UFR Economie Appliquée Econométrie Appliquée Séries Temporelles

31 Pages·2003·0.36 MB·French

U.F.R. Economie Appliquée
Maîtrise d’Economie Appliquée
Cours de Tronc Commun
Econométrie Appliquée
Séries Temporelles
Christophe HURLIN
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 2
Chapitre 5
Représentation VAR et Cointégration
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 3
1. Représentation VAR
1.1. Exemple introductif
Onconsidèredeuxprocessusstationnaires y1,t,t Z et y2,tt Z définiesparlesrelations
{ ∈ } { ∈ }
suivantes :
p p
y = a + b y + c y d y +ε (1.1)
1,t 1 1,i 1,t i 1,i 2,t i 1 2,t 1,t
− − −
i=1 i=1
(cid:91) (cid:91)
p p
y = a + b y + c y d y +ε (1.2)
2,t 2 2,i 1,t i 2,i 2,t i 2 1,t 1,t
− − −
i=1 i=1
(cid:91) (cid:91)
où les innovations {ε1,t,t ∈ Z} et {ε2,t,t ∈ Z} sont des bruits de variance respective σ21 et
σ22, et non corrélés : E(ε1,tε2,t j) = 0, j Z. On constate immédiatement que le processus
− ∀ ∈
vectoriel Y = (y y ) peut s’écrire sous la forme d’un processus AR(p). En effet :
t 1,t 2,t (cid:30)
1 d a b c
B = 1 A = 1 A = 1,i 1,i i [1,p]
d 1 0 a i b c ∀ ∈
2 2 2,i 2,i
(cid:21) (cid:22) (cid:21) (cid:22) (cid:21) (cid:22)
On définit un processus vectoriel ε i.i.d. tel que :
t
ε σ2 0
ε = 1,t E ε ε(cid:30) = Ω = 1
t ε t t 0 σ2
2,t 2
(cid:21) (cid:22) (cid:21) (cid:22)
(cid:19) (cid:20)
Alors, on montre immédiatement que :
p
BY = A + A Y +ε (1.3)
t 0 i t i t
−
i=1
(cid:91)
On qualifie cette représentation de processus VAR (Vectorial Autoregressive) d’ordre p,
noté VAR(p). Ce système initial donnée par les équations (1.1) et (1.2), ou par la définition
matricielle (1.3) est qualifiée de représentation structurelle. On constate que dans cette
représentation le niveau de y a un effet immédiat sur y et vice et versa. L’estimation de
2,t 1,t
ce modèle suppose donc d’estimer 4 (p+1)+2+2 paramètres.
∗
C’est pourquoi on travaille généralement à partir de la forme réduite du modèle VAR.
Ce modèle, obtenu en multipliant les deux membres de (1.3) par B 1, s’écrit alors sous la
−
forme :
p
Y = A + A Y +v (1.4)
t 0 i t i t
−
i=1
(cid:91)
(cid:104) (cid:104)
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 4
avec :
A = B 1A i [0,p]
i − i
∀ ∈
vt = B−1εt t Z
(cid:104) ∀ ∈
Ce qui peut s’écrire sous la forme :
p p
y = a + b y + c y +v (1.5)
1,t 1 1,i 1,t i 1,i 2,t i 1,t
− −
i=1 i=1
(cid:91) (cid:91)
(cid:104)
(cid:104) p p (cid:104)
y = a + b y + c y +v (1.6)
2,t 2 2,i 1,t i 2,i 2,t i 1,t
− −
i=1 i=1
(cid:91) (cid:91)
Onconstatealorsqueleniveaudey(cid:104) ne dépendplus directement dey , maisseulement
(cid:104) 2,t (cid:104) 1,t
des valeurs passées de y et de y , et de l’innovation v . Les innovations v et v sont
2,t 1,t 2,t 1,t 2,t
alors fonction des innovations de la forme structurelle (ε et ε ) et peuvent être corrélées
1,t 2,t
même en l’absence de corrélation des innovations εt. En effet, on a t Z:
∀ ∈
ε d ε
1,t 1 2,t
v = − (1.7)
1,t
1 d d
1 2
−
ε d ε
2,t 2 1,t
v = − (1.8)
2,t
1 d d
1 2
−
Dès lors, on vérifie que les processus v1,t,t Z et v2,t,t Z sont i.i.d. puisque :
{ ∈ } { ∈ }
E(v ) = E(v ) = 0
1,t 2,t
E(v1,tv1,t j) = E(v2,tv2,t j) = 0 j Z∗
− − ∀ ∈
Les variances de ces innovations sont alors définies par t Z
∀ ∈
σ2 +d2σ2
E v2 = 1 1 2
1,t (1 d d )2
1 2
−
(cid:3) (cid:4)
σ2 +d2σ2
E v2 = 2 2 1
2,t (1 d d )2
1 2
−
(cid:3) (cid:4)
Enfin, on constate que les innovations v1,t,t Z et v2,t,t Z peuvent être corrélées
{ ∈ } { ∈ }
alors même que les innovations du modèle structurel ε1,t,t Z et ε2,t,t Z sont non
{ ∈ } { ∈ }
corrélées.
d22σ21+d21σ22 h = 0
E(v1,tv2,t−h) = (cid:43) −0 (1−d1d2)2 h = 0 (1.9)
(cid:57)
On constate que cette covariance est nulle en particulier lorsque d = d = 0, puisque
1 2
dans ce cas là le niveau de y n’a pas d’influence sur celui de y et vice et versa.
2,t 1,t
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 5
1.2. Représentation générale
La définition générale d’un processus VAR(p) est la suivante.
Definition 1.1. Unprocessusvectoriel Xt,t Z ,dedimension(n,1),admetunereprésen-
{ ∈ }
tation VAR d’ordre p, notée VAR(p) si :
X = c Φ X Φ X ... Φ X +ε (1.10)
t 1 t 1 2 t 2 p t p t
− − − − − − −
ou de façon équivalente :
Φ(L)X = c+ε (1.11)
t t
où c, dimension (n,1) désigne un vecteur de constantes, Φ(L) = Φ Li, où les matrice
∞i=0 i
Φ , i [0,p] de dimension (n,n), satisfont Φ = I et Φ = 0 . Le vecteur (n,1) des
i ∀ ∈ 0 n p (cid:57) (cid:83)n
innovations ε est i.i.d. (0 ,Ω) où Ω est une matrice (n,n) symétrique définie positive.
t n
Le processus vectoriel des innovations εt,t Z est i.i.d. (0n,Ω), et satisfait par con-
{ ∈ }
séquent les propriétés suivantes :
E(ε ) = 0
t
Ω j = 0
E ε ε =
t (cid:30)t j 0 j = 0
−
(cid:29) (cid:57)
(cid:3) (cid:4)
De la même façon que pour un AR(1), on peut donc exprimer le polynôme matriciel
Φ(L), de dimension (n,n), de la façon suivante :
Φ(L) = ∞ Φ Li = I +Φ L Φ L2 ... Φ Lp
i n 1 2 p
i=0 − − −
(cid:91)
où I désigne la matrice identité (n,n). On pose les définitions suivantes :
n
x ε Φi Φi ... Φi
1,t 1,t 1,1 1,2 1,n
x ε Φi Φi ... ...
X =  2,t  ε =  2,t  Φ =  2,1 2,2  i [1,p]
t ... t ... i ... ... Φi ... ∀ ∈
(n,1) (n,1) (n,n) j,k
 x   ε   Φi Φi ... Φi 
 n,t   n,t   n,1 n,2 n,n 
     
On retrouve alors la forme réduite évoquée dans l’exemple précédent puisque, les proces-
sus xi,t,t Z sont respectivement définis enfonctions de leurpassé et du passé des proces-
{ ∈ }
sus xj,t,t Z pour j = i. Par exemple, pour x1,t on obtient, t Z :
{ ∈ } (cid:57) ∀ ∈
x = c +Φ1 x +Φ1 x +..+Φ1 x
1,t j 1,1 1,t 1 1,2 2,t 1 1,n n,t 1
− − −
+Φ2 x +Φ2 x +..+Φ2 x
1,1 1,t 2 1,2 2,t 2 1,n n,t 2
− − −
+...
+Φp x +Φp x +..+Φp x
1,1 1,t p 1,2 2,t p 1,n n,t p
− − −
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 6
De façon plus générale, pour x , j [1,n], on a :
j,t
∀ ∈
x = c +Φ1 x +Φ1 x +..+Φ1 x +..+Φ1 x
j,t 1 j,1 1,t 1 j,2 2,t 1 j,j j,t 1 j,n n,t 1
− − − −
+Φ2 x +Φ2 x ..+Φ2 x +..+Φ2 x
j,1 1,t 2 j,2 2,t 2 j,j j,t 2 j,n n,t 2
− − − −
+...
+Φp x +Φp x ..+Φp x +..+Φp x
j,1 1,t p j,2 2,t p j,j j,t p j,n n,t p
− − − −
1.3. Conditions de stationnarité
Ladéfinitiondelastationnaritéd’ordredeux(oustationnaritédusecondordre)estidentique
à celle du cas des processus univariés.
Definition 1.2. Unprocessusvectoriel Xt,t Z , dedimension(n,1),estditstationnaire
{ ∈ }
au second ordre, ou stationnaire au sens faible, ou stationnaire d’ordre deux si
t Z, E(X2) <
t
• ∀ ∈ ∞
t Z, E(Xt) = m (indépendant de t)
• ∀ ∈ (n,1)
(t,h) Z2, E (Xt+h m)(Xt m)(cid:30) =γ(h) (indépendant de t)
• ∀ ∈ − −
(n,n)
(cid:5) (cid:6)
Lorsque l’on considère un processus VAR(p), on peut démontrer que ces conditions de
stationnaritéreviennentàimposerdesconditionssurlesracinesdudéterminantdupolynôme
matriciel Φ(L).
Proposition 1.3. Un processus vectoriel Xt,t Z , de dimension (n,1), statisfaisant une
{ ∈ }
représentation VAR(p) telle que t Z :
∀ ∈
Φ(L)X = X Φ X Φ X ... Φ X = c+ε
t t 1 t 1 2 t 2 p t p t
− − − − − − −
est stationnaire si et seulement si les racines du déterminant du polynôme matriciel Φ(L),
notée λ i [1,n], sont toutes supérieures à l’unité en module.
i
∈
det[Φ(λ )] = Φ(λ ) = I λp Φ λp 1 Φ λp 2 ... Φ λp Φ = 0
i | i | n i − 1 i− − 2 i− − − p−1 i − p
(cid:15) (cid:15)
(cid:15) λ > 1 i [1,n] (cid:15) (1.12)
i
| | ∀ ∈
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 7
Exemple : On considère un processus bi-varié Yt,t Z admettant une représentation
{ ∈ }
VAR(1) telle que :
y = 3+0.2y +0.7y +ε
1,t 1,t 1 2,t 1 1,t
− −
y = 1+0.3y +0.4y +ε
2,t 1,t 1 2,t 1 2,t
− −
On pose Y = (y y ) et ε = (ε ε ) . Cette représentation peut s’exprimer sous la
t 1,t 2,t (cid:30) t 1,t 2,t (cid:30)
forme réduite suivante :
Φ(L)Y = c+ε
t t
avec c = (3 1) et :
(cid:30)
1 0 0.2 0.7 1 0.2L 0.7L
Φ(L) = + − − L = − −
0 1 0.3 0.4 0.3L 1 0.4L
(cid:21) (cid:22) (cid:21) − − (cid:22) (cid:21) − − (cid:22)
Donc la condition de stationnarité du processus Yt,t Z se ramène à déterminer les
{ ∈ }
racines du polynôme :
det[Φ(L)] = (1 0.2L)(1 0.4L) 0.21L2
− − −
Les deux racines λ = 1.30 et λ = 5.91 sont supérieures à 1 en module, le processus VAR
1 2
−
eststationnaire. Donclesprocessusunivariées y1,t,t Z et y2,t,t Z sont stationnaires.
{ ∈ } { ∈ }
On peut facilement démontrer que cette condition de stationnarité peut être exprimée
en fonction des valeurs propres de la matrice Φ(L).
Proposition 1.4. Un processus vectoriel Xt,t Z , de dimension (n,1), statisfaisant une
{ ∈ }
représentation VAR(p) telle que t Z :
∀ ∈
Φ(L)X = X Φ X Φ X ... Φ X = c+ε
t t 1 t 1 2 t 2 p t p t
− − − − − − −
est stationnaire si et seulement si les valeurs propres de l’application linéaire Φ(L), notée λ
i
i [1,n], sont toutes inférieures à l’unité en module. Ces valeurs propres satisfont l’équation
∈
(cid:104)
caractéristique associée :
p p 1 p 2 p
I λ Φ λ − Φ λ − ... Φ λ Φ = 0 (1.13)
n i − 1 i − 2 i − − p−1 i − p
(cid:15) (cid:15)
(cid:15) (cid:15)
(cid:104) (cid:104) (cid:104) (cid:104)
(cid:15) λ < 1 i [1,n] (cid:15) (1.14)
i
∀ ∈
(cid:15) (cid:15)
(cid:15) (cid:15)
(cid:104)
(cid:15) (cid:15)
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 8
1.4. Ecriture VAR(1) d’un VAR(p)
Les processus VAR(p) possède une propriété particulièrement utile pour les démonstrations
ultérieures.
Proposition 1.5. Toutprocessusvectoriel Xt,t Z ,satisfaisantunereprésentationVAR(p)
{ ∈ }
peut être transformé en un processus Xt,t Z satisfaisant une représentation VAR(1)
∈
d’espérance nulle. (cid:113) (cid:114)
(cid:104)
Preuve : On considère un processus Xt,t Z , avec Xt = (x1,t,...,xn,t)(cid:30) satisfaisant la
{ ∈ }
représentation VAR(p) suivante, t Z :
∀ ∈
Φ(L)X = X Φ X Φ X ... Φ X = c+ε
t t 1 t 1 2 t 2 p t p t
(n,n) (n,1) − − − − − − −
Déterminons tout d’abord l’espérance du processus X :
t
E(Xt) = Φ(L)−1[c+εt] = Φ(1)−1c = µ t Z
∀ ∈
où µ est un vecteur de constante (hypothèse de stationnarité) de dimension (n,1). On peut
alors réecrire le processus sous la forme suivante :
Φ(L)(X µ) = ε
t t
−
(X µ) = Φ (X µ)+Φ (X µ)+...+Φ (X µ)+ε
t 1 t 1 2 t 2 p t p t
⇐⇒ − − − − − − −
On pose t Z
∀ ∈
X µ ε
t t
−
X µ 0
t 1 (n,1)
 − −   
X = X µ v = 0
t t 2 t (n,1)
(np,1)  ...− −  (np,1)  ... 
   
(cid:104)  X µ   0 
t p+1 (n,1)
 − −   
   
et
Φ Φ ... Φ Φ
1 2 p 1 p
−
I 0 ... 0 0
n (n,n) (n,n) (n,n)
 
A = 0 I ... 0 0
(n,n) n (n,n) (n,n)
(np,np)  0 0 I 0 0 
(n,n) (n,n) n (n,n) (n,n)
 
 0 0 0 I 0 
(n,n) (n,n) (n,n) n (n,n)
 
 
Alors le processus VAR(p) X peut se récrire sous la forme d’un processus transformé
t
X satisfaisant une représentation VAR(1) tel que :
t
X = AX +v
(cid:104) t t 1 t
−
(cid:104) (cid:104)
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 9
Exemple : On considère un processus bi-varié Yt,t Z admettant une représentation
{ ∈ }
VAR(2) telle que :
y = 3+0.2y +0.7y 0.4y 0.6y +ε
1,t 1,t 1 2,t 1 1,t 2 2,t 2 1,t
− − − − − −
y = 1+0.3y +0.4y 0.1y 0.8y +ε
2,1 1,t 1 2,t 1 1,t 2 2,t 2 2,t
− − − − − −
On pose Y = (y y ) et ε = (ε εy ) . Cette représentation peut s’exprimer sous la
t 1,t 2,t (cid:30) t 1,t 2,t (cid:30)
forme réduite suivante :
Φ(L)Y = c+ε
t t
avec c = (3 1) et :
(cid:30)
Φ(L) = Φ +Φ L+Φ L2
0 1 2
1 0 0.2 0.7 0.4 0.6
= + − − L+ L2
0 1 0.3 0.4 0.1 0.8
(cid:21) (cid:22) (cid:21) − − (cid:22) (cid:21) (cid:22)
1 0.2L+0.4L2 0.7L+0.6L2
= − −
0.3L+0.1L2 1 0.4L+0.8L2
(cid:21) − − (cid:22)
Déterminons E(Y) :
1
E(Yt) = Φ(1)−1c = 1.20.2 −1.40.1 − 31 = 21..589 = µ
(cid:21) − (cid:22) (cid:21) (cid:22) (cid:21) (cid:22)
On pose t Z
∀ ∈
y 2.59 ε
1,t 1,t
−
Y µ y 1.8 ε ε
Y = t − =  2,t −  v = t =  2,t 
t Y µ y 2.59 t 0 0
(4,1) t 1 1,t 1 (4,1) (2,1)
(cid:21) − − (cid:22) − − (cid:21) (cid:22)
 y 1.8   0 
2,t 1
(cid:104)  − −   
   
et
0.2 0.7 0.4 0.6
− −
Φ Φ 0.3 0.4 0.1 0.8
A = 1 2 =  − − 
I 0 1 0 0 0
(4,4) 2 (2,2)
(cid:21) (cid:22)
 0 1 0 0 
 
 
Alors on montre que la représentation VAR(1) du processus Y est identique à la représen-
t
tation VAR(p) du processus Y puisque :
t
(cid:104)
Y = AY +v
t t 1 t
−
y 2.59 0.2(cid:104) 0.7 (cid:104)0.4 0.6 y 2.59 ε
1,t 1,t 1 1,t
− − − − −
y 1.8 0.3 0.4 0.1 0.8 y 1.8 ε
 2,t −  =  − −  2,t−1 − + 2,t 
⇐⇒ y1,t 1 2.59 1 0 0 0 y1,t 2 2.59 0
− − − −
 y 1.8   0 1 0 0  y 1.8   0 
2,t 1 2,t 2
 − −    − −   
      
Chapitre 5. Représentation VAR et Coinégration. Cours de C. Hurlin 10
y = 3+0.2y +0.7y 0.4y 0.6y +ε
1,t 1,t 1 2,t 1 1,t 2 2,t 2 1,t
− − − − − −
⇐⇒ y2,1 = 1+0.3y1,t 1 +0.4y2,t 1 0.1y1,t 2 0.8y2,t 2 +ε2,t
(cid:29) − − − − − −
1.5. Représentation VMA
Considérons un processus vectoriel Xt,t Z , de dimension (n,1), stationnaire.
{ ∈ }
Remark 1. Tout comme dans le cas univarié, sous la condition de stationnarité, il est
possible d’appliquer le théorème de Wold et de représenter X sous la forme d’un processus
t
vectoriel moyenne mobile infini VMA( ).
∞
Nous allons à nouveau donner l’intuition du théorème de Wold appliqué aux processus
vectoriels. On considère un processus stationnaire satisfaisant la représentation VAR(p)
suivante, t Z :
∀ ∈
Φ(L)X = X Φ X Φ X ... Φ X = c+ε
t t 1 t 1 2 t 2 p t p t
− − − − − − −
On sait que E(X ) = Φ(1) 1c = µ, où µ est un vecteur de constante (hypothèse de
t −
stationnarité) de dimension (n,1).
On sait d’après la propriété précédente que ce processus VAR(p) peut être réexprimer
sous la forme d’un processus VAR(1) tel que :
Φ(L)X = v X = AX +v
t t t t 1 t
⇐⇒ −
où les processus X et v , ainsi que la matrice A on été définis précédemment. Dès lors,
t t (cid:104) (cid:104) (cid:104) (cid:104)
en itérant vers le passé, on montre que le processus X peut s’écrire sous la forme d’une
t
(cid:104)
moyenne mobile d’ordre fini à t donné.
(cid:104)
X = v +Av +A2v +.....+AkX
t t t 1 t 2 t k
− − −
Si l’on suppose que les valeurs propres de la matrice A sont strictement inférieures à 1
(cid:104) (cid:104)
en module (condition de stationnarité), alors lim Ak = 0. Dès lors, le processus X peut
t
k
s’écrire sous la forme : →∞
(cid:104)
k
∞
X =lim Aiv = Aiv = Ψ(L)v
t t i t i t
k − −
→∞ i=0 i=0
(cid:91) (cid:91)
(cid:104) (cid:104)
En reprenant la définition du processus X , on peut alors déterminer la décomposition
t
de Wold associée au processus VAR(p) X .
t
(cid:104)