Variable Compleja. Problemas y Complementos

286 Pages·2013·5.786 MB·Spanish

by  Gabriel Vera Botí

l
l
- ecto GGaabbrriieell VVeerraa BBoottíí
e
ibris
Vaarriiaabbllee Ccoommpplleejjaa
problleemmaass yy ccoommpplleemmeennttooss
s
o
i
r
a
s
t
a
i
s
c
r
i
et
á
v
m
i
n
e
u
t
a
s
m
o
t
x
e
t
3
Gabriel Vera Botí Últimos títulos publicados en esta serie
hasido catedrático
deanálisis matemático en 1. B. Cascales, J.M. Mira, J. Orihuela,
la Universidad deMurcia. En M. Raja
1972 se doctoró en Ciencias Análisis funcional
(Sección deMatemáticas) por
la Universidad Complutense, 2. V. Calvo, A.Peris, F. Rodenas
dondepermaneció desde 1968
Diagonalización y cálculo
hasta 1976. Su labor docente
multivariable con Mathematica
se inició en este periodo del queproceden los tres
volúmenesde la obra Problemas de análisis
matemático quepublicó en colaboración con
F. Bombal y L. Rodriguez.
En Septiembrede 1976 se incorporó a la
Universidad deMurcia y comenzó a dirigir
proyectosde investigación financiados porel
Estado Español. Susprincipales investigaciones se
han centrado en la integración vectorial y su
relación con los espacios de Banach. En este
campo ha publicadotrabajos originales y dirigido
varias tesis doctorales. Durantesu larga
trayectoria docente se haocupado, entreotras, de
las enseñanzas deanálisis complejo y análisis
matemático II.
En Open Course Ware,
(ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii) ha
publicadoLecciones de análisis matemático II yen
su página personal (webs.um.es/gvb/) ha
difundidodiverso material docentesobre análisis
complejo y topología.
Su dirección electrónica es [email protected].
Primera edición
l
- ecto
e
ibris
Comité editorial de la Real Sociedad Matemática Española
Guillermo Curbera, Miguel Ángel Revilla (directores),
Manuel Abellanas, Sergio Amat, David Arcoya,José Bonet, Rafael Crespo,
Guadalupe Gómez, Clara Grima, Elvira Mayordomo,Vicente Muñoz,
Rafael Sendra y Elena Vázquez
Editor por Ediciones e-LectoLibris
Bernardo Cascales
A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010): 30-01, 30Axx, 30Bxx, 30Cxx,
30Dxx, 30Exx
Código IBIC: PBKD
Código CDU: 517, 515.1
Diseño de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval, Ana Martínez Martínez
y Ediciones Electolibris S.L.
Diseño y composición: Ediciones Electolibris S.L.
Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern Fonts, Lucida Handwriting,
y Helvetica
c Gabriel Vera Botí
(cid:13)
c Ediciones Electolibris, S. L. (2013)
(cid:13)
C.I.F. B-73749186
Pablo Neruda, 7
30820 Murcia (España)
www.electolibris.es
c Real Sociedad Matemática Española (R.S.M.E.)
(cid:13)
C.I.F. G-28833523
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida,salvoexcepción previstaen la Ley, sin la autorizaciónpor escrito
delostitularesdeloscorrespondientesderechosdelapropiedadintelectualodesus
cesionarios,cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y
modificación, parcial o total, en cualquier tipo de soporte o medio de esta obra.
No obstante, los propietarios del Copyright de este libro digital autorizan a los
compradores individuales del mismo a realizar copias impresas de él para su uso
personal.
e-ISBN: 978-84-940688-4-3
Depósito legal: MU 965-2013
LosdosproductosidentificadosporsusrespectivosISBNmásabajo,publicados
por Ediciones Electolibris S.L., tienen por título
Variable compleja: problemas y complementos
y autor Gabriel Vera Botí.
ISBN: 978-84-940688-3-6 Versión en papel: libro de problemas, con introduc-
ciones teóricas y problemas resueltos.
eISBN: 978-84-940688-4-3 Versión en formato digital PDF con una pequeña
parte de los problemas de 978-84-940688-3-6resueltos y:
sistema de navegación interno e hipervínculos internos para referencias cru-
zadas, índices y lista bibliográfica;
hiperenlaces de acceso para lectura complementaria en internet (requiere ac-
ceso a internet);
hiperenlacesdeaccesoparalassolucionesdetodoslosproblemasresueltosen
978-84-940688-3-6 a travésde aplicación web (requiereacceso a internet).
trescapítulos no incluidosen 978-84-940688-3-6, con susrespectivos resúme-
nesteóricosyproblemasresueltosatravésdeaplicación web(requiereacceso
a internet).
Ediciones Electolibris S.L. no posee el Copyright de algunas de las imágenes
queaparecenenestaobra.Hemosutilizadotodosnuestrosmediosparaasegurarnos
más allá de la duda razonable que estas imágenes son de dominio público. Si cree
que usted tiene derechos sobre alguna de dichas imágenes, por favor, contacte con
[email protected] trataremosde eliminarlao de referir la fuente adecuada-
mente.
Imágenes incluidas:
Cubierta: http://groups.csail.mit.edu/medg/people/doyle/gallery/cauchy/
Iconosolución: Jana Jakeschov, http://openclipart.org/detail/2263/write-by-machovka
Iconoaltavoz: Lemmling, openclipart.org/detail/17685/cartoon-speaker-by-lemmlin
Puede obtener información adicional sobre esta obra y otras publicadas por
Ediciones Electolibris S.L. en
Acceso a la
página web de la
r.s.m.e.
La solución Acceso a la
incluyeuna solución de un
grabación devoz ejercicio
Información
e-LectoLibris sobre nuevas
en facebook versiones
dela obra
Acceso al correo
e-LectoLibris en electrónico
twitter
Acceso a la
página web de
e-LectoLibris
Pestañasde accesoa
capítulos:en colorintenso
elcapítulo actual
1. Espacios de Hilb
1. EspaciosdeHilbert 1 os
11..12..111...132EE... EEEsssjsppeppmaaaaccpiilooccosssiidnoodeoerssBmesaapdnndaaoceocsihordÍs.enmd.dde.iimBac.aeedn.nasg.oicóhe.nsn..fie..nri..ata..l...co...n... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11481 Hiperivíntnecrunlos
1.3. Ejemplos de
hipervínculosinternos
Laurent Schwartz (1915–2002)
brillante matemático francés
Laurent Schwartz (1915–2002)
dialmentecborilnlanotecmidatoempátiocorfrancés
Índice decapítuloscon dialmenteconocidoporhab
ría de distrríaibdeudcisitoribnueciosn,es,[1[133
hipervínculosinternos y [62]. La idea de derivada
y [62]. Lavéiadsee(1a.23)d,equedyaeerstiavbaada
Sobolev,encuentrasumarco
véase (1.23), que ya estaba
espaciosdelasdistribuciones
Sobolev, enquceuseednefitnreancosmuoemspaacirosco
situaciones adecuapadcioasdsefcunocionnedsiunficnietanmen
espacios deconlaunsacdieirtsattropibolougíca.iones
distribuciones le supustroabaajarcSoncdherivadasgeneralizadas
trarsolucionesdébilesparaalgunasecuaciones
la MedquaelenlasituFaciioenelsdadsecu(a1da9sc5on0d)uc;enasoluciones
dedistribucioneslesupusoaSchwartzelpremio
págmiantemaátwicaseqbueedsleaMleadalIlanFtieeldrsn(19a50t);icoomnoagllosa
leerenlapáginawebdelaInternationalMathematical
otorogrgaanizlaaciósnqmueeotdorgaallalsamsed,alllaos,losisigguuienitee:n“Schwartz
ofdistributions,anewnotionofgeneralize
1.1. Espacios1d.1.eEsBpacaionsdaecBanach distributionst,heaDirancedewlta-funncotiotnioofntheoorefticalphysics”.
1.2. Espaciosnormadosdedimensión
1.2. Espacios1n.3.oErjemmpalosddoeesspaciosdeBanac delta-function of theorHeiptiecrenlaceexternos
1.4. EspaciosdeHilbert
1.3. Ejemplos de espacios
1.5. Mejoraproximación.Teorema
1.4. Espacios de Hilb
Ejercicio1.15.
sumDemauebstreleque;si J es numerable
quivalentes:
a) j∈Jzj essumable; c0.c.0....................
b+) !∞n=1|zσ(.n)|<+∞. ......................1....4..3.......124c8300cd.0(0.x,..S...)......................
.......28 d(x,S)...
! ...............28 spanA.........
Ejercicio1.16.
Sea{∞znk:(n,k)∈N×N}⊂ Cuna ..................................22..88........23s80pa(HnDA()D.)............A...
................14
................30 aglomeración,pun
...............38 aplicaciónlineal
Accesoa la soluciónde
un problema enla web Índice terminológicocon
hipervínculosa páginas
En un verso de ocho sílabas
¿qué no cabrá,
si en una y tan sólo en ella
cabe el mar?
Ocho sílabas son muchas
para cantar.
Me basta una que tenga
por dentro el mar.
Rafael Alberti.
Dedicado a Marisa, Marcos y María,
que también llevan dentro el mar.
Prólogo 1
Cómo hacerlo 5
1. Los números complejos 13
1.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Módulo, argumento y conjugado, 14. — Exponenciales, logaritmos
yraíces,15.—Sumacióndefamiliasnumerablesyseriesdobles,16.
— Complementos sobre familias sumables, 18.
1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Sobre módulo, argumento y conjugado, 22. — Ejercicios con poli-
nomios complejos, 23. — Sobre familias sumables, 24.
1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Topología y geometría en el plano complejo 30
2.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Compacidad y conexión, 31. — Transformaciones de Möbius, 34.
— Representaciones gráficas, 36.
2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Geometría analítica con coordenadas complejas conjugadas, 37. —
Transformaciones de Möbius y geometría, 42. — Otras transfor-
maciones. La transformación de Joukowski, 45. — Complementos
sobrelaesferadeRiemann,48.—Complementossobrecompacidad
y conexión, 50.
2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
vii
viii Índice general
3. Funciones de variable compleja 55
3.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Lasfuncioneselementales,56.—Multifuncionesyladeterminación
desusramas,58.—Funcionesholomorfas,60.—Transformaciones
conformes, 64.
3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Sobrela determinaciónde ramas,68. — Propiedadesde lasfuncio-
nes elementales, 73. — Funciones holomorfas y transformaciones
conformes, 76. — Complementos, 80.
3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4. Series de potencias 83
4.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Convergenciauniforme,84.—Seriesdepotencias,85.—Funciones
analíticas. Ceros y principio de identidad, 91.
4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Convergencia uniforme de sucesiones de funciones, 93. — Conver-
gencia uniforme de series de potencias, 94. — Desarrollos de fun-
ciones concretas, 98. — Funciones definidas por series de poten-
cias,105.— Cerosyprincipiodeidentidad,107.— Complementos
sobrefunciones analíticas,108. — Complementossobrepuntossin-
gulares, 111.
4.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. Versión elemental de los teoremas de Cauchy 115
5.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Integralde camino,116.— LosteoremasdeCauchyenversiónele-
mental, 119. — Las primeras consecuencias. Teoremas de Morera,
Liouville y Weierstrass, 121.
5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Ejercicios con la integral de camino, 124. — Cálculo de integra-
les con desarrollos de Laurent, 125. — Aplicaciones de los teore-
mas de Cauchy, 128. — Ejercicios que usan la fórmula integral de
Cauchy, 132. — Desigualdades de Cauchy y teorema de Liouvi-
lle, 137. — Complementos sobre funciones definidas por integra-
les, 140.