Übungen zur Algebra: Aufgaben - Lösungen - Probeklausuren

241 Pages·2014·2.15 MB·German

by  Clemens Fuchs

Aufbaukurs Mathematik
Clemens Fuchs
Gisbert Wüstholz
Übungen
zur Algebra
Aufgaben – Lösungen – Probeklausuren
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegebenvon
Prof.Dr.MartinAigner,FreieUniversitätBerlin
Prof.Dr.PeterGritzmann,TechnischeUniversitätMünchen
Prof.Dr.VolkerMehrmann,TechnischeUniversitätBerlin
Prof.Dr.GisbertWüstholz,ETHZürich
InderReihe„AufbaukursMathematik“ werdenLehrbücherzuklassischenundmodernen
Teilgebieten derMathematikpassendzudenStandardvorlesungendesMathematikstudi-
umsabdemzweitenStudienjahrveröffentlicht.DieLehrwerkesinddidaktischgutaufbe-
reitetundführenumfassendundsystematischindasmathematischeGebietein.Siestellen
diemathematischenGrundlagenbereitundenthaltenvieleBeispieleundÜbungsaufgaben.
ZielgruppesindStudierendederMathematikallerStudiengänge,sowieStudierendederIn-
formatik,NaturwissenschaftenundTechnik.AuchfürStudierende,diesichimLaufedes
StudiumsindemGebietweitervertiefenundspezialisierenmöchten,sinddieBüchergut
geeignet. DieReiheexistiert seit1980undenthältvieleerfolgreicheKlassikerinaktuali-
sierterNeuauflage.
⋅
Clemens Fuchs Gisbert Wüstholz
Übungen zur Algebra
Aufgaben - Lösungen - Probeklausuren
Prof.Dr.ClemensFuchs Prof.Dr.GisbertWüstholz
UniversitätSalzburg ETHZürich
Salzburg,Österreich Zürich,Schweiz
[email protected] [email protected]
ISBN978-3-8348-1962-8 ISBN978-3-8348-8679-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-8679-8
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PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
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Vorwort
Eine reiche und interessante Aufgabensammlung ist immer ein kostbarer Schatz,
der dazu dient, komplexe Sachverhalte an treffenden Beispielen zu illustrieren. Den
Übungsaufgaben fällt die Rolle zu, den Stoff näher zu bringen, und die Beschäfti-
gungmitihnenfördertundvertieftdasVerständnisdesErlernten.EineLösungeiner
Aufgabe gefunden zu haben, manchmal erst nach Stunden, vermittelt das befriedi-
gende Gefühl, die zugrunde liegende Theorie verstanden zu haben und anwenden
zu können. Oftmals ist es aber auch einfach schön, sich einer mathematischen Her-
ausforderung zu stellen und diese zu bewältigen. Gerade in der Algebra, die auf
sehr strukturellen und axiomatischen Konzepten beruht, hat man oftmals mit nicht
unerheblichen Anfangsschwierigkeiten zu kämpfen. Daher sind geeignete Übungs-
aufgabeneinAundO,denschwierigenBeginnzubewältigen.Seitehundjegehörte
die Algebra zu den Pflichtveranstaltungen in der Mathematik und Physik. Im Zuge
der mehrfach an der ETH Zürich abgehaltenen Lehrveranstaltungen Algebra I und
Algebra II haben die Autoren über Jahre hinweg eine umfangreiche Sammlung an
Übungsaufgaben samt ausführlichen Lösungen zusammengetragen. Diesen Fundus
wollenwir mitdiesemBucheinem größerenKreisvonInteressentenzugänglichma-
chen. Es ist uns ein Anliegen dazu beitragen zu helfen, die faszinierende Welt der
Abstraktion, der man in der Algebra auf so pure Weise begegnet, durch Übungen
etwasnäherzubringen.
Die Aufgaben in den einzelnen Kapiteln sind jeweils in thematische Gruppen (sic!)
eingeteilt.DiesenwerdenschlagwortartigdiewichtigstenSchwerpunktederzugehö-
rigen Theorie vorangestellt. Das bietet Hilfestellung einerseits zum Lösen der Auf-
gaben, andererseits aber auch um geeignete Aufgaben zu ausgewählten Themenbe-
reichen zu finden. Gelegentlich wird die eine oder andere Definition ins Gedächtnis
zurückgerufen.WirrichtenunsdabeinachdemAlgebra-Buch[7],dasdeneingangser-
wähntenVorlesungenzugrundelag.Diesewaren4-stündigmit2-stündigenÜbungen
aufBachelorstufeundwarenübereinenZeitraumvonzweiSemesternangelegt,typi-
scherweise im zweiten Studienjahr. Eine Reihe von Aufgaben im vorliegenden Buch
entstammt dem Algebra-Buch. Viele andere kommen dort nicht vor, sodass die Auf-
gabensammlung auch sehr gut mit anderen Lehrbüchern verwendet werden kann.
Insgesamt dient sie als Trainingsbuch für eine einführende Lehrveranstaltung in Al-
gebra. Für die Theorie verweisen wir auch auf [1] sowie auf [2], [3] und [6]; diese
Quellen dienten uns zur Inspiration für die eine oder andere Aufgabe. Den notwen-
digen Hintergrund aus der linearen Algebra findet man beispielsweise im Buch von
G. Fischer [4] oder auch im Buch von H. Havlicek [5]; diese Texte waren unter an-
derem Grundlage für Vorlesungen über lineare Algebra, welche die Autoren an der
vi
ETHZürichabgehaltenhaben.Wir habeneinigewenigeAufgabenausdenÜbungen
zudiesenVorlesungenübernommen.
Natürlich kann es sich bei jeder Aufgabensammlung nur um eine kleine und per-
sönlich gefärbte Auswahl handeln. Vieles wird nicht oder nur am Rande berührt. So
behandeln wir beispielsweise keine Verbände oder Booleschen Algebren und auch
keine AspektederuniversellenAlgebra,wirgehenauchnichtaufThemenderKom-
mutativenAlgebraoderaufAnwendungeninder(algebraischen)Zahlentheorieoder
der (algebraischen) Geometrie ein; stattdessen haben wir uns ganz auf die Grund-
pfeilerderAlgebrabeschränkt,nämlichdieTheoriederGruppen,Ringe,Körper(mit
Galois-Theorie),undhabenunslediglicheinenkleinenAbstecherindieDarstellungs-
theorie von Gruppen erlaubt. Manche Aufgaben sind relativ einfach und dienen als
“warming-up”. Ihre Lösungen ergeben sich durch sorgfältiges Abarbeiten der zu-
grunde liegenden Begriffe und Definitionen. Dies bereitet erfahrungsgemäß am An-
fangdesStudiumsschongenügendSchwierigkeiten,wirdspäterjedochzurRoutine.
Andere Aufgaben sind trickreich und verstehen sich als Herausforderung für Am-
bitionierte. Sie sind vor allem für Schatzsucherinnen und -sucher gedacht. Es bleibt
notfalls immer noch die Möglichkeit, vom Aufgaben- in den Lösungsteil zu wech-
seln,umdemdortvorgeschlagenenWegzueinerLösungzufolgen,dernichtimmer
zwingendseinmuss.
DankgebührtdenÜbungsassistentinnenbzw.-assistentenunsererLehrveranstaltun-
gensowieengagiertenStudierenden,dieunsaufFehleraufmerksamgemachthaben;
alle weiteren noch vorhandenen Fehler und Ungenauigkeiten gehen selbstverständ-
lichzuLastenderAutoren.WirbedankenunsauchbeiPatrikHubschmid,dereinige
der hier aufgeführten Lösungen beigesteuert hat. Von Ulrike Schmickler-Hirzebruch
vom Springer Spektrum-Verlagerhielten wir wertvolle Unterstützung bei der redak-
tionellenÜberarbeitungdieserAufgabensammlung.
ClemensFuchs
GisbertWüstholz
SalzburgundZürich, 22.08.2013
Zum Geleit
UnsereAufgabensammlungistin fünfGruppenunterteilt. Wir beginnenmit einigen
grundlegenden Aufgaben zu Abbildungen und Relationen, anschließend beschäfti-
gen wir uns mit Gruppen, Ringen und Körpern sowie in einem abschließenden Ka-
pitelmitDarstellungenvonendlichenGruppen.
IndenAufgabenzurGruppentheorie wirdeinbesondererSchwerpunktaufAnwen-
dungen der Sylowschen Sätze (Aufgaben 83 bis 93), des Satzes von Jordan-Hölder
(Aufgaben94bis103)sowiedesStruktursatzesüberendlich-erzeugteabelscheGrup-
pen(Aufgaben104bis114)gelegt.Eine ReihevonAufgabenbefassensichmitGrup-
penaktionen, die schon sehr früh eingeführtwerden;viele Betrachtungenführenwir
anhand der hier wichtigsten Beispiele, die symmetrische Gruppe S und die allge-
n
meinelineareGruppeGL ,durch.
n
Im Kapitel über Ringe gibt es neben den naheliegenden Aufgaben zu Idealen, Fak-
torringenundzurTheoriederkommutativenRingeaucheinenSchwerpunktzurLo-
kalisierung von Ringen (Aufgaben154bis 158),zu Hauptidealringen,zu faktoriellen
und euklidischen Ringen (Aufgaben159bis 163) sowie einen großen Aufgabenblock
zuPolynomen undPolynomringen (Aufgaben165bis190).
InderTheoriederKörperwerdendanachunteranderemderBegriffdesGradeseiner
KörpererweiterungsowiedieEigenschaftenendlich,algebraisch,transzendent,sepa-
rabel,inseparabel, normal und galois genauer unter die Lupe genommen (Aufgaben
191 bis 234).Es folgt ein gewichtiger Schwerpunkt mit Aufgabenzur Galois-Theorie
(Aufgaben235 bis 263); hier werden wir auch die Galoisgruppe und dann sämtliche
UnterkörperdesZerfällungskörpersvoneinigenPolynomenineinerFolgevonetwas
umfangreicherenAufgabenbestimmen.
In den Aufgaben zur Darstellungstheorie wenden wir uns abschließend unter ande-
remauchdenCharakterenvonDarstellungenzu(Aufgaben275bis280).
Im ersten Teil, der die Aufgaben enthält, sind die einzelnen Aufgabenblöcke mit ei-
nemkurzeneinleitendenTextversehen,damitmansichaufdieAufgabeneinstimmen
kannwieesjaindenÜbungenzueinerVorlesungderFallist.Wirgebenauchjeweils
eine kurze Zusammenfassung der notwendigen Theorie, die im Allgemeinen aus ei-
nemVerweisaufdie entsprechendenKapitelin [7] besteht. Diese Bemerkungensind
kursivgesetzt.
Im zweitenTeil geben wir dann ausführliche Lösungen zuden Übungsaufgabender
einzelnen Kapitel. Wir haben dabei die Unterteilung vom ersten Teil übernommen.
Kommentare, Warnungen und Bemerkungen haben wir direkt in die Lösungen ein-
viii
gearbeitet. Gelegentlich bieten wir auch mehr als nur eine Lösung an. In manchen
Aufgaben führen wir nicht alle Details aus, da sie oft noch an anderer Stelle behan-
delt werden. Bei anderen Aufgaben hingegen gehen wir aber auch sehr detailreich
vor.SowirdjeweilsdemaktuellenKenntnisstand ambestenRechnung getragen.
Zum Schluss haben wir noch sechs Probeklausuren angefügt, um die Gelegenheit
zu bieten, die Fertigkeit über das Erlernte überprüfen zu können. Auch in diesem
Abschnitt führen wir vollständige Lösungen aus, die unmittelbar an die jeweils vier
Aufgabenanschließen.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Zum Geleit vii
Inhaltsverzeichnis ix
I. Aufgaben 1
I.1Grundlegendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3Ringtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.4KörperundGalois-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.5DarstellungenvonendlichenGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II. Lösungen 41
II.1Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.2Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.3Ringtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
II.4KörperundGalois-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
II.5DarstellungenvonendlichenGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
III. Probeklausuren 207
Probeklausur 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Probeklausur 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Probeklausur 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Probeklausur 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Probeklausur 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Probeklausur 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Index 227
Literaturverzeichnis 231