Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre.

34 Pages·2006·0.5 MB·French

Tabledesmatières
Préface vii
Auteursetrédacteurs xi
Leçon1.BernardTeissier.Volumesdescorpsconvexes,géomé-
trieetalgèbre 1
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Leproblèmeisopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Didon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Bonnesen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Généralisations:volumesmixtesetproblèmesdecomptage 7
Troistypesdequestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ThéorèmedeMinkowski-Steiner . . . . . . . . . . . . . . 8
InégalitéisopérimétriquegénéraliséeetformuledePick
(dimension2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Les volumes mixtes en dimension d. Formules de Crofton
etdeCauchy.InégalitésdeAlexandrov-Fencheletthéo-
rèmed’Hadwiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
FormulesdeCroftonetdeCauchy . . . . . . . . . . . . . 10
Inégalitésentrelesvolumesmixtes. . . . . . . . . . . . . 15
Valuationsetvolumesmixtes . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Nombres de faces d’un polytope simplicial dans Rd. Équa-
tionsdeDehn-Sommerville . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Leproblèmeducomptagedespointsentiersendimensiond.
Polynômed’Ehrhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Liensaveclagéométriealgébrique. . . . . . . . . . . . . . . . 24
ThéorèmesdeCarathéodoryetdeBriançon-Skoda.. . . 25
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ix

Auteursetrédacteurs
BenoîtPerthame(ÉcoleNormaleSupé- BernardTeissier(InstitutdeMathéma-
rieuredeParis) tiquesdeJussieu)
Quelqueséquationsdetransportappa- Volumesdescorpsconvexes,géométrieet
raissantenbiologie algèbre
Leçondonnéelejeudi3avril2003 Leçondonnéelejeudi7octobre1999
RédigéeparÉricCharpentier RédigéeparCarineReydy
DominiqueCerveau(UniversitédeRennes1)
JeffreyRauch(UniversitéduMichigan)
Champsd’hyperplans
Àtraversunprisme
Leçondonnéelejeudi7novembre2002
Leçondonnéelejeudi30janvier2003
RédigéeparOlivierRipoll
RédigéeparBenjaminTeixier
Fabien Morel (Université LMU de Mu-
Nicole El Karoui (École Polytechnique,
nich)
Palaiseau)
Groupesd’homotopiedesphèresalgébri-
Gestiondynamiquedesrisquesdansles
quesetformesquadratiques
marchésfinanciers
Leçondonnéelejeudi9novembre2000
Leçondonnéelejeudi13mars2003
RédigéeparBertrandAsseray
RédigéeparFrançoisDufouretArnaud
Gloter PierreBerthelot(UniversitédeRennes1)
Pointsrationnelsdesvariétésalgébriques
MarcYor(UniversitéParis6etAcadémie surlescorpsfinis:l’approchep-adique
desSciences) Leçondonnéelejeudi8janvier2004
Lemouvementbrownien:unemartingale RédigéeparFloricTavares
exceptionnelleetnéanmoinsgénérique
Leçondonnéelejeudi4mars2004 BrunoKahn(UniversitéParis7)
RédigéeparÉricCharpentier Motifs
Leçondonnéele6novembre2003
WendelinWerner(UniversitéParissud, RédigéeparRémyEupherte
Orsay)
LaurentLafforgue(IHÉSetAcadémiedes
Lacetsetinvarianceconforme
Sciences)
Leçondonnéelejeudi3novembre2005
FormulesdetracesetprogrammedeLan-
RédigéeparJean-FrancoisMarckert
glands
Leçondonnéelejeudi2octobre2003
XavierViennot(LaBRI,Bordeaux)
RédigéeparFrancisBrown
Énumérons!Delacombinatoireénumé-
rativeclassiqueauxnouvellescombina-
toires:bijective,algébrique,expérimen-
tale,quantiqueet...magique!
Leçondonnéelejeudi5décembre1996
RédigéeparÉricCharpentieretMeriem
Zemmari
xi
[pageblanche]
BernardTeissier
Volumesdescorpsconvexes,géométrieetalgèbre
Résumé
Une valuation sur une classe S de sous-ensembles de l’espace
d
euclidienRd,àvaleursdansungroupeabélienΦ,estuneapplication
v:S →Φ
d
vérifiantv(;)=0et,chaquefoisqueE ,E ,E ∩E etlaréunionE ∪E
1 2 1 2 1 2
sontdansS ,l’égalité
d
v(E ∪E )=v(E )+v(E )−v(E ∩E ).
1 2 1 2 1 2
Lavaluationlaplusconnueestprobablementlevolumed-dimension-
neldéfinisurlaclassedessous-ensemblesmesurablesbornésetpre-
nantsesvaleursdansR.Remarquonsqu’elleestinvariantepardépla-
cement,c’est-à-direparisométrieaffine.Unautreexempleestlaca-
ractéristiqued’Euler-Poincaré,définieenparticuliersurlaclassedes
polyconvexes (réunionsfiniesd’ensemblesconvexescompacts)etin-
variante par homéomorphisme. Le thème central de cet exposé est
l’étudedesvaluationsàvaleursréellesouentièresetenparticulierla
question de savoir dans quelle mesure elles ressemblent au volume
ouàlacaractéristiqued’Euler-Poincaré.Nousétudieronsparticulière-
mentdesvaluationsquienquelquesorte«interpolent»duvolumeàla
caractéristiqued’Euler-Poincaré.Desrésultatstrèsrécentsjettentune
lumièrenouvellesurcetypedeproblème.
Leproblèmeisopérimétrique
Didon
Cesleçonss’appellent«LeçonsdeMathématiquesd’Aujourd’hui»
mais je vais commencer par des mathématiques d’il y a bien long-
1
2 BernardTeissier
temps. Je vais vous parler du problème isopérimétrique. La plus an-
cienneattestationhistorique(oudumoinsmythologique)quel’onen
aitestl’histoiredelafondationdeCarthage(IXesiècleav.J.-C.)parla
princesse phénicienne Elissa, plus connue aujourd’hui sous son sur-
nomdeDidon(«lavagabonde»):ayantdûfuirsavilledeTyr,Didon
trouvarefugeavecsasuitesurlescôtesd’AfriqueduNord.Elleacheta
au prince local le droit de rester sur une surface que pourrait conte-
nir la peau d’un bœuf. Mais Didon était une femme avisée : elle eut
l’idéededécouperlapeaudebœufentrèsfineslanièresqui,réunies
boutàbout,firentunelonguebande,aveclaquelleelleentouralaplus
vastesurfacepossiblesurlaplage;etc’estlàqu’ellefondalavillede
Carthage.(Leprince,impressionné,voulutl’épouser,etensuitel’his-
toiresortduchampdecetexposé.)Laquestionseposedoncdesavoir
quelle surface maximum on peut enfermer avec une lanière de lon-
gueurdonnéedontlesextrémitéssontsurunedroite,icilerivage.Sila
reineDidondonnalabonneréponse,ellenedonnapasladémonstra-
tion,etc’estpresque3000ansplustardqu’ondémontraqu’elledevait
tracerundemi-cercle(aveclediamètresurlerivage).C’estunavatar
duproblèmeisopérimétrique,quiestdedéterminerlesrelationsexis-
tantentrelevolumed’uncorpsdansunespacemétrique(parexemple
l’espaceeuclidien)dedimensiondetle«volume»(mesuréendimen-
siond−1)desonbord:surfaceetpérimètredansleplan,volumed’un
corps et surface de son bord dans l’espace, etc. Ce problème a joué
unrôlehistoriqueimportantparsesconséquencespratiquesetaussi
parcequec’étaitunproblèmedecalculdesvariationsbienavantque
celui-cin’existe.
DansHomère,onnemesurepaslatailledesvillesparleursurface,
maisparleurpérimètre:lavilledeTroie«fait»10200pas.Sionachète
unterrainde tel périmètre, comments’arrangerpouravoir lasuper-
ficiemaximum?Bienquelasolution(lecercle)aitprobablementété
connuedepuislecinquièmesiècleavantJésus-Christ(aumoinssous
laformequiditquedetouslespolygonesàncôtésdepérimètredonné
c’estlepolygonerégulierquienfermelaplusgrandeaire),Proclus(411-
485)mentionnedesprocèsquiopposèrent,aupremiersiècledenotre
ère,lesmembresdecommunautésgrecques,quiavaientdécidédepar-
tagerlaterreéquitablementenlopinsdemêmepérimètreetavaienteu
dessurprisesaumomentdelarécolte.
Ladécouvertedelanotiond’aireestsansdouteunmomentma-
jeurdesmathématiques,etcettenotionétaitpeut-êtreconsidéréeà
Volumesdescorpsconvexes,géométrieetalgèbre 3
l’époquecommelapointedel’abstraction.LephysicienSokal,quise
moque(voir[So1],[So2])deslittérairesquiinvoquentdesnotionsde
mathématiquesetdephysiquesanslescomprendrecommelespro-
fessionnels,aundevancierillustreenlapersonnedePlaton;celui-ci
parodiedansLaRépublique (voir[P],587d)lesémulesdePythagore
quimettaientdesnombrespartout.Ildonneunedémonstrationfan-
taisistedufaitque«lamesuredelagrandeur(=l’aire)del’imagedu
plaisirdutyranestuncarréparfait»(1);l’aireétaitpeut-êtrepourPla-
toncequelathéoriequantiquedeschampsestpourSokal.
Je vais maintenant parler de quelque chose de très différent, en
apparence:supposezquevousayezuneboîteKenformedepolygone
convexe,àl’intérieurdelaquellesetrouventdesinsectesoubiendes
produitschimiques,quivonts’éloignerdeKdansl’environnement,à
partirdetoutlecontourdecepolygone,àvitesseconstante(disons
àlavitesse1,enchoisissantbienlesunités)perpendiculairementau
contour.Vousvousposezlaquestiondesavoirquelleestlamesurede
lasurfacecontaminéeàl’instantt,c’est-à-direlasurfaceobtenueen
prenanttouslespointsquisontàunedistancedupolygoneinférieure
à t : autrement dit, quelle est l’aire de l’ensemble K+tB des points
situésàunedistance(cid:201)tdeK?Bdésignelabouleunité,c’est-à-direici
ledisqueunité,puisqu’onestdansleplan.C’estlemomentdedonner
quelquesdéfinitions:
Définition1. a)UnensembleE⊂Rdestditconvexesipourtouspoints
xetydansE,lesegment[x,y]estinclusdansE.
b)L’enveloppeconvexed’unsous-ensembleE⊂Rd estl’intersec-
tiondetouslessous-ensemblesconvexesdeRd contenantE:
Conv(E)= \ C.
Cconvexe
C⊇E
C’estdonclepluspetitconvexecontenantE.
Jem’intéresseraisurtoutàdessous-ensemblesconvexescompacts
d’intérieurnonvide.
Définition2. SoientK etK deuxsous-ensemblesconvexesdeRd;on
1 2
appellesommedeMinkowskideK etK etonnoteK +K l’ensemble
1 2 1 2
K +K ={x +x |x ∈K , x ∈K }.
1 2 1 2 1 1 2 2
1Traductiondel’auteur.
4 BernardTeissier
C’estencoreunensembleconvexe.UnetranslationsurK ousur
1
K se traduit par une translation sur K +K . Dans ce qui suit, on
2 1 2
considérerasouventK ,K ,K +K ,etc.«àtranslationprès».
1 2 1 2
Ondéfinitaussil’homothétiquedeKderapportλ∈R+ parλK=
{λx|x∈K}.UnetranslationsurKsetraduitparunetranslationsurλK.
t
K
RevenonsàK+tBetàsonaire.Ledessinmontrequesij’appelleS
l’airedeKetLsonpérimètre,l’ensembleétudiéa,pourt˚0,uneaire
égaleà
aire(K+tB)=S+Lt+πt2=P (t);
K
c’est un polynôme de degré 2 en t. Cette expression pour l’aire de
K+tBestenfaitvalablepourtoutsous-ensembleconvexecompact
duplan;àchaqueconvexecompactKestdoncassociéunpolynôme
dedegré2,P (t)=S+Lt+πt2.Lediscriminantdecepolynômeest
K
L2−4πS.L’inégalitéisopérimétriquedansleplanest
L2−4πS˚0,
et manifeste une relation fondamentale entre le périmètre et l’aire.
CetteinégalitééquivautàdirequeP adesracinesréelles.CommeP
K K
est un polynôme à coefficients positifs, ses racines sont dans ce cas
négatives,etondoitavoirpourP ungraphedecetype:
K
Volumesdescorpsconvexes,géométrieetalgèbre 5
y = P (t)
K
t
Leproblèmeisopérimétriquedansleplanestdeprouverque,pour
n’importequellecourbeferméesimpleassezmodérémentaccidentée
pouravoirunelongueurLfinie(unecourberectifiable;engros,non
fractale)etenfermantuneaireS,l’inégalitéisopérimétriqueestvalide,
etsurtoutquel’égalitén’alieuquesilacourbeestuncercle.
Notezquesilacourbeestdelongueurinfinie,l’inégalitéestvraie
maissansintérêt.Notezaussiquel’enveloppeconvexed’undomaine
donné du plan enferme une surface plus grande avec un périmètre
inférieur. Il suffit donc pour résoudre le problème isopérimétrique
plandeconsidérerdesdomainesconvexes.Ceciestradicalementfaux
endimension>2.
Bonnesen
En1921,Bonnesen[Bo]adémontrél’inégalité
L2−4πS˚π2(R−r)2
oùr estlerayonduplusgrandcercleinscritdansK,etRlerayondu
pluspetitcerclecirconscrit(contenantK).Cetteinégalitéestvalable
pourn’importequelcompactconvexeduplan.
6 BernardTeissier
y = P (-t)
K
r R
t
Cen’estqueplustardquel’onadémontréunrésultatplusfort,à
savoirqueque,pourtoutcompactconvexeK duplan,d’aireS etde
périmètreL,lesegment[r,R]estcomprisentrelesracinesdeP (−t).
K
Celasignifieque
p p
L+ L2−4πS L− L2−4πS
˚R˚r˚
2π 2π
etdonc p
L2−4πS
R−r(cid:201) ,
π
cequipermeteneffetderetrouverl’inégalitédeBonnesen:
L2−4πS
(R−r)2(cid:201) · (1)
π2
Del’inégalitédeBonnesen,ondéduitd’unepartqueL2−4πS˚0,
etd’autrepartque
L2−4πS=0⇒R=r⇔Kestundisque ⇒L2−4πS=0.
Dans le problème isopérimétrique, il est assez facile de prouver
l’inégalitéL2−4πS˚0;cequiestvraimentdifficile,c’estdemontrer
quel’égalitén’alieuquesiKestundisque,etc’estjustementceque
permetl’inégalitédeBonnesen.
Celaaétéleproblèmedanstouteslestentativesdesolutiondupro-
blème isopérimétrique au cours des âges, au temps des Grecs, puis
après l’invention de l’analyse infinitésimale au XVIIIe siècle, le pro-
blème n’ayant été résolu complètement que vers 1895, par des mé-
thodesd’analysebiendifférentesdelapreuvedeBonnesen.Iladonc
falluenviron2800anspourrésoudrecomplètementleproblèmeisopé-
rimétriquedansleplan!