Vertiefung Mathematik Primarstufe — Arithmetik/Zahlentheorie

264 Pages·2015·2.79 MB·German

by  Friedhelm Padberg

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Friedhelm Padberg
Andreas Büchter
Vertiefung
Mathematik
Primarstufe –
Arithmetik /
Zahlentheorie
2. Aufl age
Vertiefung Mathematik Primarstufe –
Arithmetik/Zahlentheorie
MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II
Herausgegebenvon
Prof.Dr.FriedhelmPadberg,UniversitätBielefeld,
und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen
BishererschieneneBände(Auswahl):
DidaktikderMathematik
P.Bardy:MathematischbegabteGrundschulkinder–DiagnostikundFörderung(P)
C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing:Frühem athematischeB ildung ( P)
M.Franke:DidaktikderGeometrie(P)
M.Franke/S.Ruwisch:DidaktikdesSachrechnensinderGrundschule(P)
K.Hasemann/H.Gasteiger:AnfangsunterrichtMathematik(P)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe(P)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band2(P)
F.Käpnick:MathematiklerneninderGrundschule(P)
G.Krauthausen:DigitaleMedienimMathematikunterrichtderGrundschule(P)
G.Krauthausen/P.Scherer:EinführungindieMathematikdidaktik(P)
G.Krummheuer/M.Fetzer:DerAlltagimMathematikunterricht(P)
F.Padberg/C.Benz:DidaktikderArithmetik(P)
P.Scherer/E.MoserOpitz:FördernimMathematikunterrichtderPrimarstufe(P)
A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule(P)
G.Hinrichs:ModellierungimMathematikunterricht(P/S)
R.Danckwerts/D.Vogel:Analysisverständlichunterrichten(S)
G.Greefrath:DidaktikdesSachrechnensinderSekundarstufe(S)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikSekundarstufeI(S)
F.Padberg:DidaktikderBruchrechnung(S)
H.-J.Vollrath/H.-G.Weigand:AlgebrainderSekundarstufe(S)
H.-J.Vollrath/J.Roth:GrundlagendesMathematikunterrichtsinderSekundarstufe(S)
H.-G.Weigand/T.Weth:ComputerimMathematikunterricht(S)
H.-G.Weigandetal.:DidaktikderGeometriefürdieSekundarstufeI(S)
Mathematik
F.Padberg/A. Büchter:EinführungMathematikPrimarstufe –Arithmetik(P)
F.Padberg/A.Büchter:VertiefungM athematikPr imarstufe– A ri thmetik/Zahlentheorie(P)
K.Appell/J.Appell:Mengen–Zahlen–Zahlbereiche(P/S)
A.Filler:ElementareLineareAlgebra(P/S)
S.Krauter/C.Bescherer:ErlebnisElementargeometrie(P/S)
H.Kütting/M.Sauer:ElementareStochastik(P/S)
T.Leuders:ErlebnisArithmetik(P/S)
F.Padberg:ElementareZahlentheorie(P/S)
F.Padberg/R.Danckwerts/M.Stein:Zahlbereiche(P/S)
A.Büchter/H.-W.Henn:ElementareAnalysis(S)
G.Wittmann:ElementareFunktionenundihreAnwendungen(S)
B. Schuppar/H. Humenberger:ElementareNumerik für die Sekundarstufe (S)
P:SchwerpunktPrimarstufe
S:SchwerpunktSekundarstufe
WeitereBändeinVorbereitung
(cid:2)
Friedhelm Padberg Andreas Büchter
Vertiefung Mathematik
Primarstufe
– Arithmetik/Zahlentheorie
2. Auflage
FriedhelmPadberg AndreasBüchter
FakultätfürMathematik FakultätfürMathematik
UniversitätBielefeld UniversitätDuisburg-Essen
Bielefeld,Deutschland Essen,Deutschland
ISBN978-3-662-45986-7 ISBN978-3-662-45987-4(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-45987-4
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DieersteAuflageerschienunterdemTitel„ZahlentheorieundArithmetik“.
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2015
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Einleitung
DieserBandVertiefungMathematikPrimarstufe–Arithmetik/Zahlentheoriewendetsich
insbesondere an Studierende des Fachs Mathematik für das Lehramt an der Primarstu-
fe. AufbauendaufdemBandEinführungMathematikPrimarstufe –Arithmetik1 führter
deutlichtieferindieArithmetik/Zahlentheorieein.DennochistdieserBandsokonzipiert,
dass er bei entsprechenden Vorkenntnissen auch unabhängig von einer vorhergehenden
LektüredesEinführungsbandesmitGewinneingesetztwerdenkann.
CharakteristikadiesesBandes
ÄhnlichwieschonfürdieEinführungMathematikPrimarstufe[7]sindauchfürdieDar-
stellungderArithmetik/ZahlentheorieindiesemBandfolgendePunktecharakteristisch:
(cid:2) verschiedeneBegründungsniveaus(vonanschaulichenBeweisstrategienbiszuBewei-
senmitVariablen),
(cid:2) eineausführlicheDarstellungderBeweiseunterheuristischenGesichtspunkten,
(cid:2) eineschrittweiseBehandlungumfangreichererBeweise,umsozueinembesserenBe-
weisverständnisbeizutragen(Zielsetzung:nichtsoelegantundknapp,sondernsover-
ständlichwiemöglich),
(cid:2) einesorgfältigeErarbeitungdergrundlegendenBegriffe,
(cid:2) derEinsatzvieleranschaulicherBeispielezurVerdeutlichungvonAussagen/Sätzen,
(cid:2) eine reiche Auswahl an Übungsaufgaben sowohl zur Erarbeitung von direkt schon
imTextthematisierter SachverhaltealsauchzurVertiefungundWeiterführung–ein-
schließlichvonLösungshinweisenbeischwierigenAufgaben.
StrukturundInhalt
ImerstenKapitelbeschäftigenwirunsabseitsderFachsystematikmitdreiüberschauba-
ren,spannendenProblemstellungen,umsodasInteresseanzahlentheoretischenFragestel-
1F.Padberg/A.Büchter:EinführungMathematikPrimarstufe–Arithmetik,Berlin/Heidelberg2015.
V
VI Einleitung
lungenzuwecken.Soversuchenwirzunächst,sämtlicheZahlenmitgenauvierTeilernzu
bestimmen–unddiesmöglichstgeschicktundeffektiv.Wirsindanschließendüberrascht,
dassdiesoleichtverständlicheGoldbachscheVermutungtrotzjahrhundertelangerBemü-
hungenauchheutenochunbewiesenistunddassselbstderEinsatzmächtigsterComputer
keineswegszueinemBeweisdieserVermutungführenkann.Dagegenkönnenwir–völlig
überraschend – die noch unwahrscheinlicher klingendeBehauptung,dass jede Primzahl
größer als zwei als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar ist, leicht beweisen. Wir
beschäftigenunsindiesemBandauchmithandfestenAnwendungen,diefürdastägliche
Lebenrelevantsind,undstellenschonhier exemplarischdieFrage:Wiegutsindeigent-
lichdieMedikamentenbestellungenderApothekengegengängigeFehlerabgesichert?
Das zweite Kapitel ist zunächst der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation gewidmet.
Nach der Definition im ersten Abschnitt untersuchen wir im zweiten die Eigenschaften,
diesie als Ordnungsrelationencharakterisieren. DieVerträglichkeitmit denRechenope-
rationen–unddamitinsbesonderedieSummen-,Differenz-undProduktregeln–stehen
imdrittenAbschnittimMittelpunktunseresInteresses,unteranderemweilwiraufdiese
RegelnwieauchaufdieTransitivitätimweiterenVerlaufdiesesBandeshäufigerzurück-
greifen werden. Von den verschiedenen Begründungsniveausbevorzugen wir in diesem
KapitelBeweisemitVariablenbenutzungundgehenaufbeispielgebundeneBeweisstrate-
giennurindenAufgabenein.Dieshängtdamitzusammen,dasswirdieTeilbarkeits-und
VielfachenrelationschonindemBandEinführungMathematikPrimarstufe–Arithmetik2
gründlichthematisierthaben.GegenüberderdortigenBehandlungerfolgthierallerdings
eineVertiefunginzweierleiHinsicht,nämlichinHinblickaufdiezugrundeliegendeZah-
lenmenge–nebendennatürlichenZahlenbetrachtenwirhierauchdieganzenZahlen,da
so einigeBeweise einfacherwerden– sowie in Hinblick aufdas Begründungsniveau.In
diesemKapitelbeschränkenwirunsfernernichtnuraufdenSonderfall,dassderRestbei
Divisionnullist,sondernuntersuchenimviertenAbschnittganzallgemeinauchDivisio-
nen,beideneneinvonnullverschiedenerRestauftretenkann.Wirbeweisendenzentralen
SatzvonderDivisionmitRestundführenaufdieserGrundlageimfünftenAbschnittsehr
anschaulichdieRestgleichheitsrelation einundbeweisen einigewichtigeEigenschaften.
BeiderAbleitungderTeilbarkeitsregeln(Kapitel6)ist dieseRelationsehr hilfreich,bei
derThematisierungvonRestklassen/algebraischen Strukturenim Kapitel 8spieltsie die
zentraleRolle.
Im dritten Kapitel lernen wir die Primzahlen unter verschiedenen, faszinierenden
Aspekten genauer kennen. So betrachten wir im ersten Abschnitt ihreunterschiedlichen
„Gesichter“.DiegenialeinfacheBeweisideeEuklidsbeiderAntwortaufdieFragenach
der Anzahl der Primzahlen beschäftigt uns im zweiten Abschnitt ebenso wie die fas-
zinierende Jagd nach immer größeren Primzahlen. Das Siebverfahren zur Bestimmung
sämtlicher Primzahlen bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl, das Eratosthenes
schonvorgut2200Jahrenerfand,bestichtebenfallsdurchseineEinfachheitundgleichzei-
tigeEffizienz(dritterAbschnitt).DiePrimzahlensindinnerhalbderMengedernatürlichen
2Vgl.Padberg/Büchter[7],S.71ff.
Einleitung VII
Zahlen sehr unregelmäßig verteilt. So gibt es – wie wir im vierten Abschnitt erfahren –
einerseitssehrengbenachbartePrimzahlenselbstnochbeisehrgroßenZahlen,während
esdanebenprimzahlfreieLückenbeliebigerLängegibt,wiewirzeigenwerden.
ImviertenKapitelbetrachtenwirdiePrimzahlenuntereinemspeziellenBlickwinkel:
SinddiePrimzahlenBausteinedernatürlichenZahlen?LässtsichalsojedenatürlicheZahl
als Produktvon Primzahlen darstellen? Dass dies beiallen von 1 verschiedenennatürli-
chenZahlensogarstetsaufnurgenaueineArtundWeisemöglichist,istdieAussagedes
HauptsatzesderelementarenZahlentheorie,denwirnachVorarbeitenimerstenAbschnitt
schrittweiseimzweitenbeweisen.AusdiesemSatzziehenwirimdrittenAbschnitteinige
wichtigeFolgerungen:WirformulierenundbeweisendasPrimzahlkriterium,thematisie-
ren das Lemma von Euklid und geben aufgrund der Primfaktorzerlegung die Elemente
unddieElementanzahlvonTeilermengenan.AberauchdieimnächstenKapitelfolgende
ggT-undkgV-BestimmungmithilfederPrimfaktorzerlegungfunktioniertsonur,weilder
HauptsatzderelementarenZahlentheoriegilt.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) sind
die Themen des fünften Kapitels. Der ggT lässt sich sehr anschaulich mittels Teiler-
mengeneinführen(ersterAbschnitt),dasVerfahrenüberdiePrimfaktorzerlegung(zweiter
Abschnitt) führt jedoch wesentlich schneller zum Erfolg. Der schon auf Euklid zurück-
gehende sogenannte Euklidische Algorithmus bringt uns selbst bei großen Zahlen ohne
Bestimmung der Primfaktorzerlegung oft noch wesentlich rascher und eleganter zum
Ziel. Daher behandeln wir dieses Verfahren im dritten Abschnitt. Auch das kgV führen
wir – analog zum ggT – zunächst anschaulich mit Vielfachenmengen ein (vierter Ab-
schnitt),dasVerfahrenüberdiePrimfaktorzerlegung(fünfterAbschnitt)führtjedochfast
immerrascher undsystematischer zumZiel.WegendesimsechstenAbschnittbewiese-
nenZusammenhangszwischen ggTundkgVkönnenwirdenEuklidischenAlgorithmus
indirektbenutzen, um so ohnevorherigeBestimmung der Primfaktorzerlegungdas kgV
gegebenerZahlenzubestimmen.ImsiebtenundletztenAbschnittbeweisenwirmithilfe
desEuklidischenAlgorithmusdieüberraschendeAussage,dasssichderggT.a;b/immer
als „Linearkombination“ von a und b darstellen lässt und dass dies bei teilerfremden a
undb sogarfürjedeganzeZahlgilt.DurchUmdeutungalssogenanntelinearediophan-
tische Gleichung gewinnenwir sogareinen vollständigen Überblick überdie Lösbarkeit
dieserGleichungen.
ImsechstenKapitelbeschäftigenwirunsintensivmitdenTeilbarkeitsregeln.ImUn-
terschiedzuihrerBehandlungimBandEinführungMathematikPrimarstufe–Arithmetik3
gehenwirhiervonderRestgleichheit(Kongruenz)gegebenerZahlenaus.EingroßerVor-
teil dieses Weges: Wir können sämtliche Teilbarkeitsregeln im dezimalen wie auch in
nichtdezimalenStellenwertsystemenauseinereinheitlichenGrundideeableiten,nämlich
ausderIdee,dieBasispotenzendesgegebenenStellenwertsystemsdurchmöglichstkleine,
zudem jeweiligenTeiler restgleiche Zahlenzu ersetzen.Wirbegnügenunssogarinden
meistenFällennurmitderUntersuchungdreierbesondersleichterundgutzubehaltender
3Vgl.Padberg/Büchter[7],S.95ff.
VIII Einleitung
Sonderfälle.EinweitererbesondererVorzugdiesesZugangswegesinseinerallgemeinen
FormistdieMöglichkeit,dassStudierendeselbstständigundkreativTeilbarkeitsregelnfür
beliebigeTeilerinbeliebigenStellenwertsystemenfindenundbeweisenkönnen–ganzim
GegensatzzudemsonstüblichenWeg.
Wir beginnen dieses sechste Kapitel mit einigen kurzen Bemerkungen zur Darstel-
lung der natürlichen Zahlen im dezimalen wie in nichtdezimalen Stellenwertsystemen
(erster Abschnitt) sowie mit einem Rückblick auf die Restgleichheitsrelation und einige
ihrerEigenschaften(zweiterAbschnitt).AufdieserGrundlagekönnenwirdannTeilbar-
keitsregeln in dem Sonderfall besonders leicht ableiten, dass die Basis des betrachteten
Stellenwertsystems (oderaberihrezweiteoderdrittePotenz)restgleichistzurNull.Wir
könnenindiesemFalldieFragederTeilbarkeiteinergegebenenZahlalleinschonanih-
rerEndstelle(bzw.ihrenletztenzweioderdreiEndstellen)entscheiden(Endstellenregeln,
dritter Abschnitt). Ist dieBasis (oder ihrezweite oder drittePotenz) restgleich zur Eins,
so können wir die Teilbarkeit in diesem Fall mithilfe der Quersumme untersuchen und
gewinnen so die Quersummenregeln im dezimalen wie auch in nichtdezimalen Stellen-
wertsystemen(vierterAbschnitt).EindritterleichterSonderfallliegtvor,wenndieBasis
(oderihrezweiteoderdrittePotenz)restgleichzurZahl(cid:3)1ist.BeiBildungderQuersum-
menmüssenwirjetztabwechselnd(alternierend)addierenundsubtrahierenundgewinnen
soin diesemfünftenAbschnittdiealternierendenQuersummenregeln.Wirbeendendie-
sesKapitelmiteinerknappenZusammenfassungderVorteilediesesZugangswegesüber
dieRestgleichheitgegenüberanderenWegen.
ImsiebtenKapiteluntersuchenwirsystematischdieDezimalbruchentwicklungenvon
(vollständig gekürzten echten) Brüchen. Bereits aus unserer eigenen Schulzeit wissen
wir, dass es sowohl Brüche mit endlichen Dezimalbruchentwicklungen (z.B. 3 D 0;6)
5
als auch Brüche mit unendlichen, periodischen Dezimalbruchentwicklungen (z.B. 5 D
6
0;8333:::D0;83)gibt.DaBruchzahlenschoninderGrundschulepropädeutischsowohl
alsgemeineBrüche(wie 3)alsauchinFormvonDezimalbrüchen(wie0;6)auftretenund
5
derWechsel zwischen diesen Darstellungsformen zu Beginnder SekundarstufeIgründ-
lichthematisiertwird,stelltdiesesKapitelalsoeinenerweitertenfachlichenHintergrund
für den Mathematikunterricht in der Primarstufe dar. Wir gehen bei der Untersuchung
derDezimalbruchentwicklungenvonzahlreichenkonkretenBeispielenausundleitenaus
den Mustern, die wir dabei entdecken, die zentralen Aussagen dieses Kapitels ab. Ei-
ne zentrale Rolle spielt dabei der Divisionsalgorithmus, mit dem man gemeine Brüche
inDezimalbrücheumwandelnkannunddessenVerständnisdurchseinewiederholteund
vertiefte Anwendung gefestigt und ausgeweitet wird. Insgesamt gelangen wir zu einer
vollständigen Übersicht über die unterschiedlichen Arten von Dezimalbruchentwicklun-
gen(endlich,unendlichreinperiodisch,unendlichgemischtperiodisch),wobeinureinTeil
derAussagenallgemeinbewiesenwird.
DasPhänomen,dasseshäufiggenügt,nurdieRestezubetrachten,dienatürlicheoder
ganze Zahlen bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl lassen, bildet den Aus-
gangspunkt für das achte Kapitel. Diese reduzierende Betrachtung von Zahlen wird in
Einleitung IX
einemerstenSchrittdurchdieRestgleichheitsrelation,diebereitsinKapitel2untersucht
wurde,formalisiert.Dabeiwirdherausgestellt,dassessichbeiderRestgleichheitsrelati-
onumeineÄquivalenzrelationhandelt.IneinemweiterenSchrittlassensichalleganzen
Zahlen, die bei Division durch eine gegebene natürliche Zahl m den gleichen Rest las-
sen,zueinemneuenmathematischenObjekt,derRestklassemodulom,zusammenfassen.
Formal ergeben sich diese Restklassen als Äquivalenzklassen bezüglich der Restgleich-
heitsrelation.MotiviertdurchdasRechnenmitResten indenAusgangsbeispielendieses
KapitelswerdenfürdieRestklassenRechenoperationen(Verknüpfungen)definiert.Damit
erhalten wir typische Beispiele für grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen,
RingeoderKörper.DieseabstraktenStrukturenspieleninderMathematikanderHoch-
schuleeinewichtigeRolle.DasiegutvomUmgangmitkonkretenZahlenausverstanden
werdenkönnen,bietetsich dervorliegendeVertiefungsbandzurArithmetik undZahlen-
theoriefüreinensolchenBrückenschlagindiemoderneMathematikan.So könnendort
üblicheDenk-undArbeitsweiseneinStückweiterfahrbarwerden.
Im neunten Kapitel interessieren wir unsfür praktische Anwendungender Arithme-
tik/Zahlentheorie.DieindenSupermärktenanallenArtikelnvorfindbarenEuropäischen
ArtikelnummernEANbzw.GTIN(ersterAbschnitt),diebeiBüchernbenutztenInterna-
tionalen StandardbuchnummernISBN (zweiter und dritter Abschnitt) sowie die in Apo-
thekenbenutztePharmazentralnummerPZN(vierterAbschnitt)bewirkeninsgesamteine
starkeRationalisierung.WirbeweisenindiesemKapitel,dasshäufigeAblese-oderinsbe-
sondereEingabefehlerbeidiesendrei–undanalogauchbeivielenanderen,in unserem
Umfeld befindlichen – Nummerierungssystemen durch relativ einfache Prüfziffernver-
fahren oft aufgedeckt werden. Allerdings gibt es deutliche Unterschiede bezüglich der
SicherheitdieserVerfahren.SoerweistsichdasPZN-Verfahrenalswesentlichsichererim
VergleichzumEAN/GTIN-Verfahren.WährenddaslangeJahreim Buchhandelvorherr-
schendeISBN-10-Verfahren(dritterAbschnitt)genausosicheristwiedasPZN-Verfahren,
hatdasmittlerweiledurchdieGlobalisierungunddasBestrebennachmöglichstweltwei-
terVereinheitlichungimBuchhandelerzwungeneISBN-13-Verfahren(zweiterAbschnitt)
zueinerdeutlichenReduzierungderSicherheitgeführt,daesdefactopraktischmitdem
EAN/GTIN-Verfahren identisch ist. Beim Beweis der Aussagen über dieSicherheit die-
ser Verfahren greifen wir ausschließlich auf einfache, in den vorhergehenden Kapiteln
abgeleitete Sätze zurück. Dieses neunte Kapitel verdeutlicht daher sehr gut, dass selbst
mathematischeGebietewiedieArithmetik/Zahlentheorie,dieauf denerstenBlick recht
anwendungsfern wirken, durchaus handfeste Beiträge zu wirtschaftlich sehr relevanten
Fragestellungenleistenkönnen–auchwenndiesbeiderEntwicklungdiesesmathemati-
schenGebietessosichernichtvorhergesehenwerdenkonnte.
FrauAnitaKollwitzhatwiederumweiteTeilediesesBandessorgfältigundgewissen-
haftgeschrieben.HierfürsindwirihrzugroßemDankverpflichtet.
Bielefeld/Essen,September2014 FriedhelmPadberg
AndreasBüchter