Uma Biálgebra que admite uma extensao de Hopf-Galois é uma álgebra de Hopf

20 Pages·2014·0.211 MB·Portuguese

by  Mateus Medeiros Teixeira

Uma Biálgebra que admite uma extensão de Hopf-Galois é
uma Álgebra de Hopf
Mateus Medeiros Teixeira
5 de dezembro de 2014
Resumo
k
Neste trabalho apresentamos
omo as extensões de álgebra sobre -biálgebras in-
(cid:29)uen
iam na
onstrução de álgebras de Hopf.
Palavras-
haves: Álgebra de Hopf; Extensão de Hopf-Galois
Introdução
No estudo de extensões é
omum assumirmos que H é uma álgebra de Hopf. Uma
ex
eção é feita em [2℄, onde extensões fendidas sobre uma biálgebra são
onsideradas.
k
Vemosquenaverdade,podemosde(cid:28)rnirextensõessobre -biálgebrassemnenhuma
hipótese adi
ional, pois quando as de(cid:28)nimos usualmente sobre álgebras de Hopf, não exigi-
mos nenhuma
ondição sobre a antípoda.
Dentre as extensões, desta
amos aqui as extensões de Hopf-Galois introduzidas
por Chase e Sweedler em 1969, en que as idéias de ações de grupos sobre anéis
omutativos
(extensões de Galois) foram estendidas para
oações de álgebras de Hopf agindo sobre uma
k
-álgebra
omutativa,
om k um anel
omutativo. E generalizadas por Kreimer e Takeu
hi
no
aso de álgebras de Hopf de dimensão (cid:28)nita.
k
Nosso fo
o será mostrar que uma -biálgebra que admite uma extensão de Hopf-
k
Galois é uma álgebra de Hopf, onde é um anel
omutativo.
1
1 Extensões de Álgebras obtidas a partir de Álgebras de Hopf
Ini
iaremos este artigo apresentando um pou
o da teoria de extensões, para então
provarmos o prin
ipal resultado deste trabalho. Nos preo
uparemos aqui em demonstrar
apenas os resultados prin
ipais desta teoria, e que estão devidamente rela
ionados
om a
demonstração do Teorema fundamental deste trabalho.
B ⊂ A H A H
De(cid:28)nição 1.1 Dizemos que é uma -extensão à direita se é um -
omódulo
AcoH = B A, B H
álgebra
om , onde são álgebras e é uma álgebra de Hopf.
1.1 Extensões Fielmente Planas
Ini
iamos esta seção de(cid:28)nindo a estrutura de módulo (cid:28)elmente plano, para então
darmossequên
ia aoestudodeextensões(cid:28)elmente planas, paramaioresdetalhes, indi
amos
[3℄.
P R P
R
De(cid:28)nição 1.2 Seja um módulo à direita sobre um anel . Dizemos que é um módulo
(cid:28)elmenteplanose satisfazqualquer umadas
ondições doteoremaabaixo,
uja demonstração
pode ser vista em [3℄.
P R
Teorema 1.3 Para qualquer módulo à direita sobre um anel , são equivalentes:
(i) A sequên
ia
M′ ϕ //M ψ //M′′
é exata, se, e somente se,
P ⊗ M′ // P ⊗ M //P ⊗ M′′
R R R
é uma sequên
ia exata;
P R M P ⊗ M = 0
R
(ii) é um módulo plano, e para qualquer -módulo à esquerda ,
M = 0
impli
a em ;
P φ :M′ → M′′ R
(iii) éummóduloplano,eomor(cid:28)smo ,na
ategoria dos -módulos
M I ⊗φ: P ⊗ M′ → P ⊗ M′′
R P R R
à esquerda ( ), é nulo se o mor(cid:28)smo induzido é nulo.
k k k
Exemplo 1.4 Todo -espaço vetorial,
orpo, é um -módulo (cid:28)elmente plano.
B ⊂ A A
De(cid:28)nição 1.5 Uma extensão é dita (cid:28)elmente plana se é uma extensão em que
A B
é -módulo (cid:28)elmente plano.
Uma de(cid:28)nição equivalente a esta, vista em [3℄, é dada por:
2
B ⊂ A A B
De(cid:28)nição 1.6 Uma extensão , , k-álgebras, é dita (cid:28)elmente plana à esquerda
B f : M → N f
se para qualquer mor(cid:28)smo de -módulos à direita , é injetora se, e somente
f ⊗I : M ⊗ A→ N ⊗ A
A B B
se, é injetivo.
Para mostrarmos a propriedade
itada a
ima, pre
isamos de(cid:28)nir o que
hamamos
de equalizador de dois mor(cid:28)smos.
f,g : M → N f g
De(cid:28)nição 1.7 Sejam os mor(cid:28)smos ,
hamamos de equalizador de e o
ker(f,g) = {m ∈M :f(m)= g(m)}

onjunto .
Dizemos que o diagrama do equalizador
f
0 → L →h M ⇒ N
g
Im(h) = ker(f,g) h
é exato se e for injetivo.
Apartirdeagoraenode
orrerdotodoesteartigo, amenosquesedigao
ontrário,
k
assumimos que é um anel
omutativo
om unidade.
A k k M k
Lema 1.8 Seja uma -álgebra -(cid:28)elmente plana e um -módulo à esquerda. Então a
sequên
ia
θ δ
0 → M → A⊗M → A⊗A⊗M
θ(m)= 1 ⊗m δ(a⊗m)= a⊗1 ⊗m−1 ⊗a⊗m
A A A
é exata, onde e .
A k
Demonstração: Como é -(cid:28)elmente plano, basta mostrarmos que a sequên
ia
0 → A⊗ M IA→⊗θ A⊗ A⊗ M IA→⊗δ A⊗ A⊗ A⊗ M
k k k k k k
I ⊗θ Im(I ⊗θ)= ker(I ⊗δ)
A A A
éexata,ouseja,temosdemostrarque éinjetoretambémque .
a ⊗m ∈ ker(I ⊗θ)
i i A
Seja P então
0 = (I ⊗θ) a ⊗m = a ⊗θ(m )= a ⊗1 ⊗m
A (cid:16)X i i(cid:17) X i i X i A i
µ⊗I
M
e apli
ando o mor(cid:28)smo temos que
0 = a ⊗m ,
X i i
I ⊗θ
A
portanto, é injetivo.
Im(I ⊗θ)= ker(I ⊗δ)
A A
Vejamos que .
3
Im(I ⊗θ)⊂ ker(I ⊗δ)
A A
Claramente , pois
(I ⊗δ)◦(I ⊗θ)( a ⊗m ) = I ⊗δ( a ⊗1 ⊗m )
A A i i A i A i
P P
= a ⊗1 ⊗1 ⊗m − a ⊗1 ⊗1 ⊗m = 0.
i A A i i A A i
P P
a ⊗b ⊗m ∈ ker(I ⊗δ)
i i i A
Por outro lado, seja P então
0 = I ⊗δ a ⊗b ⊗m = a ⊗b ⊗1 ⊗m − a ⊗1 ⊗b ⊗m ,
A (cid:16)X i i i(cid:17) X i i A i X i A i i
a ⊗1 ⊗b ⊗m = a ⊗b ⊗1 ⊗m µ⊗I ⊗I
i A i i i i A i A M
logo, P P e apli
ando o mor(cid:28)smo temos
que
a ⊗b ⊗m = a b ⊗1 ⊗m = (I ⊗θ) a b ⊗m .
X i i i X i i A i A (cid:16)X i i i(cid:17)
ε δ
Im(I ⊗ε) = ker(I ⊗δ) 0 → M → A⊗M →
A A
Assim, e segue que a sequên
ia
A⊗A⊗M A k
é exata por ser -(cid:28)elmente plano.
(cid:4)
1.2 Extensão Fendida
As extensões fendidas são extensões que possuem uma estrutura trivial, sendo

ara
terizadasporprodutos
ruzados. Ao(cid:28)naldestaseçãoveremosumteoremaquedes
reve
tal
ara
terização. Ini
iamos o
apítulo de(cid:28)nindo uma extensão fendida.
H B ⊂ A H H
De(cid:28)nição 1.9 Dizemos que uma -extensão é -fendida (ou -extensão fendida)
H γ :H → A
se existe um mor(cid:28)smo de -
omódulos à direita que é inversível por
onvolução,
ψ : H → A γ ∗ψ = ψ∗γ = η◦ε
ou seja, se existe tal que .
Hom(H,A)
Observe que
omo é uma álgebra
om unidade, sabemos que se o
φ
inverso de um mor(cid:28)smo , se existir, é úni
o.
ψ : A→ A⊗H
Ainda, se é um mor(cid:28)smo de álgebras, então
ψ∗ : Hom(H,A) → Hom(H,A⊗H)
φ 7→ ψ∗(φ) := ψ◦φ,
ψ∗(φ) φ
é um mor(cid:28)smo de álgebras. E segue que é inversível, se é inversível.
γ
Note também que o mor(cid:28)smo dado a
ima pode ser normalizado.
4
γ :H → A γ(1 ) := b b ∈ B
H
De fato, seja
omo a
ima tal que . Notemos que , pois
b b
ρ(b) = ρ◦γ(1 )= (γ ⊗I )◦∆(1 )
H H H
b b
= γ(1 )⊗1 = b⊗1 .
H H H
b
b
E mais, é inversível, pois
1 = η◦ε(1 ) = γ∗γ(1 )
A H H
b b
= γ(1 )γ(1 ) = bγ(1 ).
H H H
b b b
γ(1 ) = b−1 b−1 ∈ B
H
Chamemos ,
laramente , pois
b
ρ(b−1) = (b−1b⊗1 )ρ(b−1) = (b−1⊗1 )(b⊗1 )ρ(b−1)
H H H
= (b−1⊗1 )ρ(b)ρ(b−1) = (b−1⊗1 )ρ(bb−1)
H H
= b−1⊗1 .
H
Por (cid:28)m, de(cid:28)namos o mor(cid:28)smo
γ : H → A
h 7→ b−1γ(h).
b
γ
É fá
il ver que é
olinear à direita e inversível por produto de
onvolução, basta
γ : H → A γ(h) = (γb)(h) := γ(h)b γ
de(cid:28)nirmos por . Assim, é unital
omo queríamos.
b b
O próximo teorema mostra que toda extensão fendida é de fato um produto
ru-
zado. Sua demonstração pode ser en
ontrada em [3℄.
B ⊂ A H A ≃ B# H
σ
Teorema 1.10 Uma extensão é -fendida se, e somente se,
omo
álgebras.
1.3 Extensões de Hopf-Galois
E ⊂ F F\E
Nateoriadegrupos,dizemosqueumaextensãoalgébri
a ( )égaloisiana
F\E
(extensão de Galois) se é uma extensão normal e separável. Por extensão normal,
α ∈ F Irr(α,E)
entendemos que para todo , o polinmio minimal tem todas as raízes em
F α ∈F Irr(α,E)
. Por separável, dizemos que para todo , tem raízes simples.
Podemos ver tais extensões, de forma mais geral,
omo ações de grupos sobre anéis

omutativos. Essas idéias foram estendidas para
oações de álgebras de Hopf agindo sobre
k k
uma -álgebra
omutativa,
om umanel
omutativo, ao que foram
hamadas deextensões
de Hopf-Galois por Chase e Sweedler. E generalizadas por Kreimer e Takeu
hi no
aso de
5
H A, B
álgebras de Hopf de dimensão (cid:28)nita. Formalmente, sejam uma álgebra de Hopf,
álgebras.
H B = AcoH ⊂ A ρ : A → A ⊗ H
De(cid:28)nição 1.11 Dizemos que uma -extensão
om
H A H H
(estrutura de -
omódulo de ), é -Galois ( -extensão de Hopf-Galois) à direita se o
mor(cid:28)smo
can :A⊗ A → A⊗ H
B k
can(a⊗ b)= (a⊗1 )ρ(b)
B H
de(cid:28)nido por é bijetivo.
H
Podemos de(cid:28)nir também as -extensões de Hopf-Galois à esquerda, através do
can′
mor(cid:28)smo dado por
can′ A⊗ A → A⊗ H
B k
a⊗b 7→ ρ(a)(b⊗1 ).
H
S
Se a antípoda, , é bijetiva, temos o seguinte resultado:
can′ can
A(cid:28)rmação:Omor(cid:28)smo ébijetivo se,esomente se, omor(cid:28)smo ébijetivo.
φ ∈ End(A ⊗ H) φ(a ⊗h) = ρ(a)(1 ⊗ S(h)) φ−1 ∈
A
Seja tal que e sua inversa
End(A⊗H) φ−1(a⊗h) = (1 ⊗S−1(h))ρ(a) φ◦can = can′
A
dada por . Assim, vemos que
φ−1◦can′ = can
e .
can can′
Portanto, é bijetiva se, e somente se, é bijetiva.
(cid:4)
B ⊂ A h ∈H
Observação 1.12 Para extensões de Hopf-Galois ,
onsideraremos para todo ,
l (h), r (h) ∈ A i ∈ I
i i
, , uma quantidade (cid:28)nita de termos tais que
1 ⊗h = l (h)r (h)(0) ⊗r (h)(1) ∈A⊗H
A XX i i i (1)
i (h)
l (h)⊗r (h)
i i
Dizemos que P é uni
amente determinada
omo a imagem inversa de
1 ⊗h can
A
pelo isomor(cid:28)smo .
Vejamos ainda, que no
ontexto das extensões algébri
as de
orpos, as de(cid:28)nições
de extensão de Galois e extensão de Hopf-Galois se equivalem.
F\E G = gal(F\E) F\E
Teorema 1.13 Seja uma extensão algébri
a (cid:28)nita e , então é
E ⊂ F (EG)∗
uma extensão galoisiana se, e somente se, é uma -extensão de Hopf Galois.
6
(⇒) G = {x ,x ,··· ,x } {b ,b ,··· ,b } E
1 2 n 1 2 n
Demonstração: Tome e sejam uma -base de
F {p ,p ,··· ,p } (EG)∗
1 2 n
, a base dual de e uma
oação dada por
ρ: F → F ⊗ (EG)∗
E
n
a 7→ (x ⊲ a)⊗p .
i i
P
i=1
E = Fco((EG)∗)
A(cid:28)rmação:
a ∈ E
De fato, seja , então
ρ(a) = Xa⊗pi = a⊗Xpi = a⊗1(EG)∗.
b ∈ Fco((EG)∗) ρ(b) = b⊗1(EG)∗
Por outro lado, seja , logo, , assim,
x ⊲ b = b(0) < δ ,b(1) >= b ⇒ b ∈ E.
i X xi
E = Fco((EG)∗)
Portanto, .
De(cid:28)nimos:
can : F ⊗ F → F ⊗ (EG)∗
E E
a⊗b 7→ (a⊗1(EG)∗)ρ(b) := a(xi ⊲ b)⊗pi.
P
can w = a ⊗b ∈ ker(can)
j j
Mostremos que é injetivo. Seja P , então
0 = can(w) = can( a ⊗b ) = a (x ⊲ b )⊗p
X j j X j i j i
{b } F\E {p } (EG)∗ a (x ⊲ b ) = 0
j i j i j
emque ébasede . Como ébasede ,
on
luímosqueP ,
i a = 0 A= (x ⊲ b )
j i j i,j
paratodo ,assim, ,peloLemadeDedekind(verLema??)eofatode
w = a ⊗b = 0
j j
ser uma matriz inversível e portanto, P .
dim(F ⊗ F) = n2 = dim(F ⊗ (EG)∗) can
E
Como , segue que é sobrejetiva, e
portanto, bijetiva.
(⇐) dim(F ⊗ F) = [F : E]2 dim(F ⊗ (EG)∗) =
E
Sabemos que e também que
|G|[E : F]
. Logo,
omo
∗
dim(F ⊗ F) = dim(F ⊗(EG) ),
E
[F : E]= |G| F\E
temos que e portanto, é uma extensão galoisiana.
(cid:4)
No próximo exemplo,
ara
terizamos os anéis graduados
omo extensões de Hopf-
7
A
Galois. Antes de enun
iá-lo, lembramos que uma álgebra ser fortemente graduada é o
A ·A = A x, y ∈ G
x y xy
mesmo que dizermos , para todo .
G A G A kG
Exemplo 1.14 Sejam um grupo e uma álgebra -graduada, ou seja, é um -
ρ : A → A⊗kG ρ(a) = a ⊗x a = a ∈
x x

omódulo álgebra via , dada por xP∈G , em que xP∈G
⊕ A H = kG AcoH = A
x e
x∈G . Ainda,
omo , segue que .
A ⊂ A kG A
e
Então é -extensão de Hopf-Galois se, e somente se, é fortemente
graduada.
Vejamos agora um lema que nos dá algumas propriedades sobre a inversa do mor-
can
(cid:28)smo ,
om base no que foi de(cid:28)nido na Observação 1.12.
B ⊂ A H can−1(1 ⊗h) =
A
Lema 1.15 Seja uma -extensão de Hopf-Galois. Es
revendo
l (h)⊗r (h) h ∈H a ∈ A
i i
P
omo na Observação 1.12. Então, para todo e , temos:
a(0)l (a(1))⊗r (a(1)) = 1 ⊗a
i i A
(i) P ;
l (h)r (h) = ε(h)1
i i A
(ii) P ;
l (h)⊗r (h)(0) ⊗r (h)(1) = l (h )⊗r (h )⊗h
i i i i (1) i (1) (2)
(iii) P P
a ∈ A
Demonstração: (i) Seja , então
1 ⊗a = can−1◦can(1 ⊗a)
A A
= can−1 a(0)⊗a(1)
(cid:0)P (cid:1)
(=∗) a(0)can−1(1 ⊗a(1))
A
P
= a(0)l (a(1))⊗r (a(1)).
i i
P
(∗) can−1 A
Notemos que é válido pois é um mor(cid:28)smo de -módulos à esquerda.
h ∈H
(ii) Seja , logo, temos
ε(h)1 = µ(I ⊗ε)(1 ⊗h)
A A A
= µ(I ⊗ε)can◦can−1(1 ⊗h)
A A
= µ(I ⊗ε) l (h)r (h)(0) ⊗r (h)(1)
A i i i
(cid:0)P (cid:1)
= l (h)r (h)(0)ε(r (h)(1))
i i i
P
= l (h)r (h).
i i
P
can⊗I
H
(iii) Para mostrarmos (iii),
onsideramos o mor(cid:28)smo e apli
amo-lo dos
dois lados da equação, então
8
(can⊗I ) l (h)⊗r (h)(0) ⊗r (h)(1) =
H i i i
(cid:0)P (cid:1)
= l (h)r (h)(0)(0) ⊗r (h)(0)(1) ⊗r (h)(1)
i i i i
P
= l (h)r (h)(0) ⊗r (h)(1) ⊗r (h)(2)
i i i i
P
= (I ⊗∆) l (h)r (h)(0) ⊗r (h)(1)
A i i i
(cid:0)P (cid:1)
= (I ⊗∆)(1 ⊗h)
A A
= 1 ⊗h ⊗h .
A (1) (2)
Pelo outro lado, temos
(can⊗I ) l (h )⊗r (h )⊗h =
H i (1) i (1) (2)
(cid:0)P (cid:1)
= l (h )r (h )(0) ⊗r (h )(1) ⊗h
i (1) i (1) i (1) (2)
P
= 1 ⊗h ⊗h .
A (1) (2)
O que mostra a igualdade (iii).
(cid:4)
Finalizamos essa seção
om um lema que
ara
teriza uma extensão de Hopf-Galois
apartir de
ertas propriedades dadas. Para sua demonstração, entretanto, pre
isamos antes
φ : ker(µ) → A⊗ A/C A H
C
provar que existe um isomor(cid:28)smo , em que é um -
omódulo
C AcoH
álgebra à direita e uma subálgebra de .
De fato,
onsideremos a sequên
ia exata
i π
0 → C ֒→ A → A/C → 0.
A C
Tensorizando em sobre , temos a seguinte sequên
ia exata,
A⊗ C I֒A→⊗i A⊗ AIA→⊗π A⊗ A/C → 0.
C C C
Λ: A→ A⊗ C
C
Notemos que mesma
inde, de fato, se
onsiderarmos o mor(cid:28)smo ,
Λ(a) = a ⊗ 1 Λ ◦ µ A ⊗ A → A ⊗ C
C C C
de(cid:28)nido por então é um mor(cid:28)smo de tal que
Λ◦µ◦(IA ⊗i) =IA⊗CC, ainda, vemos que IA ⊗i é injetora, pois
omo
(Λ◦µ)◦(I ⊗i) = I ⊗ e,
A A C
Λ◦µ I ⊗i
A
temos que é epimor(cid:28)smo e é monomor(cid:28)smo, e que
0 → A⊗ C → A⊗ A → A⊗ A/C → 0
C C C
9
é exata e
indida.
Q ⊂ A⊗ A A⊗ A= Im(I ⊗i)⊕Q
C C A
Assim,
omoasequên
ia
inde, existe talque
Q = ker(Λ◦µ) Λ Q = ker(µ)
e deduzimos que . Se provarmos que é injetora, obtemos que ,
k
mas, temos a apli
ação -linear
p : A⊗ C → A
C
a⊗c 7→ ac,
p◦Λ = I Λ
A
e
omo , temos que é injetora.
A H C AcoH
Lema 1.16 Sejam um -
omódulo álgebra à direita e uma subálgebra de tal que
ψ : A⊗ A → A⊗H
C
a⊗b 7→ ab(0) ⊗b(1)
P
s : A → C C C = AcoH
é bijetivo e exista homomor(cid:28)smo unital e -linear à direita. Então e
A H C
é uma extensão -Galois de .
C ⊆ AcoH AcoH ⊆C
Demonstração: Claramente . Mostremos que .
x ∈ AcoH
Notamos primeiramente que dado , temos,
1 ⊗x = ψ−1(ψ(1 ⊗x)) = ψ−1(x(0) ⊗x(1))
A A
P
= ψ−1(x⊗1 ) = ψ−1(ψ(x⊗1 )) = x⊗1 .
H A A
φ :ker(µ)→ A⊗ A/C φ( a ⊗b )=
C i i
Então,
omo existe o isomor(cid:28)smo dado por P
a ⊗[b ] φ 1 ⊗x−x⊗1 1 ⊗[x]
i i C A A A C
P . Temos que, em parti
ular, leva em , daí, apli
ando
µ◦(s⊗I) 1 ⊗[x] 0 = µ◦(s⊗I )(1 ⊗[x] ) = [x]
A C A/C A C C
o mor(cid:28)smo em , temos que , ou
x ∈ C
seja,
omo queríamos.
(cid:4)
1.4 Extensões Fendidas e a Propriedade da Base Normal
F\E
Um teorema
lássi
o da teoria de Galois diz que se é uma extensão de Galois
G F\E
(cid:28)nita de
orpos, e é o grupo de Galois asso
iado, então tem uma base normal, isto
a ∈ F {x ⊲ a : x ∈ G} F E
é, existe tal que o
onjunto é uma base para sobre (vide [?℄).
H
Assim
omo na seção anterior, estenderemos essa noção para -extensões de Galois.
B ⊂ A H
De(cid:28)nição 1.17 Seja uma -extensão à direita. Dizemos que ela tem a propriedade
A ≃ B⊗H B H
da base normal se
omo -módulo à esquerda e -
omódulo à direita.
10