Table Of ContentJürgen Tietze
Übungsbuch zur Finanzmathematik
Aus dem Programm Mathematik
Analysis, Band 1 und 2
von E. Behrends
Analysis 1 und 2
von O. Forster
Einführung in die Analysis
von Th. Sonar
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
Lineare Algebra
von G. Fischer
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Vom Richtigen und Falschen in der elementaren Algebra
von J. Tietze
Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einführung in die Finanzmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur Finanzmathematik
von J. Tietze
Finanzmathematik für Einsteiger
von M. Adelmeyer und E. Warmuth
Mathematik zum Studienbeginn
von A. Kemnitz
www.viewegteubner.de
Jürgen Tietze
Übungsbuch zur
Finanzmathematik
Aufgaben, Testklausuren und ausführliche Lösungen
7., überarbeitete und erweiterte Auflage
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
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<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Jürgen Tietze
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70
52066 Aachen
[email protected]
1. Auflage 2000
2., erweiterte Auflage 2002
3., verbesserte Auflage 2004
4., verbesserte und erweiterte Auflage 2005
5., aktualisierte Auflage 2008
6., aktualisierte Auflage 2010
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
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und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men.
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daher von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1575-0
v
Vorwort zur 7.Auflage
Das vorliegende finanzmathematische Übungsbuch dient zweierlei Zielsetzung: Zum
einen soll es (als eigenständiges Übungsbuch) zur Festigung und Vertiefung des fi
nanzmathematischen Basiswissens und -könnens beitragen, zum anderen aber auch
(in Ergänzung meines Lehrbuches 1 zur Finanzmathemalik) die Examensvorbereitun
gen für Hörerinnen und Hörer der Grundvorlesungen in Wirtschafts- und Finanzma
thematik sowie Investitionen unterstützen.
Zur Erreichung insbesondere des letztgenannten Ziels enthält die Übungssammlung
neben thematisch angeordnetem Übungsmaterial zusätzlich zahlreiche Testklausuren.
Sie sind aus Originalklausuren (Dauer: jeweils 2 Zeitstunden) entstanden und sollen
dem Studierenden neben Informationen über Umfang und Schwierigkeitsgrad die Mög
lichkeit bieten, im Selbsttest innerhalb begrenzter Zeit seine Kenntnisse und Fertigkei
ten in den klassischen Gebieten der Finanzmathematik zu überprüfen (etwa durch
Simulation der KlausursituationzuHause oder in einer Lerngruppe).
Viele Aufgaben (im thematischen Teil der Übungssammlung) stammen aus dem Lehr
buch "Einführung in die Finanzmathematik" 1. Der Lösungsteil dieses Übungsbuches
dient daher gleichzeitig als Lösungsbuch für die im Lehrbuch enthaltenen Übungsauf
gaben (und ist auch als Lösungsbuchfürf rühere Auflagen des Lehrbuches geeignet).
Das hiermit in 7. Auflage vorliegende Übungsbuch wurde sorgfaltig durchgesehen,
ergänzt, verbessert und wesentlich erweitert durch nunmehr ausführliche Lösungshin
weise zujeder Problemstellung.
Die klassische Finanzmathematik ist - abgesehen von einigen Randproblemen sowie
der notwendigen Beherrschung elementarmathematischen Kalküls -letzten Endes die
Lehre eines einzigen wesentlichen Grundprinzips, dessen Kenntnis und Anwendung
hinreichend für eine erfolgreiche Bewältigung der Finanzmathematik ist.
Dennoch gibt es unter nicht wenigen Studierenden zumindest anfangs offenbar Schwie
rigkeiten, dieses einzige Grundprinzip der (klassischen) Finanzmathematik (nämlich
das auf dem allgemeinen Verzinsungsvorgang beruhende Aquivalenzprinzip) in sol
chen Fällen anzuwenden, bei denen die gedankenlose Anwendung formelhafter Rezep
turen durch eine verbale, auf reale Vorgänge sich beziehende "verschleiernde" Pro
blemformulierung zunächst unmöglich erscheint.
Lehrbuch: Einführung in die Finanzmathematik, Vieweg+ Tcubncr Verlag, Wiesbaden,
11. Auflage 2011
VI Vorwort
Erfahrungsgemäß liegen die Hauptprobleme vieler Srndierender nicht so sehr in der Be
herrschung des formal-mathematischen Kalküls, sondern viehnehr in der passenden
Modellkonstruktion und sicheren Anwendung des fmanzmathematischen Grundprin
zips auf unterschiedliche oder auch nur unterschiedlich dargestellte Realprobleme. Da
her bietet diese Übungssammlung vielfach gleichartige Problemstellungen lediglich
unterschiedlich aufbereitet oder numerisch verändert - eben um auch für Bearbeiter,
die noch nicht den fmanzmathematischen "Durchblick" besitzen, genügend Übungs
material bereitzustellen nach dem Erfahrungssatz, demzufolge eine Erkenntnis auch
dadurch gewonnen werden kann, dass ein und diesseibe Sache mehrfach und mög
lichst von verschiedenen Seiten aus betrachtet wird.
Aus demselben Grund wurden die Problemstellungen innerhalb der einzelnen Kapitel
nicht immer streng nach sachlichen Gesichtspunkten geordnet. Eine derartige Aufga
benanordnung könnte schon allein aufg rund der logischen Ablauffolge Lösungsansät
ze liefern, die nicht mit dem gestellten Problem zusammenhängen und die dem Bear
beiter möglicherweise nicht vorhandene Eigenerkenntnisse vortäuschen.
Zum Gebrauch des Übungsbuches:
Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zusätzlich zu jeder Aufgabennum
mer ist in kursiver Schrift die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch an
gegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 5.35 (5.3.56)" um die laufende Aufgabe
35 aus Kapitel 5 dieses Übungsbuches und zugleich um die entsprechende Aufgabe
5.3.56 des Finanzmathematik-Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben von
Übungs-und Lehrbuch übereinstimmen, dürfte das Auffinden der entsprechenden Auf
gaben/Lösungen des Lehrbuches wenig problematisch sein.
*
Ein an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin.
Ein Cl an einer numerischen Lösung bedeutet, dass ein in der Aufgabe geforderter
Vorteilhaftigkeitsvergleich zugunsten der "lachenden" Alternative ausfallt.
Abkürzungen in eckigen Klammem, z.B. [Alt2], beziehen sich auf das Literaturver
zeichnis am Schluss des Buches.
Gelegentlich wird in diesem Übungsbuch auf entsprechende Passagen (Formeln, Defi
nitionen, Regeln, Tabellen, Beispiele, Abbildungen, Bemerkungen) des Lehrbuches
verwiesen, gekennzeichnet durch (z.B.) LB (7.4.7) oderLB Tab. 8.8.19 usw.
In einigen wenigen Fällen weicht die Aufgabenstellung einer Aufgabe dieses Übungs
buches von der entsprechenden Aufgabe des Lehrbuches geringfügig ab. Vor einer
zeitraubenden Fehlersuche sollten daher zuvor die Aufgabentexte verglichen werden.
Nahezu sämtliche Effektivzinsermittlungen (insbesondere in Kap. 5 und 6 sowie in
den Testklausuren) erfordern numerische Iterationsverfahren (etwa die Regula falsi)
zur Lösung der entsprechenden, teils recht komplexen Äquivalenzgleichungen. Ich
habe die iterativ gewonnenen Lösungen auf mehr als sechs Nachkommastellen genau
ermittelt und anschließend auf vier bis zwei Nachkommastellen gerundet.
Vorwort VII
Numerische Resultate wurden mit einem herkömmlichen elektronischen Taschemech
ner (Genauigkeit: 9-10 NachkommastelIen) ermittelt. Dabei wurden in aller RegelZwi
schenergebnisse mit voller Stellenzahl gespeichert und ungerundet weiterverarbeitet.
Lediglich das Endresultat wurde auf i.a. zwei bis vier Nachkommastellen gerundet.
Diese Vorgehensweise (sowie die Verwendung ungerundeter EjJektivzinssätze) kann
dazu fuhren, dass innerhalb von Tilgungsplänen oder Vergleichskontostaffelrechnun
gen gelegentlich geringfügige Abweichungen (in der letzten Dezimale) durch Runde
fehlerausgleich auftreten. Dies ist der Preis für exakt"aufgehende"Vergleichskonten.
Je nach Baujahr und Genauigkeit der vom Leser verwendeten Rechengeräte sowie
abhängig von der Anzahl bzw. Komplexität der Rechenschritte oder von der Rundung
von Zwischemesultaten können beim Bearbeiten leichte Abweichungen von den hier
angeführten numerischen Endergebnissen auftreten.
Sollten Sie gröbere Ungenauigkeiten, Ungereimtheiten oder schlicht den einen oder
anderen Fehler entdecken, so würde ich mich sehr über Ihre diesbezügliche Rückmel
dung freuen, z.B. via E-Mail: [email protected] werde jeder/jedem von Ihnen
antworten und in allen Fällen auch um eine schnelle Antwort bemüht sein.
Zum Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg+Teubner Verlag und hier besondere
Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch für ihre stets hilfreiche Unterstützung in den nun
schon vielen Jahren erfolgreicher Zusammenarbeit.
Aachen, im April 20 11 Jürgen Tietze
IX
Inhalt
Vorwort ............ . V
Abkürzungen, Variablennamen . X
I 11
Aufgaben Lösungen
1 191
Voraussetzungen und Hilfsmittel . . . . . . . . . 3 193
1. 1 Prozentreclmung . . . . . . . . . . . . . . . 3 193
1.2 Lineare Verzinsung und Äquivalenzprinzip . 11 198
1.3 Diskontreclmung .............. . 18 206
2 Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsreclmung) . 23 211
2.1 Reine Zinseszinsreclmung und Äquivalenzprinzip 23 211
2.2 Gemischte, unterjährige, stetige Verzinsung 27 216
2.3 Abschreibungen ..... 33 221
2.4 Inflation und Verzinsung. . . . . . . . . . . 38 225
3 Rentenreclmung.................. 41 227
3.1 Standardprobleme (Rentenperiode = Zinsperiode) . 41 227
3.2 Auseinanderfallen von Renten-und Zinsperiode . 54 242
3.3 Renten mit veränderlichen Raten . . . . . 62 250
4 Tilgungsreclmung................... 69 257
4.1 Standardprobleme der Tilgungsreclmung . . .. 69 257
4.2 Ti1gungsreclmung bei unterjährigen Zahlungen 77 271
5 Die Ermittlung des Effektivzinssatzes
in der Finanzmathematik .............. . 81 287
5.1 Grundlagen, Standardprobleme ........ . 81 287
5.2 Effektivzinsermittlung bei unterjährigen Leistungen. 90 300
6 Kurs-und Renditebereclmung
bei festverzinslichen Wertpapieren .......... . 101 333
7 Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept. . 107 341
8 Derivative Finanzinstrumente - Futures und Optionen 111 347
9 Investitionen.... 119 365
10 Testklausuren 1-22 131 375
Formelanhang . . 421
Literaturhinweise 429
x
Abkürzungen, Variablennamen
~ entspricht DM Deutsche Mark
%,0/00 Prozent, Promille 360TM 360-Tage-Methode
1 +i Zuwachsfaktor $ Dollar
I-i Abnahmefaktor
360TM 360-Tage-Methode e EulerscheZahl (~2,71828183)
96/7/1 Kreditkonditionen (Bsp.) € Euro
eff. effektiv
A (äquivalente) Annuität EG Europäische Gemeinschaft (EU)
A+,A- Aktie long, Aktie short et Investitionseinzahlung zum Ende
a.H. auf Hundert der Periode t
Abb. Abbildung etc. et cetera (und so weiter)
AG Aktiengesellschaft, Amtsgericht EV Endvermögen bei Investition
j
at Investitionsauszahlung zum EVu Endvermögen bei Unterlassung
Ende der Periode t evtl. eventuell
At Annuität am Ende der Periode t
G Gewinn
BEP Break Even Point Gc+ Gewinn der Long-Call-Position
Bsp. Beispiel (analog: Ge-,GI'+,Gp-,GA+,GA-)
bzw. beziehungsweise gern. gemäß
ggf. gegebenenfalls
c Dynamik-Faktor (~l +id)"l'); Quo- GL Gegenleistung
tient zwcier aufeinanderfolgender GmbH Gesellschaft mit beschränkter
Glieder einer geometrischen Folge Haftung
C'",C- long call, short call
Co (Emissions-) Kurs eines fest- H.l Halbjahr
verzinslichen Wertpapiers
Co Kapitalwert einer Investition Prozentsatz, Zinssatz
Co(i) Kapitalwertfunktion i* nomineller Zinssatz eines fest-
ca. circa, ungeflihr verzinslichen Wertpapiers
c.p. ceteris paribus I.a. im allgemeinen
r Rücknahmekurs eines festverzins- i.H. im Hundert
~n
lichen Wertpapiers äquivalenter Zinssatz
~äqu
Ct aktueller finanzmathematischer Id Tageszinssatz
Kurs (Preis) eines Weltpapiers idyn Steigerungsrate, Dynamikrate
Ct* aktueller Börsenkurs eines fest- Ieff Effektivzinssatz
verzinslichen Wertpapiers iH Halbjahreszinssatz
~iIrtl Inflationsrate
d Differenz zweier aufeinander konformer Zinssatz
~kon
folgender Glieder einer arithme- 1M Monatszinssatz
tischen Folge incl. inklusive (einschließlich)
D Duration inom nomineller Zinssatz
dCo (kleine) Kursänderung msg. insgesamt
d.h. das heißt Ip Periodenzinssatz
di (kleine) Zinssatzänderung IQ Quartalszinssatz
