. Weil beide Teile dieses Buches
"Wahrscheinlichkeitsrechnung" als eine Einheit aufzufassen sind, die nur aus tech
ni schen Gründen auf zwei Bände aufgeteil t wurde, geben wi r hier einen Gesamtüber
blick über den Inhalt beider Bände. Da sowohl die Seiten als auch die Kapitel des
Gesamttextes über diesen ersten Band hinaus fortlaufend numeriert sind, kann es
dabei keine Mißverständnisse geben. Ein ausführliches Stichwortverzeichnis, welches
sich ebenfalls auf den Gesamttext bezieht, ist jedem der beiden Bände angefügt.
In dem hier vorliegenden ersten Teil des Arbeitsbuches, der die Kapitel Ibis 6
umfaßt, werden die grundlegenden Begriffe und Methoden der Wahrscheinlichkeits
rechnung vorgestellt und eingeübt; dieses Grundgerüst wird in den Kapiteln 7 bis
9, die den zweiten Teil bilden, spezialisiert und weiter ausgebaut.
Teil 1: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Geometrische und klassische Wahrscheinlichkeitsräume
Kombinatorische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Bedingtheit-Unabhängigkeit
Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
Charakteristiken von Zufallsvariablen
Teil 2: Spezielle Verteilungen
Gesetze der großen Zahlen und Grenzwertsätze
Zweidimensionale Zufallsvariablen
Zu jedem Kapitel wurde eine Sammlung repräsentativer Aufgaben mit vollständigen
Lösungen zusammengestellt, die einerseits als Obungsmaterial und andererseits -
nach kurzer didaktischer Aufbereitung oder sogar unmittelbar - für die Unter
richtspraxis verwendet werden können.
Die insgesamt neun Kapitel der beiden Teile der "Wahrscheinl ichkeitsrechnung"
wurden speziell für die Verwendung als Begleittext und Aufgabensammlung im Be
reich der Lehrerfortbildung angefertigt. Da jedoch auch die notwendigerweise et
was theoretischen Passagen dieses Textes durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben
mit ausführlichen Lösungen veranschaulicht und ergänzt sind, können beide Teile
dieses Arbeitsbuches auch für ein lehrgangsunabhängiges Selbststudium verwendet
werden. Aus diesem Grunde kann der vorliegende Text auch von mathematisch inte
ressierten Oberstufenschülern und Hochschulstudenten der unterschiedlichsten
Fachrichtungen als eine Einführung in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- v -
benutzt werden.
Im folgenden geben wir einen kurzen überblick über den jeweiligen Inhalt und die
Bedeutung der einzelnen Kapitel für die schulische Unterrichtspraxis:
Das erste Kapitel befaßt sich mit Zufallsexperimenten, Ereignissen und Wahrschein
lichkeiten. Ausgehend von den intuitiven Vorstellungen, die man mit diesen Begrif
fen verbindet, werden hier grundlegende Eigenschaften herausgefiltert und zu exak
ten Definitionen verarbeitet. Dieses erste Kapitel stellt die Basis der modernen
(Kolmogoroffschen) Wahrscheinlichkeitstheorie dar; es hat deshalb zwangsläufig
teilweise einen formalen Charakter. Obgleich der Schulunterricht in Wahrscheinlich
keitsrechnung in der Regel nicht mit der Kolmogoroffschen Axiomatik beginnen wird,
erscheint es doch sinnvoll, zunächst die Einführung und das Kapitel 1 wenigstens
oberflächlich zu lesen. Die Grundidee der Modellierung eines in der Wirklich-
keit ablaufenden zufälligen Vorgangs durch Festlegung eines geeigneten Wahrschein
lichkeitsraums sollte sich der Leser schon klarmachen, bevor er für konkrete Situ
ationen Wahrscheinlichkeiten bestimmt.
Im zweiten Kapitel werden zwei spezielle, besonders anschauliche und deshalb auch
sehr häufig verwendete Wahrscheinlichkeitsbegriffe vorgestellt - der Laplace'sche
und der geometrische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Mit diesen beiden Definitionen
von Wahrscheinlichkeiten läßt sich für jede Klassenstufe und auf nahezu beliebigem
Schwierigkeitsgrad eine Vielzahl sehr anschaulicher und interessanter Aufgaben for
mu 1 ieren.
Das Kapitel 3 dient der Vertiefung der Laplace'schen Vorstellung von "gleich wahr
scheinlichen" Ausgängen eines Zufallsexperiments. Es zeigt sich nämlich bei der
praktischen Anwendung dieser einfach anmutenden Vorstellung sehr schnell, daß die
tatsächliche Bestimmung der Anzahl aller möglichen bzw. "günstigen" Ausgänge des
betrachteten Experiments keineswegs trivial ist. Vielmehr lassen sich leicht Auf
gaben formulieren, deren Lösung nur durch routinierte Anwendung kombinatorischer
Methoden möglich ist. Kein Kurs über Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt an dem
"Denksport" Kombinatorik vorbei.
In Kapitel 4 wird analysiert, wie sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen än
dern können je nach Art .und Umfang der Information, die man über den Ausgang
des betrachteten Zufallsexperiments bereits besitzt. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
von Ereignissen werden in diesem Rahmen definiert und diskutiert. Auch diese Be
griffe sind für jeden Grundkurs in Wahrscheinlichkeitsrechnung obligatorisch; sie
