Übungsbuch zur Analysis: Aufgaben und Lösungen

166 Pages·1995·3.92 MB·German

by  Prof. Dr. Otto Forster, Rüdiger Wessoly (auth.)

Otto Forster
Rüdiger Wessoly
Übungsbuch zur Analysis 1
vieweg studium
Grundkurs Mathematik
Diese Reihe wendet sich an Studierende der mathematischen,
naturwissenschaftlichen und technischen Fächer. Ihnen - und
auch den Schülern der Sekundarstufe lI-soll die Vorereitung auf
Vorlesungen und Prüfungen erleichtert und gleichzeitig ein Ein
blick in die Nachbarfächer geboten werden. Die Reihe wendet sich
aber auch an den Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingeni
eur in der Praxis und an die Lehrer dieser Fächer.
Zu der Reihe vieweg studium gehören folgende Abteilungen:
Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs Mathematik, Physik
atto Forster
Rüdiger Wessoly
••
Ubungsbuch
zur Analysis 1
Aufgaben und Lösungen
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
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Prof. Dr. Otto Forster
Ludwig-Maximilians-Universität München
Mathematisches Institut
Theresienstraße 39
80333 München
E-mail: [email protected]
World-Wide-Web: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/-forster/
I. Auflage 1995
3 Nachdrucke
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden,
1995
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-07261-2 ISBN 978-3-322-93979-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93979-1
v
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
I Aufgaben 1
§ I. Vollständige Induktion 3
§2. Die Körperaxiome . 5
§3. Anordnungsaxiome .. 8
§4. Folgen, Grenzwerte . . 9
§5. Das Vollständigkeitsaxiom . 12
§6. Quadratwurzeln . . . . . . 13
§7. Konvergenzkriterien für Reihen 15
§8. Die Exponentialreihe. 17
§9. Punktmengen ....... . 18
§ 10. Funktionen, Stetigkeit . . . . 20
§ 11. Sätze über stetige Funktionen 21
§ 12. Logarithmus und allgemeine Potenz 23
§ 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen . 26
§ 14. Trigonometrische Funktionen . . . . . . 27
§ 15. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 29
§16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität 31
§17. Numerische Lösung von Gleichungen 33
§18. Das Riemannsche Integral ........ . 35
§ 19. Integration und Differentiation . . . . . . . 37
§20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion 42
§21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 44
§22. Taylor-Reihen . , 45
§23. Fourier-Reihen 46
11 Lösungen 49
§ 1. Vollständige Induktion 51
§2. Die Körperaxiome . 57
§3. Anordnungsaxiome .. 62
VI Inhaltsverzeichnis
§4. Folgen, Grenzwerte .. . . 66
§5. Das Vollständigkeitsaxiom . 70
§6. Quadratwurzeln . . . . . . 76
§7. Konvergenzkriterien für Reihen 82
§8. Die Exponentialreihe. 88
§9. Punktmengen ....... . 91
§ 10. Funktionen, Stetigkeit . . . . 94
§ 11. Sätze über stetige Funktionen 98
§ 12. Logarithmus und allgemeine Potenz 100
§ 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen . 106
§ 14. Trigonometrische Funktionen . . . . . . 109
§ 15. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität 124
§ 17. Numerische Lösung von Gleichungen 131
§ 18. Das Riemannsche Integral . . . . . . . . . 140
§ 19. Integration und Differentiation . . . . . . . 143
§20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion 149
§21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 151
§22. Taylor-Reihen . 153
§23. Fourier-Reihen ................ . 157
VII
Vorwort
Seit dem Erscheinen meines Buches Analysis I sind wiederholt Anfragen ge
kommen, doch Lösungen zu den Übungsaufgaben herauszugeben. Ich stand
dem immer skeptisch gegenüber. Das Lösen von Übungsaufgaben zu den
Anfängervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik-Stu
diums. Das Vorliegen von schriftlichen Lösungen verführt aber dazu, es selbst
nicht hart genug zu versuchen und zu früh in den Lösungen nachzuschauen.
Außerdem kann eine gedruckte Lösung nicht die Besprechung der Aufgaben
in einer Übungsgruppe ersetzen, in der der Tutor (im allerdings nicht immer
erreichten Idealfall) auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten und die ge
machten Fehler eingehen und bei Verständnisschwierigkeiten individuell helfen
kann.
Andererseits ist der Bedarf an Übungsmaterial mit nachprüfbaren Lösungen
für das Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen) nicht von der Hand
zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Kompromiß
versucht: Zu ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet und es
wurden auch neue Aufgaben hinzugefügt, so daß genügend viele ungelöste
Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben.
Alle Aufgabentexte (einschließlich der aus dem Buch Analysis I übernomme
nen) sind im 1. Teil des Aufgabenbuches abgedruckt. Zu den mit Stern ver
sehenen Aufgaben stehen Lösungen im 2. Teil, manchmal auch nur Hinweise
oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse. In keinem Fall sind die angegebe
nen Lösungen als alleingültige Muster-Lösungen zu betrachten. Zu fast allen
Aufgaben gibt es mehrere Lösungswege und es ist oft nur eine Frage des Ge
schmacks, welchen Weg man wählt. Auch sind sicherlich noch einige Lösungen
mit mehr oder weniger schweren Fehlern (von Druckfehlern und Versehen bis
zu logischen Fehlern) behaftet. Der Student mag sich damit trösten, daß nicht
nur ihm, sondern auch dem Dozenten für manche Lösungen der Übungsaufga
ben Punkte abgezogen würden.
Die Arbeit an diesem Buch habe ich zusammen mit meinem langjährigen
Assistenten an den Universitäten Münster und München, Dr. Rüdiger Wessoly
begonnen. Die gemeinsame Arbeit wurde auch nach seinem Ausscheiden aus
der Universität, als er für eine von ihm selbst mitbegründete Software-Firma
vrn Vorwort
arbeitete, fortgesetzt. Noch vor der Fertigstellung des Manuskripts ist Herr
Wessoly plötzlich und unerwartet verstorben. Seinem Andenken sei dieses
Buch gewidmet.
Zu danken habe ich auch Herrn Thomas Szymczak (Dinslaken), der selbständig
ein Lösungsbuch zur Analysis 2 erarbeitet hat und der sich bereit erklärt hat,
das Manusskript zum vorliegenden Buch in Jb.Tp' zu setzen und dabei manche
Fehler und Unebenheiten aus dem Text eliminiert hat. Nicht zuletzt verdankt
das Buch sein Erscheinen dem beharrlichen und unermüdlichen Einsatz von
Frau U. Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag.
München, Februar 1995 Otto Forster
Teil I
Aufgaben
3
§ 1. Vollständige Induktion
Aufgabe 1 A.· Seien n, k natürliche Zahlen mit n ~ k. Man beweise
Aufgabe 1 ß. Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert
rr
(x) := k x - j + 1 = x(x - 1) ..... (x - k + 1)
k j k!'
]=1
also insbesondere
(~)
= l.
Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen k
G).
(k:l)
G:~)
+
a) =
(~x) =(-l)ke+~-l).
b)
(:k: Ckk
Xl) ~ Xl).
c) = -
c..
Aufgabe 1 Man beweise für alle reellen Zahlen x, y und alle n E N
Aufgabe 1 D. Man beweise für alle reellen Zahlen x, y und alle n E N
Aufgabe 1 E. Man zeige: Für alle n E N gilt