Table Of ContentUne brève introduction à la combinatoire algébrique
Olivier Fouquet
312 213 (x8)
Kid Koala (8 bit blues)
(cid:18) (cid:19) √
∞
2n
(cid:80) 1 n 1− 1−4x
x =
n+1 n 2x
n=0
2
Table des matières
I Compter 7
1 Fondations 9
1.1 Les bases du dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Comment définit-on une définition? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Injection, surjection, cardinalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Les fonctions élémentaires du dénombrement . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Quelques applications ingénieuses du principe des tiroirs . . . . . . . 15
1.2 Preuves bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 L’identité de Pascal et ses généralisations . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 L’algèbre affleure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Coefficients binomiaux généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Le groupe S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
n
1.4.1 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Orbites, décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Type cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Séries génératrices 31
2.1 Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 L’anneau des séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Exemples et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Composition, dérivation et formule du binôme généralisée . . . . . . 37
2.1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Séries exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Séries de Dirichlet formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 Produits formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Formule d’inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
II Dessiner 63
3 Introduction à la théorie des graphes 65
3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Cycles, arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.3 Induction structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.4 Quelques propriétés élémentaires des graphes . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Bestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.3 Graphe des arêtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.4 Graphe des arêtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Graphes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Chemins élémentaires, cycles élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Graphes moins élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.1 Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4.3 Graphes de Mycielski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Bêtes curieuses et remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.1 Graphes bipartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.2 Graphe de Petersen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Isomorphismes 85
4.1 Isomorphismes et groupe des automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.2 Action de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Graphes complets, isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Chemins élémentaires, cycles élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.4 Graphes circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5 Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.6 Graphe de Petersen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.7 Graphe asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Connectivité 91
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Théorème de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 Algèbre linéaire 95
6.1 Endomorphisme associé à un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4
6.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.2 Théorème de Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.2 Entrelacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.3 Bipartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Parcours sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.1 Parcours fermés sur les graphes sommets-transitifs . . . . . . . . . . 101
6.3.2 Parcours sur les chemins et nombre de Catalan . . . . . . . . . . . . 102
7 Graphes hamiltoniens 107
7.1 Cycles hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Deux classes de graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Coloration 111
8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Perfection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9 Morphismes 117
9.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2 Lien avec la coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10 Planarité 121
10.1 Dessins, multigraphes, planarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2 Pré-requis de topologie de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.3 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11 Exercices 125
11.1 Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.2 Automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.3 Connectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.4 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.5 Graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.6 Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12 Annexes 135
12.1 Annexe I : Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.2 Annexe II : Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5
6
Première partie
Compter
7
Chapitre 1
Fondations
Combinations like melodies! You know, I can simply hear the moves.
(Vladimir Nabokov).
1.1 Les bases du dénombrement
1.1.1 Comment définit-on une définition?
Le titre de cette sous-section introductive est emprunté à la contribution proposée par
Giuseppe Peano1 lors de la séance jointe du premier Congrès International de Philosophie
et de second Congrès International de Mathématiques de 1900.
Parce qu’il nous faut bien commencer quelque part, commençons par les entiers naturels.
N = {0,1,2,3...}
L’ensemble des entiers naturels est infini et, comme nous le verrons, dénombrable par dé-
finition. Il vérifie la propriété suivante, qui est à la base de la théorie axiomatique de
l’arithmétique.
Proposition 1.1.1.1 (Axiome n◦5 de Peano). Tout sous-ensemble non-vide de N admet
un plus petit élément.
L’étrange dénomination de cette proposition n’aura pas échappé au lecteur attentif.
L’axiome 1.1.1.1 vient en effet s’insérer dans la liste suivante; dite des axiomes de Peano.
A isomorphisme près (en un sens qu’il faudrait préciser), il existe une unique structure
vérifiant les axiomes suivants.
Axiome 1.1.1.2. 1. 0 est un entier naturel : 0 ∈ N.
2. Tout entier naturel n ∈ N admet un unique successeur s(n) ∈ N qui est un entier
naturel.
3. Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur; de manière équivalente l’image de s ne
contient pas 0.
1Giuseppe Peano ( 1858–1932) fut un logicien italien. Son oeuvre majeur, Arithmetices principia, nova
methodoexposita (Lesprincipesdel’arithmétique,exposésdemanièrenouvelle),introduisiten1889unedes
premières axiomatisations de l’arithmétique ainsi que les symboles ∪,∩ et ∈. C’est aussi une des dernières
oeuvres scientifiques majeures écrites en Latin.
9
4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux; de manière équivalente
l’application s : N −→ N est injective.
5. Si un sous-ensemble de N contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors
il est égal à N; de manière équivalente, si E ⊂ N
(0 ∈ E et n ∈ E =⇒ s(n) ∈ E) ⇐⇒ E = N.
Remarquons que l’axiome 5 énonce également que N est l’ensemble des successeurs itérés
de 0 et muni donc N et tous ses sous-ensembles non-vides d’une relation d’ordre totale telle
que 0 soit le plus petit élément de N.
La proposition 1.1.1.1 se déduit alors des axiomes de Peano de la manière suivante. Soit
E (cid:40) N un ensemble et F = N−E son complémentaire qui est donc non vide. Si 0 ∈/ E,
alors 0 ∈ F et F admet donc un plus petit élément par l’axiome 3. Supposons maintenant
que 0 appartienne pas à E. Par hypothèse, l’ensemble F est non-vide donc E (cid:54)= N donc
l’assertion n ∈ E =⇒ s(n) ∈ E n’est pas vraie par l’axiome 5 et il existe donc un ensemble
{0,s(0),s(s(0)),··· ,n} inclus dans E tel que le successeur s(n) de n ne soit pas dans E.
L’élément s(n) est dans F et est par construction le plus petit élément de F.
EnutilisantlesaxiomesdePeano,ilestparfoislongmaistoujoursinstructifdedémontrer
que N est muni d’une addition, c’est-à-dire d’une loi de composition interne + d’élément
neutre 0, associative et commutative telle que s(n) soit n+s(0) ainsi que d’une multiplica-
def
tion, c’est-à-dire d’une loi de composition interne · d’élément neutre 1 = s(0), associative,
commutative et distributive sur l’addition.
Si n ∈ N est un entier, on note N le sous-ensemble des entiers supérieurs à n, N
≥n >n
le sous-ensemble des entiers strictement supérieurs à n, N le sous-ensemble des entiers
≤n
inférieurs à n et N le sous-ensemble des entiers strictement inférieurs à n. On note N∗
<n
l’ensemble N et a,b le sous-ensemble N ∩N .
>0 ≥a ≤b
(cid:74) (cid:75)
1.1.2 Injection, surjection, cardinalité
La connaissance de N nous permet de donner un sens à la notion d’ensemble de cardinal
fini,d’ensembledecardinalinfinietd’ensembledénombrable.Rappelonsàceteffetquelques
définition de bases de théorie des ensembles.
La donnée d’une application
f : X −→ Y
entre deux ensembles X et Y est la donnée d’un sous-ensemble de G(f) ⊂ X ×Y vérifiant
la propriété
∀ x ∈ X, ∃! y ∈ Y (x,y) ∈ G(f). (1.1.2.1)
On appelle graphe de f l’ensemble G(f) et pour x ∈ X, on note f(x) l’unique élément de
Y tel que (x,f(x)) appartienne à G(f). On dit que deux applications f,g sont égales si
G(f) = G(g). L’ensemble des applications de l’ensemble X vers l’ensemble Y est noté YX.
Soit Y un ensemble. L’ensemble vide ∅ vu comme sous-ensemble de ∅×Y vérifie pour
des raisons tautologiques la condition (1.1.2.1), si bien qu’il définit une application du ∅
versY.Deplus,cetteapplicationestunique.Enrevanche,iln’existepasd’applicationd’un
ensemble X non-vide vers le vide. Si X est un ensemble (vide ou non), le sous-ensemble des
paires
{(x,x)|x ∈ X} ⊂ X ×X
10
