Table Of ContentUNIVERSIDADEFEDERAL DECAMPINAGRANDE
Programade Pós-Graduação em Matemática
Mestrado Profissional-PROFMAT/CCT/UFCG
U C G A
ma onstrução da eometria nalítica a partir dos
T T P
eoremas de ales e de itágoras
Weidson do Amaral Luna
TrabalhodeConclusão deCurso
Orientador: Prof. Dr. Braulio Maia Junior
CampinaGrande-PB
Março/2013
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DAUFCG.
L961c Luna,Weidson doAmaral.
UmaConstrução daGeometriaAnalíticaapartirdosTeoremas de
Tales edePitágoras / WeidsondoAmaral Luna.
CampinaGrande, 2013.
76 f.:il.
TrabalhodeConclusão deCurso -UniversidadeFederal
deCampinaGrande, Centro deCiências e Tecnologia,2013.
Referências.
Orientador: Prof. Dr. Braulio MaiaJunior.
1. GeometriaAnalítica2. TeoremadeTales 3. Teoremade
Pitágoras
I. MaiaJunior,Braulio. II. Título.
CDU-514.12(043)
UNIVERSIDADEFEDERAL DECAMPINAGRANDE
Programade Pós-Graduação em Matemática
Mestrado Profissional-PROFMAT/CCT/UFCG
Uma Construção da Geometria Analítica a partir dos
Teoremas de Tales e de Pitágoras
por
Weidson do Amaral Luna†
Trabalho Conclusão de Curso apresentado ao Corpo Do-
cente do Programa de Pós-Graduação em Matemática -
CCT - UFCG, na modalidade Mestrado Profissional, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
†BolsistaCAPES
Uma Construção da Geometria Analítica a partir dos
Teoremas de Tales e de Pitágoras
por
Weidsondo AmaralLuna
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao Corpo Docente do Programa de Pós-
Graduação em Matemática - CCT - UFCG, modalidadeMestrado Profissional, como requi-
sitoparcial paraobtençãodo títulodeMestreemMatemática.
Aprovadopor:
UniversidadeFederal de Campina Grande
Centro de Ciênciase Tecnologia
UnidadeAcadêmica deMatemática
Curso de Mestrado Profissionalem Matemáticaem RedeNacional
Março/2013
Dedicatória
"À minha mãe, à minha esposa e a
minha filha que tiveram que abrir
mão da minha atenção, da minha
presençaduranteessesanosdevida
acadêmica".
v
Agradecimentos
"Ao meu eterno PAI, DEUS, por todas as bênçãos que tem me dado, em nome de
JESUS". Emobediênciaaoversículo: "Porquedeleeporele,eparaele,sãotodasascoisas;
glória,pois,aeleeternamente". Aleluia. Romanos 11:36.
Por fim, agradeço à Sociedade Brasileira de Matemática - SBM, pelo oferecimento
desteCursoemRedeNacional;àCAPES, pelaconcessãodabolsa;aomeuorientador,Prof.
Braulio M. Junior; à UniversidadeFederal de Campina Grande, por ter "abraçado"este pro-
jetoeao DepartamentodeMatemática,porsuadedicação aestemestrado.
vi
Resumo
EstetrabalhoconstadasbiografiasresumidassobreTales,PitágoraseRenéDescartes,
bemcomoassuasdevidascontribuiçõesparaoestudoeprogressodageometria. Nelecons-
tam as demonstrações das principais fórmulas da Geometria Analítica como: Razão entre
DoisSegmentos,CálculodoPontoMédio,DistânciaentreDoisPontos,CondiçãodeAlinha-
mento deTrês Pontos, Equação Reduzida da Reta, Equação Segmentáriada Reta, Distância
entrePontoeReta,entreoutras;evidenciandoqueestastêmporbaseosTeoremasdeTalesou
oTeoremadePitágoras,instigando,desteforma,aumareflexãosobreaGeometriaAnalítica
estarrelacionadaaosTeoremas enunciados.
Ao final do trabalho, relatamos uma experiência vivenciada em sala de aula, numa
turma do 3o ano do ensino médio, em que as fórmulas da Geometria Analítica são apresen-
tadas aos alunos, relacionando-as com o Teorema de Tales ou de Pitágoras, visando, desta
forma, superar a rejeição à matemática, em especial a este conteúdo, por grande parte dos
alunos. Por fim, concluímos que a base da Geometria Analítica está relacionada aos Teore-
mascitados,poisépossíveldemonstraras fórmulasdaGeometriaAnalíticaapartirdeles.
PalavrasChaves: TeoremadeTales. TeoremadePitágoras. GeometriaAnalítica.
vii
Abstract
This work consists of a brief biographies of Thales, Pythagoras and René Descartes,
as well as their contributions to the study and advancement of geometry. It comprises the
proofs of the main formulas of AnalyticGeometry such as: Ratio of Two Segments, Calcu-
lationofMidpoint,DistanceBetweenTwoPoints,ThreePointAlignmentCondition,Linear
Equation: Slope-Intercept Form, Linear Equation: Intercept Form, Distance from a Point
to a Line, among others; showing that they are based on the Thales’s Theorem or on the
PythagoreanTheorem,instigating,thisway,areflectiononAnalyticGeometrybeingrelated
totheenunciatedTheorems.
At the end of the work, report an experience in the classroom, a class of 3rd year of
high school, where the formulas of Analytic Geometry are presented to students, linking
them with the Thales’s Theorem or Pythagorean Theorem, aiming, this way, to overcome
therejection of mathematics, particularly this content, for much of the students. Finally, we
conclude that the basis of Analytical Geometry is related to the cited Theorems, because it
ispossibleto demonstratetheformulas ofanalytical geometryfromthem.
Keywords: Thales’sTheorem,Pythagorean Theorem and AnalyticGeometry.
viii
Lista de Figuras
3.1 Retas Concorrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 SemirretaS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
AB
3.3 Ângulosformadosporduassemirretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Retas Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Reta Transversalt ao feixedeparalelas a,b, ced. . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6 Segmentoscorrespondentesdeduas retas transversais. . . . . . . . . . . . 15
3.7 Ânguloscorrespondenteseângulosalternosinternos. . . . . . . . . . . . . 16
3.8 TriânguloABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.9 Ânguloexternodo triânguloABC comvérticeemC. . . . . . . . . . . . . 17
3.10 EsquemaGeométrico daprovado Teorema3.1. . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.11 Retas paralelascom segmentoscongruentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.12 Ilustração daprovadaProposição3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.13 SegmentosProporcionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.14 EsquemaGeométrico daProvadoTeoremadeTales (1 caso). . . . . . . . 19
◦
3.15 ProvadoTeoremadeTales (2 caso). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
◦
3.16 EsquemageométricoparaaprovadoTeoremadeTalesaplicadoemTriângulos. 23
3.17 TriânguloRetânguloem A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.18 TriânguloRetânguloABC usado naprovado TeoremadePitágoras. . . . . 24
3.19 Triângulossemelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.20 TriânguloABC,TrapézioABCD eTriânguloA BC . . . . . . . . . . . . . . 27
0 0 0
3.21 Reta orientada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.22 O eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.23 Plano Cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.24 EsquemageométricodaprovadaProposição 3.7. . . . . . . . . . . . . . . 29
3.25 Ponto médio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.26 TriânguloABC eseu baricentro G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.27 Distânciaentredoispontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.28 Três pontosnumaretanão paralelaaos eixoscoordenados. . . . . . . . . . 39
3.29 Três pontosalinhadoshorizontalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.30 Três pontosalinhadosverticalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.31 EsquemageométricodaprovadaProposição 3.13. . . . . . . . . . . . . . 41
ix
3.32 Equivalênciaao triânguloABC daFigura3.31. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.33 Reta r contidanoplano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.34 Coeficiente angulardaretay=ax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.35 Retas decoeficiente ângulara=1, gráficos defunções crescentes. . . . . . 47
3.36 Retas decoeficiente ângulara= 1, gráficos defunções decrescentes. . . . 48
−
3.37 Retas horizontaisdecoeficiente ângulara=0. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.38 Retas verticaisdecoeficiente ângularinfinito. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.39 Coeficiente Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.40 Reta r queintersectao eixoOX no pontoP eOY nopontoQ. . . . . . . . . 50
3.41 Retas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.42 Esquemageométricodaprovadarecíproca doTeorema3.18. . . . . . . . . 54
3.43 Ângulo entre duas retas, em que umareta é vertical e a outra faz um ângulo
agudo como eixoOX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.44 Ângulo entre duas retas, em que umareta é vertical e a outra faz um ângulo
obtusocomo eixoOX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.45 Ânguloentreduas retas não-verticais,em quea éum ânguloagudo. . . . 57
1
3.46 Ânguloentreduas retas não-verticais,em quea éum ânguloobtuso. . . . 58
1
3.47 Distânciaentrepontoereta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.48 Distânciaentreduas retas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.49 Distânciadeum pontoa umaretaquenão contémo pontodado . . . . . . 62
3.50 Distânciaentrepontoereta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.51 Distânciaentreretas paralelas com equações reduzidas . . . . . . . . . . . 64
x
Description:desde o início e investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. Descobriu a teoria das proporcionais e a construção de figuras cósmicas".