Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Wolfg ang Domschke . Andreas Drexl
Birgit Schildt . Armin Scholl
Stefan Voß
Übungsbuch
Operations Research
Zweite, durchgesehene Auflage
, Springer
Professor Dr. Wolfgang Domschke
Technische Hochschule Darmstadt, Institut für Betriebswirtschaftslehre
Fachgebiet Operations Research, Hochschulstraße 1, D-64289 Darmstadt
Professor Dr. Andreas Drexl
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, Lehrstuhl für Produktion und
Logistik, Olshausenstraße 40, D-24118 Kiel
Dr. Birgit Schildt
Dieburger Straße 85, D-64287 Darmstadt
Dr. Armin Scholl
Technische Hochschule Darmstadt, Institut für Betriebswirtschaftslehre
Fachgebiet Operations Research, Hochschulstraße 1, D-64289 Darmstadt
Professor Dr. Stefan Voß
Technische Universität Braunschweig, Abteilung Allgemeine Betriebswirt
schaftslehre, Wirtschaftsinformatik und Informationsmanagement
Abt-Jerusalem-Straße 7, D-38106 Braunschweig
ISBN 978-3-540-62350-2
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
übungsbuch Operations-Research/Wolfgang Domschke ... - Berlin; Heidelberg; New York;
Barcelona; Budapest; Hong Kong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio:
Springer, 1997
ISBN 978-3-540-62350-2 ISBN 978-3-662-10664-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-10664-8
NE: Domschke, Wolfg ang
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I(;) Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995, 1997
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1997
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ren und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Design & Production, Heidelberg
SPIN 10547070 42/2202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier
V orwort zur 2. Auflage
Ein Jahr nach Erscheinen der ersten Auflage des vorliegenden übungsbuches sind wir sehr
erfreut, daß wir aufgrund der großen Nachfrage bereits eine zweite Auflage vorbereiten dürfen.
Gegenüber der ersten Auflage wurden einige kleinere Fehler und Ungenauigkeiten beseitigt,
auf die wir dankenswerterweise von Studierenden und Kollegen aufmerksam gemacht worden
sind.
Die im Vorwort zur ersten Auflage ap.gesprochene Lernsoftware ist inzwischen zu einem Pro
grammpaket mit Namen TENOR (Tutorial Environment for Operations Research) angewach
sen. Es enthält derzeit drei Lernprogramme zur linearen Optimierung (UNO), zur Graphen
theorie (GRAPPA) und zur ganzzahligen und kombinatorischen Optimierung mit Branch &
Bound (BABE). Neue Versionen sowie weitere Applikationen zur Netzplantechnik, zu Heu
ristiken für das Traveling Salesman -Problem, zu Tabu Search und zur Simulation von
Warteschlangensystemen sind in Entwicklung. Aktuelle Informationen zu den Produkten und
Bestellhinweise sind im World Wide Web unter folgender Adresse an der Technischen
Hochschule Darmstadt abzurufen:
" http://www.bwl.th-darmstadt.de/bw13/forsch/projekte/tenor/index.htm. .
Darmstadt / Kiel / Braunschweig, im Oktober 1996 W ol/gang Domschke
Andreas Drexl
Birgit Schildt
Armin Scholl
Ste/an Voß
Vorwort zur 1. Auflage
Was lange währt, wird endlich gut (hoffentlich): Nach mehrjährigem Vorlauf liegt das
"übungsbuch Operations Research" nun vor. Der Fertigstellung ging eine lange Zeit des
Bastelns und Modifizierens von Aufgaben und Lösungen voraus. Generationen von Studenten
in Hamburg, Darmstadt, Kiel und Braunschweig haben das Entstehen von zahlreichen
Aufgaben sowie das Werden und Vergehen von unzähligen Rechen- und Tippfehlern sowie
sonstigen Inkonsistenzen miterlebt.
VI Vorwort
Dieses Ubungsbuch wurde primär als begleitender Text für Vorlesungen, übungen und
Tutorien konzipiert, die als Basislektüre das Lehrbuch "Einführung in Operations Research"
der beiden erstgenannten Autoren verwenden. Selbstverständlich ist es als Ubungsbuch auch
dann geeignet, wenn ein anderes Lehrbuch zugrundeliegt. Es deckt den Stoff einer zwei- bis
dreistündigen Einführungsveranstaltung ab. Zu jedem Kapitel finden sich Aufgaben, die
grundlegende Methoden behandeln. Einige Aufgaben erweitern und vertiefen darüber hinaus
spezielle Fragestellungen, die im Lehrbuch nur knapp behandelt werden.
Ein spezieller Dank geht an die akademischen Lehrer eines der Autoren, deren Ubungen zum
Operations Research konkrete Vorlagen bzw. Anregungen für einige Aufgaben gegeben haben.
Ein herzliches Dankeschön für zahlreiche Anregungen und Verbesserungsvorschläge gilt ferner
Frau Dipl.-Kfm. Anita Amberg und Frau Dipl.-Math. Gabriela Krispin sowie den Herren
Prof. Dr. Gabriel Bazacliu, Dr. Carsten Jordan, Dipl.-Wirtsch.-Inf. Robert Klein, Dr. Rainer
Kolisch und Dr. Arno Sprecher.
Der Vielzahl an Autoren und Ratgebern steht eine umfangreiche Stoffülle gegenüber. Somit
können wir nicht ausschließen, daß der eine oder andere sachliche Fehler verblieben ist.
Sollten Sie diesbezüglich fündig werden und uns die festgestellten Fehler als erste(r) mitteilen,
so erhalten Sie die jeweils aktuelle Version einer derzeit in Entwicklung befindlichen Lernsoft
ware sowie eine Korrekturliste, auf der - Ihr Einverständnis vorausgesetzt - Ihr Name
genannt wird.
Darmstadt / Kiel / Braunschweig, im Juni 1995 Wolfg ang Domschke
Andreas Drexl
Birgit Schildt
A rmin Scholl
Stefan Voß
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ............................................................... v
Symbolverzeichnis ....................................................... IX
Kapitell: Einführung - Modellbildung
Aufgaben .......................................................... 1
Lösungen.......................................................... 4
Kapitel 2: Lineare Optimierung
Aufgaben.......................................................... 9
Lösungen .......................................................... 19
Kapitel 3: Graphentheorie
Aufgaben .......................................................... 55
Lösungen .......................................................... 60
Kapitel 4: Lineare Optimierungsprobleme mit spezieller Struktur
Aufgaben .......................................................... 70
Lösungen .......................................................... 76
Kapitel 5: Netzplantechnik
Aufgaben .......................................................... 95
Lösungen .......................................................... 100
Kapitel 6: Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung
Aufgaben .......................................................... 109
Lösungen .......................................................... 118
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 7: Dynamische Optimierung
Aufgaben ..••••..••......••..••....••....•.......••....••...••••••• 143
Lösungen .......................................................... 147
Kapitel 8: Nichtlineare Optimierung
Aufgaben ••..•.••..••..•..••...•.••....•........•.........••.•...•. 157
Lösungen .......................................................... 161
Kapitel 9: Warteschlangentheorie
Aufgaben .......................................................... 171
Lösungen .......................................................... 172
Kapitel 10: Simulation
Aufgaben .......................................................... 174
Lösungen .......................................................... 177
Uteraturverzeicbnis ...................................................... 182
Symbolverzeichnis
definitionsgemäß gleich (Wertzuweisung in Verfahren)
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der reellen bzw. der nichtnegativen reellen Zahlen
Menge der ganzen bzw. der nicht negativen ganzen Zahlen
leere Menge
00 unendlich; wir definieren 00 ± p : = 00 für p E IR
i E 1 i ist Element der Menge 1
HJ 1 ist Teilmenge von J (I c J: 1 ist echte Teilmenge von J)
luJ Vereinigung der Mengen 1 und J
t:X-+1R Abbildung, die jedem Element von X einen Wert aus IR zuordnet
min {a. . 1i = 1, ... ,m} Minimum aller a1.,a2., ... ,a .
IJ J J mJ
1151, 1I1 Absolutbetrag von 15, Mächtigkeit der Menge 1
A = (a. . ) Koeffizientenmatrix
IJ
b = (b1, ... ,bm) Vektor der rechten Seiten
C = (C1, ••• ,Cn) Vektor der Zielfunktionskoeffizienten
C. . = c(i,j) = C [i,j] Kosten (Länge, Zeit etc.) auf Pfeil (i,j) bzw. auf Kante [i,j]
IJ
C(W) Länge des Weges w
C(G) = (C .. ) Kostenmatrix des Graphen G
IJ
E Kanten -oder Pfeilmenge
F(.) etwa F(x), verwendet für Zielfunktionswert
G = [V,E] ungerichteter, unbewerteter Graph
G = (V,E) gerichteter, unbewerteter Graph
G = (V,E,c) gerichteter Graph mit Kostenbewertung c
GE Geldeinheiten
Grad des Knotens i (in ungerichteten Graphen)
Anzahl der Restriktionen
M hinreichend große Zahl für fiktive Bewertungen
ME Mengeneinheit (en)
n Anzahl der Variablen
K(i) Menge der Nachfolger des Knotens i
NB(i) Menge der Nachbarn des Knotens i
S[1..n] eindimensionales Feld der Länge n
T Baum
V Knotenmenge
V(i) Menge der Vorgänger des Knotens i
x wird vorwiegend als Vektor von Variablen X .• ,
IJ
etwa (xll,x12, ... ,xmn)' verwendet
ZE Zeiteinheiten
'lf Gradient der Funktion f
Kapitell: Einführung - Modellbildung
Aufgabe 1.1:
In vielen Zeitungen/Zeitschriften findet man in der Rubrik "Logelei" Knobeleien, zu deren
Lösung man Methoden des Operations Research einsetzen kann. Wir betrachten ein Beispiel
für eine derartige AufgabensteIlung.
Gegeben sei folgende Liste von Buchstabenkombinationen:
ADV AFT BET BKS CCW CIR DER DIP EAT EGO FAR FIN GHQ
GOO HAT HOl HUG ION lVE JCS JOE KEN KKK LIP LYE MOL
MTG NES NTH OlL OSF PIP PRF QMG QUE ROE RUG STG SIP
TUE TVA UTE VIP WHO XIN YES ZIP
Jeder einzelne Buchstabe entspricht einer bestimmten Zahl (aufsteigend dem Alphabet
folgend):
A - 1, B - 2, C - 3, D - 4, E - 5, F - 6, G - 7, H - 8, I - 9, J - 10, K - 11, L - 12, M - 13,
N - 14, 0 - 15, P - 16, Q - 17, R - 18, S - 19, T - 20, U - 21, V - 22, W - 23, X - 24,
Y -25, Z -26
Aus der Liste der Buchstabenkombinationen sind genau acht so auszuwählen, daß für sie fol
gende Eigenschaften erfüllt sind:
• Die Summe der Werte der jeweils ersten Buchstaben muß kleiner sein als die Summe der
Werte der jeweils zweiten Buchstaben.
• Die Summe der Werte der jeweils ersten Buchstaben muß kleiner sein als die Summe der
Werte der jeweils dritten Buchstaben.
a) Formulieren Sie ein mathematisches Modell mit der Zielsetzung: Maximiere die Summe
aller Buchstabenwerte der acht ausgewählten Buchstabenkombinationen. (Hinweis:
Verwenden Sie für jede Buchstabenkombination eine Binärvariable. Für die einzelnen
Werte der Buchstabenkombinationen können ggf. geeignete Parameter definiert werden.)
b) Der optimale Zielfunktionswert des obigen Problems ist 330. Es könnte jedoch mehrere
optimale Lösungen mit diesem Zielfunktionswert geben. Modifizieren oder ergänzen Sie Ihr
Modell so, daß Sie unter allen Lösungen mit dem optimalen ZieIfunktionswert von 330 eine
Lösung erhalten, für die die Summe der jeweils ersten Buchstabenwerte maximal ist.
c) Eine optimale Lösung des Problems unter b) ergibt für die jeweils ersten Buchstabenwerte
den Wert 108, für die jeweils zweiten Buchstabenwerte den Wert 113 und für die jeweils
dritten Buchstabenwerte den Wert 109. Kann es noch weitere optimale Lösungen mit dem
Wert von 330 insgesamt, von 108 für die jeweils ersten Buchstabenwerte und von mehr als
114 für die jeweils zweiten Buchstabenwerte geben? (Begründung)
W. Domschke et al., Übungsbuch Operations Research
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997
