Table Of ContentJürgen Tietze
Übungsbuch zur
angewandten
Wirtschaftsmathematik
Aus dem Programm---------_____
Mathematik
Analysis, Band 1
von E. Behrends
Analysis 1 und 2
von O. Forster
Einführung in die Analysis
von Th. Sonar
Lineare Algebra
von A. Beutelspacher
Lineare Algebra
von G. Fischer
Numerische Mathematik für Anfänger
von G. Opfer
Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
von J. Tietze
Einführung in die Finanzmathematik
von J. Tietze
Übungsbuch zur Finanzmathematik
von J. Tietze
Finanzmathematik für Einsteiger
von M. Adelmeyer und E. Warmuth
Mathematik zum Studienbeginn
von A. Kemnitz
vieweg ________________ _"
Jürgen Tietze
••
Ubungsbuch zur
angewandten
Wirtschafts
mathematik
Aufgaben, Testklausuren und Lösungen
4., korrigierte Auflage
~
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Jürgen Tietze
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Fachhochschule Aachen
Eupener Str. 70
52066 Aachen
[email protected]
1. Auflage April 2000
2., erweiterte Auflage Juni 2001
3., korrigierte Auflage Oktober 2002
4., korrigierte Auflage November 2003
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerlagjGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN 978-3-528-33146-7 ISBN 978-3-322-94268-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94268-5
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Vorwort zur 4.Auflage
Das vorliegende wirtschaftsmathematische ÜbWlgsbuch dient zweierlei Zielsetzung:
Zum einen soll es (als eigenständiges Übungsbuch) zur FestigWlg Wld Vertiefung des
wirtschaftsmathematischen Basiswissens Wld -könnens beitragen, zum anderen aber
auch (als Ergänzung meines Lehrbuches 1 zur angewandten Wirtschajismathematik)
die Examensvorbereitilllgen für Hörer Wld Hörerinnen der GrundvorlesWlgen in Wirt
schaftsmathematik Wlterstützen.
Die Aufgaben (erster Teil der Übungssammlung) stammen im wesentlichen aus dem
Lehrbuch Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. Der zweite Teil des
ÜbWlgsbuches (Lösungen) dient daher gleichzeitig als LösWlgsbuch für die Aufgaben
des Lehrbuches.
Die hiermit in 4. Auflage vorliegende ÜbWlgSSammlWlg wurde sorgfaItig durchge
sehen Wld verbessert. Sie enthält außer den thematisch angeordneten ÜbWlgen eine
Reihe von Test-oder ÜbWlgsklausuren. Sämtliche Testklausuren sind aus zweistündi
gen Original-Klausuren entstanden Wld sollen dem Studierenden neben Informationen
über Umfang Wld Schwierigkeitsgrad eine Möglichkeit bieten, im Selbsttest innerhalb
begrenzter Zeit seine Kenntnisse Wld Fertigkeiten im Bereich Wirtschaftsmathematik
zu überprüfen (etwa durch Simulation der Klausursituation zu Hause oder in einer
Lerngruppe). BemerkWlgen zu den AnfordefWlgen bei der Bearbeitilllg der Klausur
aufgaben fmden sich vor dem Klausurenteil Wld vor den LösWlgshinweisen zu den
Testklausuren.
Die Aufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Neben der Aufgabennummer ist
kursiv die entsprechende Aufgabennummer aus dem Lehrbuch (sofern die Aufgabe
dort vorhanden ist) angegeben. So handelt es sich etwa bei "Aufgabe 6.44 (6.3.70 ii)"
um die laufende Aufgabe 44 aus Kapitel 6 dieses ÜbWlgsbuches Wld zugleich um die
entsprechende Aufgabe 6.3.70 ii) des Lehrbuches. Da die Reihenfolgen der Aufgaben
von ÜbWlgS-Wld Lehrbuch übereinstimmen, dürfte das Auffmden der Aufgaben/Lö
*
sWlgen des Lehrbuches wenig problematisch sein. Ein an einer Aufgabe weist auf
einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin.
Alle im ÜbWlgsbuch auftretenden Verweise (z.B. Kap. 10.7.1, Beispiel 1 0.1.11 usw.)
beziehen sich auf das genannte Lehrbuch, gelegentlich einfach mit Lehrbuch oder ab
gekürzt mit LB bezeichnet.
Lehrbuch: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, Vieweg Verlag, Braunschweig,
Wiesbaden, 11. Auflage 2003
VI Vorwort
Die hohe Zahl von mehr als 1500 Teil-Aufgaben in über 375 Übungsteilen deutet da
rauf hin, dass es zu jedem (wirtschafis-) mathematischen Sachverhalt meist mehrere
unterschiedliche Übungsangebote gibt, so dass die Lernenden reichlich Gelegenheit
erhalten, die gleiche Sache mehrfach übend zu wiederholen, aus verschiedenen Blick
winkeln zu betrachten und somit zunehmend Sicherheit zu gewinnen.
Die Lösungshinweise (insbesondere für die Testklausuren) sind zumeist recht knapp
gehalten, damit der erst durch intensive Beschäftigung mit den Problemstellungen
erreichbare Lern-und Übungseffekt ermöglicht wird. Bei komplexeren Problemstel
lungen oder ökonomischen Interpretationen werden Hinweise und Erklärungen auch
ausführlicher gestaltet. Einleitend zu den Testklausur-Lösungshinweisen [mden sich
einige Ausführungen zum erwarteten Lösungs-Standard fiir den "Ernstfall ".
Sollten trotz intensiver eigener Anstrengung Fragen zur Problemlösung übrigbleiben
(oder sollten Sie meine - trotz aller Sorgfalt kaum zu vermeidenden - Böcke, Fehler
oder Ungereimtheiten aufspüren), bitte ich um kurze Rückmeldung, z.B. per E-Mail:
[email protected] - ich werde jeder/jedem von Ihnen antworten und in allen Fäl
len um schnelle Antwort bemüht sein.
Zum Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg-Verlag und hier besonders Frau Ulrike
Schmickler-Hirzebruch fiir ihre hilfreiche Unterstützung, der es mit zu verdanken ist,
dass mehr als zehn Jahre nach dem erstmaligen Erscheinen des Lehrbuches auch die
dazugehörigen Übungen/Lösungen im gleichen Hause erscheinen konnten.
Aachen, im Oktober 2003 Jürgen Tietze
VII
Inhalt
Vorwort V
Abkürzungen VIII
I Aufgaben 1
Grundlagen und Hilfsmittel . ............ 3
2 Funktionen einer unabhängigen Variablen ..... 19
3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. 41
4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . 43
5 Differentialrechnung fiir Funktionen mit einer
unabhängigen Variablen (Grundlagen und Technik) . 47
6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen
mit einer unabhängigen Variablen .......... 53
7 Differentialrechnung bei Funktionen mit
mehreren unabhängigen Variablen . 75
8 Einführung in die Integralrechnung . 93
9 Einführung in die lineare Algebra 103
10 Lineare Optimierung 109
11 Testklausuren 1-10 119
11 Lösungen 151
Grundlagen und Hilfsmittel . ............ 153
2 Funktionen einer unabhängigen Variablen . . . . . 171
3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. 195
4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . 197
5 Differentialrechnung fiir Funktionen mit einer
unabhängigen Variablen (Grundlagen und Technik) . 203
6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen
mit einer unabhängigen Variablen .......... 211
7 Differentialrechnung bei Funktionen mit
mehreren unabhängigen Variablen . 239
8 Einführung in die Integralrechnung . 263
9 Einführung in die lineare Algebra 271
10 Lineare Optimierung 279
11 Testklausuren 1-10 ........ 309
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323
VIII Abkürzungen, Variablennamen
Abkürzungen
BL Basislösung ME Mengeneinheit
BV Basisvariable Mio. Millionen (106)
bzgl. bezüglich Mrd. Milliarden (109)
c.p. ceteris paribus NB Nebenbedingung
DB Deckungsbeitrag NBV Nichtbasisvariable
DM Deutsche Mark NNB Nichtnegativitätsbe-
€ Euro dingung
f falsch p.a. pro Jahr
EE Energieeinheit q.e.d. quod erat demo n-
FE Faktoreinkommen strandum (~ W.z. b. w.)
GE Geldeinheit s. siehe
LE Leistungseinheit TDM tausend DM
LGS Lineares Gleichungs- T€ Tausend Euro
system w wahr
LO Lineare Optimierung w.z.b.w. was zu beweisen war
LB Lehrbuch (siehe Vorwort) ZE Zeiteinheit
Häufig verwendete Variablennamen
at, a(t) Auszahlung d. Periode t Ko Barwert (eines Kapitals)
A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) Kt Zeitwert (eines Kapitals
B Bestand; (zulässiger) Bereich im Zeitpunkt t)
C Konsum, Konsumsumme kv stückvariable Kosten
Co Kapitalwert Kv variable Kosten
e Eulersche Zahl L Lösungsmenge; Lagrange-
et, e(t) Einzahlung d. Periode t Funktion; Liquidationserlös
E Erlös, Umsatz, Ausgaben; ..1. Lagrange-Multiplikator
Einheitsmatrix p Preis; Zinsfuß
f: Elastizität q Zinsfaktor (= 1 +i)
g Stückgewinn r Input; Homogenitätsgrad; (ste-
gD Stückdeckungsbeitrag tiger)Zinssatz; Matrix-Rang
G Gewinn R Rate; Zahlungs strom
GD Deckungsbeitrag Rn Renten-Endwert
h Stunde(n) S Sparen, Sparsumme
i Zinssatz (= p/IOO) t Zeit
I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T Laufzeit
k Stückkosten U Nutzen(index); Umsatz
K Kosten; Kapital(input) x Nachfrage; Angebot;
kr stückfixe Kosten Output; Menge
Kr Fixkosten Y Einkommen; Sozialprodukt
Kn Endwert (eines Kapitals) Z Zielfunktion
Teil I
Aufgaben
1 Grundlagen und Hilfsmittel 3
1 Grundlagen und Hilfsmittel
Aufgabe 1.1 (1.1.11)2:
Geben Sie die Elemente der folgenden Mengen in aufzählender Form an:
i) A = Die Menge der Buchstaben des Namens "OTTO"
ii) B = {x E Z I x < 3} iii) C = {x E lN I 2 < x < 3 }
iv) D={XER.lx2=2} v) E={xElNlx+4=3}
vi) F= {z E R.I z2 + 36=25} vii) G= {y E R.I yLy=6}
Aufgabe 1.2 (1.1.12):
Zu welcher der Mengen lN, Z, Q, R. gehören die folgenden Zahlen?
1;
i) V4 ii) 0,333... iii) iv) R
v) 0 vi) 0,125 vii) v;+e
Aufgabe 1.3 (1.1. 33):
i) In welchen Fällen handelt es sich um Aussagen, in welchen Fällen um Aussage
formen?
a) x2 + 1 = 1 + x2 b) A + B = 1
c) 4+1=0 d) os02+V4-1
e) x+y=4 f) y=x2 + 1
1
g) '0=0 h) 2 ist Lösung von x > 4
i) a2 + b2
ii) Man gebe die Lösungsmengen folgender Aussageformen an. Welche Aussage
formen sind allgemeingültig, welche unerfüUbar? (Grundmenge: IR)
a) x2=49 b) p2~0 c) Ox=5x
d) (y+l)(y+2)=0 e) 0+x=5+x f) 2z+1=1+2z
g) P ist eine gerade Primzahl; pE lN
2 Die geklammerte Nummerierung bezieht sich auf die entsprechende Aufgabe im Lehrbuch"Einfüh
rung in die angewandte Wirtschaftsrnathernatik", siehe Erläuterungen im Vorwort.
J. Tietze, Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
