Table Of ContentWissenschaft und Kultur
Band 17
Springer Basel AG
H. S. M. Coxeter
Unvergangliche
Geometrie
Ins Deutsche iihersetzt von J. J. Burckhardt
Zweite, erweiterte und iiherarheitete Auflage
Springer Basel AG
Authorized translation from the second English-language edition, copyrighted
in the United States of America and puplished by John Wiley & Sons, Inc.,
New York (1969).
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutsehen Bibliothek
Coxeter, Harold S. M.:
Unvergangliche GeometriefH. S. M. Coxeter.
Ins Dt. iibers. von J. J. Burckhardt. 2., erw. u. iiberarb. Aufl.-Basel Boston;
Stuttgart: Birkhiiuser, 1981.
(Wissenschaft und Kultur; Bd. 17)
<
Einheitssacht.: Introduction to geometry dt.>
NE:GT
1. deutschsprachige Auflage 1963
2. deutschsprachige Auflage 1981
Die vorliegende Publikation ist urheberrecIitlich geschiitzt. Aile Rechte vorbe
hal ten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Ver
lages in irgendeiner Form - durch Fotokopie, Mikrofilm oder andere Verfah
ren - reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere Datenverarbei
tungsanlagen, verwendbare Sprache iibertragen werden.
© Springer Basel AG 1981
Urspriinglich erschienen bei der deutschsprachigen Ausgabe Birkhauser Verlag Basel 1981.
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1981
ISBN 978-3-0348-5152-7 ISBN 978-3-0348-5151-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5151-0
Meiner Frau gewidmet
VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE
Ich danke den Lesem, welche Verbesserungen vorgeschlagen haben.
AuGer einigen Kleinigkeiten habe ich hauptsachlich folgendes ge
andert:
Die Gleichung, welche die Krtimmungen von vier sich gegenseitig
bertihrenden Kreisen verbindet und als Kreissatz von Descartes be
kannt ist (§ 1.57), ist nach Beecroft bewiesen. Siehe die Seiten 91
bis 96 in "The Lady's and Gentleman's Diary for the year of our
Lord 1842, being the second after Bissextile, designed principally for
the amusement and instruction of Students in Mathematics: com
prising many useful and entertaining particulars, interesting to all
persons engaged in that delightful pursuit."
Ftir die Ahnlichkeit in der Ebene wurde die neue Behandlung
(§ 5.4-5.6) durch A. L. Steger vorgeschlagen, der damals ein jtingerer
Student in Toronto war. Die Behandlung der Ahnlichkeit im Raum
(§ 7.63ff.) wurde von Professor Maria Wollenburger vorgeschlagen.
Die neue Obung 5 in § 6.6 fiihrt den Begriff des inversen Abstandes ein.
Die neue Obung 2 in § 8.7 enthalt die Zeichnung von symmetrischen.
Loxodromen nach R. Krasnodebski.
§ 13.4 wurde umgearbeitet, um die Behandlung von Aflinitiiten
(welche die Kollinearitat erhalten) und von aquiaflinen Kollinea
tionen (welche Flachen erhalten) zu klaren. Einige schwierigere
Obungen sind beigefiigt. Die Entdeckung der endlichen Geometrien
(§ 19.2, Obung 4) wurde von Staudt zugeschrieben, dersie36 Jahre
vor Fano fand.
In § 21.7 berichten wir tiber eine Untersuchung, die Heawood 1890
begann und die 1968 von Ringel und J. W. T. Youngs abgeschlossen
wurde. Wir kennen jetzt fiir jede Flache die kleinste Anzahl von
Farben, mit denen eine auf ihr liegende Karte gefarbt werden kann.
Allerdings fiihlt jedermann, den ein' mit dem Computer gefiihrter
Beweis nicht befriedigt, ein gewisses Unbehagen im Fall der Kugel
(oder der Ebene).
Zu fast allen Obungen werden die LOsungen mitgeteilt. Eine der
ansprechendsten (§ 16.7, Obung 3) wurde freundlichst von Professor
P. Szasz in Budapest mitgeteilt.
Toronto, November 1980 H. S. M. Coxeter
AUS DEM VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE
Die iibliche Behandlung der analytischen Geometrie mag dem Stu
dierenden den Eindruck erwecken, die Geometrie sei bloB ein Teil der
Algebra oder der Analysis. Es ist aber erlrischend zu bemerken, daB
es einige wichtige Beispiele gibt (wie das in Kapitel 9 beschriebene
Argand Diagramm), in denen geometrische Ideen als wesentliches
Werkzeug zur Entwicklung dieser anderen Zweige der Mathematik
verwendet werden. Daher soll dieses Buch den Leser zum geometri
schen Denken ermuntern, er moge etwa einen Kegelschnitt eher als
einen geometrischen Gegenstand anstatt als Gleichung. zweiten Gra
des betrachten. Ein gemeinsamer Faden zieht sich durch das ganze
Werk vom einfachen bis zum vorgeriickten Thema, namlich die Idee
der Symmetrie oder der Transformationsgruppe. Dieser Gesichtspunkt
wurde von Felix Klein in seinem Erlanger Programm von 1872 ein
gefiihrt, worin er. betont, daB es neben der ebenen und raunilichen
Euklidischen Geometrie manche anderen beachtenswerten Geometrien
gibt. Zum Beipsiel gehOren viele Satze von Eukid zum weiteren Gebiet
der affinen Geometrie, die nicht nur im gewohnlichen Raum gilt, son
dem auch in der Raum-Zeit Welt von Minkowski, die von Einstein
so erlolgreich fiir seine spezielle Relativitatstheorie verwendet wurde.
Ich danke J.J. Burckhardt bestens fiir die trbersetzung und fiir
viele Verbesserungsvorschlage. Insbesondere wahlte er aus den Wer
ken von Kepler und Bolyai geeignete Zitate aus, die zu Beginn der
§§ 11.1 und 16.1 stehen. Ebenso herzlich danke ich J. E. Hofmann fiir
viele Verbesserungen und dem Verlag Birkhauser fiir die sorgfaltige
Herausgabe des Buches.
Toronto, Mai 1962 H. S. M. Coxeter
INHALTSVE RZE I CHNIS
Teil I
1. Dreiecke 4. Zweidimensionale
1.1 Euklid 15 K ristallographie
1.2 Grundbegriffe und Axiome 16 4-.1 Gitter und ihre Dirichlet
1.3 Die Eselsbriicke .. 19 Bereiche .. .. .. .. .. .. 73
1.4 Die MittelIinien und der 4-.2 Die Symmetriegruppe des
Schwerpunkt .. 24 alIgemeinen Gitters .. .. .. 79
1.5 Der Inkreis und der Urn· 4.3 Die Kunst von M. C. Escher 82
kreis .. .. .. 25 4.4 Sechs Muster aus Dominos.. 84
1.6 Die Eulersche Gerade und 4.5 Die Einschrankung der
der Hohenschnittpunkt .. 32 KristalIographie 85
1.7 Der Neunpunktekreis .. .. 34 4.6 RegelmaJ3ige Unterteilungen 86
1.8 Zwei Extremalaufgaben .. .. 36 4.7 Die Aufgabe von Sylvester
1.9 Der Satz von Morley .. .. 40 iiber kolIineare Punkte.. .. 90
2. RegelmafJige Vielecke
5. Ahnlichkeit in der Euklidi-
2.1 Die Kreisteilung .. 43
schen Ebene
2.2 Die Winkeldreiteilung .. .. 45
5.1 Streckungen.. .. .. .. 93
2.3 Die Bewegung 46
5.2 .Ahnlichkeitszentrum 96
2.4 Die Symmetrie .. .. . . .. 47
5.3 Das Neunpunktezentrum 97
2.5 Die Gruppen.. .. .. . . .. 49
5.4 Der invariantePunkt einer
2.6 Das Produkt zweier
.Ahnlichkeit .. .. 98
Spiegelungen 51
5.5 Eigentliche .Ahnlichkeit .. 100
2.7 Das Kaleidoskop 52
5.6 Uneigentliche .Ahnlichkeit 101
2.8 Die Sternpolygone .. 55
3. Bewegungen in der 6. Kreise und Kugeln
Euklidischen Ebene 6.1 Inversion an einem Kreis .. 104
3.1 Eigentliche und uneigent- 6.2 Orthogonale Kreise .. 107
liche Bewegungen .. 59 6.3 Inversion von Geraden und
3.2 Verschiebungen .. .. .. .. 62 Kreisen .......... 108
3.3 Gleitspiegelung .. .. .. 64 6.4 Die konforme Ebene .. .. .. 111
3.4 Spiegelungen und Halb- 6.5 Koaxiale Kreise .. .. 114
drehungen 66 6.6 Der Kreis des Apolionius .. 118
3.5 Zusammenfassung der Er 6.7 Kreiserhaltende Trans-
gebnisse iiber Bewegungen 67 formationen .. .. 121
3.6 Der Satz von Hjelmslev.. .. 68 6.8 Inversion an einer Kugel .. 122
3.7 Streifenmuster 69 6.9 Die elliptische Ebene .. .. 123
10 lNRALTS VERZE lORN IS
7. Bewegung und Ahnlichkeit 7.4 Das Produkt von drei Spie-
im Euklidischen Raum gelungen .. ........ 131
7.1 Eigentliche und uneigent 7.5 Die Schraubung.. .. .. .. 133
liche Bewegungen .. 128 7.6 Die Drehstreckung .. .. .. 134
7.2 Die Punktspiegelung 139 7.7 Kugelerhaltende Transfor-
7.3 Drehung und Verschiebung 131 mationen .. .. .. 138
Teil II
8. Koordinaten 10. Die funf Platonischen
8.1 Kartesische Koordinaten .. 139 Korper
8.2 Polarkoordinaten .. 143 10.1 Pyramiden, Prismen und
8.3 Der Kreis .. .. .. .. .. 146 Antiprismen .. 186
8.4 Kegelschnitte .. 149 10.2 Risse und Modelle.. .. .. 189
8.5 Tangente, Bogenlange und 10.3 Die Formel von Euler .. .. 191
FIache .. 154 10.4 Radien und Winkel .. .. 194
8.6 Hyperbolische Funktionen .. 159 10.5 Reziproke Polyeder .. 197
8.7 Die logarithmische Spirale .. 160
8.8 Drei Dimensionen 162
9. Komplexe Zahlen 11. Goldener Schnitt und
9.1 Rationale Zahlen .. 172 Phyllotaxis
9.2 Reelle Zahlen .. .. 174 11.1 Die Teilung nach dem Ex-
9.3 Das Argand-Diagram .. .. 175 tremen und dem Mittleren .. 199
9.4 Modul und Argument.. .. 178 11.2 De divina proportione.. .. 201
9.5 Die Formel en! + 1 = 0 .. .. 180 11.3 Die goldene Spirale.. .. .. 203
9.6 Wurzeln von Gleichungen .. 181 11.4 Die Fibonacci Zahlen.. .. 205
9.7 Konforme Abbildungen.. .. 182 11.5 Phyllotaxis .. .. .. 209
Teil III
12. Anordnungsgeometrie 13.2 Streckungen .. .. 236
12.1 Die Ausscheidung zweier 13.3 Affinitaten .. 242
verschiedener Geometrien 13.4 Aquiaffine Kollineationen .. 247
aus Euklid .. .. 214 13.5 Zweidimensionale Gitter .. 253
12.2 Die Zwischenbeziehung .. 216 13.6 Vektoren und Schwerpunkte 258
12.3 Die Aufgabe von Sylvester 13.7 Baryzentrische Koordinaten 262
liber kollineare Punkte.. .. 221 13.8 Der affine Raum .. 269
12.4 Ebenen und Hyperebenen .. 223 13.9 Dreidimensionale Gitter .. 272
12.5 Stetigkeit .. .. 228
12.6 Parallelitat.. .. .. .. 229
14. Projektive Geometrie
14.1 Die Axiome der allgemeinen
13. Affine Geometrie projektiven Ebene.. .. .. 279
13.1 Das Parallelenaxiom und 14.2 Projektive Koordinaten .. 284
das Axiom von Desargues .. 233 14.3 Der Satz von Desargues .. 289
