Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie

558 Pages·2017·6.43 MB·German

by  Fridtjof Toenniessen (auth.)

Fridtjof Toenniessen
Topologie
Ein Lesebuch von den elementaren
Grundlagen bis zur Homologie
und Kohomologie
Topologie
Fridtjof Toenniessen
Topologie
Ein Lesebuch von den elementaren
Grundlagen bis zur Homologie und
Kohomologie
Fridtjof Toenniessen
Stuttgart, Deutschland
ISBN 978-3-662-54963-6 ISBN 978-3-662-54964-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-54964-3
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Vorwort
Nach einer kurzen Einleitung über die Grundbegriffe der elementaren Topologie
wird in dieser Einführung hauptsächlich die algebraische Topologie behandelt,
mit einer Betonung auf Mannigfaltigkeiten. Vom Inhalt her ähnelt das Werk den
klassischen Lehrbüchern über diese Gebiete, die Präsentation und der Schreibstil
unterscheiden sich aber zum Teil erheblich davon. Ich möchte das erklären und
kurz über die Entstehung des Buches berichten.
ZunächstwaresalseineArtLesebuchgeplant,indemmehrereGebietederreinen
Mathematikaufje40–50Seitenvorgestelltwerden,umanschließendeinigeMeilen-
steinezumotivierenundWechselwirkungenzwischendenDisziplinenaufzuzeigen.
Klaus Jänich hat dafür einmal den Begriff einer „Stufe des orientierenden
Kennenlernens“erwähnt,[58],inderNeulingenichtnurersteGehversucheunter-
nehmen, sondern auch ein wenig über den Tellerrand hinausschauen können.
Es stellte sich aber bald heraus, dass für eine substantielle Darstellung zu wenig
Platz zur Verfügung stand und das Buch entweder in den einfachsten Grund-
lagen steckenbleiben oder zu einer unerquicklichen Aufzählung von Definitionen
und Sätzen verkommen würde. Also wurden die Inhalte immer weiter reduziert,
bis zuletzt die vorliegende Einführung in die Topologie herauskam – mit einem
ungewöhnlichweitenBogenvondenelementarenGrundlagen(„Wasisteineoffene
Menge?“) über klassische Resultate (Überlagerungen, Euler-Charakteristik von
kompakten Flächen, Wirtinger-Darstellung von Knotengruppen) bis zu fortge-
schrittenen Themen und bedeutenden Höhepunkten der algebraischen Topologie
(TheoremvonHurewicz,singulärePoincaré-Dualität,Homologiesphärenoder
verschiedene Versionen der Hopf-Invariante).
Bei all diesen Mutationen wurde die Idee eines Lesebuches aber konsequent am
Leben erhalten, sie schimmert immer wieder durch. So stehen vor allem die
späteren Kapitel im Zeichen eines großen Ziels, das eine Art „Handlungsstrang“
oder roten Faden durch das gesamte Buch herzustellen versucht (wer schon jetzt
neugierig ist: Es geht um die spannende Frage, ob Mannigfaltigkeiten, die sich in
gewisserWeiseähnlichwieSphärenverhalten,tatsächlich„äquivalent“zuSphären
sind–dasisteineabgeschwächteFormdergeneralisiertenPoincaré-Vermutung).
Auch werden längere technische Abschnitte so gut es geht vermieden und statt-
dessen anschauliche Worte verwendet, um den Lesefluss zu vereinfachen. Wenn
möglich sind größere Sätze durch einleitende Beispiele und historische Informa-
tionen motiviert, keine Definition und kein Hilfssatz soll einfach vom Himmel
fallen, sondern alles so erklärt sein, wie es sich aus einer konkreten Fragestellung
entwickelt hat. Dazu gehört natürlich auch, einmal einen Holzweg zu beschreiten
und hinterher umso besser zu verstehen, warum diese Definition oder jener Hilfs-
satz gerade so und nicht anders formuliert werden musste, um einem gegebenen
Problem gerecht zu werden.
vi Vorwort
NebenvielenexplizitenBeispielenwerdendieLeserauchhieunddaaufgefordert,
einen (meist einfachen) Gedanken selbst zu Ende zu führen, sich aktiv am Inhalt
zu beteiligen oder einige Experimente zu probieren, um frei mit den Gedanken
zu spielen – ähnlich wie das Mathematiker auf dem Weg zu neuen Erkenntnissen
auch tun. Diese Form der kritischen Auseinandersetzung mit dem Stoff tritt an
die Stelle von Übungsaufgaben, die nicht explizit vorgesehen sind.
Der Text ist wegen seines Lesebuch-Charakters auch (und insbesondere) für das
Selbststudiumgedacht.DieausführlichenBeschreibungenzwischendenehertech-
nischenPassagensollenNeulingendabeieineHilfesein,umsichschonbeimersten
Lesen besser zurechtzufinden. In diesem Sinne wäre es mir Anliegen und Freude
zugleich,dieNeugieraufeinwahrlichfaszinierendes,vielseitigverwendbaresTeil-
gebiet der Mathematik zu wecken und zum Weiterlesen zu ermuntern.
Mein Dank gilt Bianca Alton für das Lektorat, Andreas Rüdinger für die genaue
inhaltliche Durchsicht aller Kapitel und ganz besonders meiner Familie, die mich
all die Jahre des Suchens, Findens und Gestaltens geduldig unterstützt hat.
Stuttgart, im Juni 2017 Fridtjof Toenniessen
Inhaltsverzeichnis
1 Logische Grundlagen für die Topologie .................. 1
1.1 Ordinalzahlen ......................................... 1
1.2 Das Auswahlaxiom und seine äquivalenten Formen......... 6
2 Elementare Topologie ................................... 11
2.1 Elementare Grundbegriffe.............................. 12
2.2 Einfache Folgerungen.................................. 22
2.3 Der Satz von Tychonoff ............................. 25
2.4 Das Lemma von Urysohn ............................. 32
2.5 Die Quotiententopologie ............................... 38
2.6 Topologische Mannigfaltigkeiten ........................ 45
2.7 Die Klassifikation kompakter Flächen.................... 48
2.8 Die Euler-Charakteristik ............................. 57
3 Algebraische Grundlagen – Teil I........................ 63
3.1 Elemente der Gruppentheorie........................... 63
3.2 Die Quaternionen und Drehungen im R3................. 76
4 Einstieg in die algebraische Topologie ................... 81
4.1 Die Fundamentalgruppe ............................... 81
4.2 Überlagerungen....................................... 91
4.3 Decktransformationen ................................. 96
4.4 Der Satz von Seifert-van Kampen .................... 110
4.5 Der Satz von Nielsen-Schreier über freie Gruppen...... 117
4.6 Die Wirtinger-Darstellung von Knotengruppen ......... 122
4.7 Die Fundamentalgruppe der SO(3) ...................... 128
4.8 Höhere Homotopiegruppen ............................. 133
4.9 Die lange exakte Homotopiesequenz ..................... 140
4.10 Faserbündel und die Berechnung von π (S2,1) ............ 146
3
4.11 Weitere Resultate zu Homotopiegruppen................. 155
viii Inhaltsverzeichnis
5 Simpliziale Komplexe ................................... 159
5.1 Grundbegriffe ........................................ 159
5.2 Simpliziale Approximation ............................. 163
5.3 Euklidische Umgebungsretrakte......................... 166
5.4 Abbildungszylinder und -teleskope ...................... 176
5.5 PL-Mannigfaltigkeiten und die Hauptvermutung .......... 183
6 Algebraische Grundlagen – Teil II....................... 199
6.1 Kettenkomplexe und Homologiegruppen ................. 199
6.2 Tensorprodukte, freie Auflösungen und Tor-Gruppen ...... 200
6.3 Das universelle Koeffiziententheorem für die Homologie .... 209
6.4 Berechnungsformeln für Tor-Gruppen.................... 213
6.5 Die Künneth-Formel ................................. 216
7 Elemente der Homologietheorie ......................... 221
7.1 Ursprünge der Homologietheorie ........................ 221
7.2 Simpliziale Homologiegruppen .......................... 227
7.3 Singuläre Homologiegruppen ........................... 240
7.4 Der Homotopiesatz – Teil I............................. 247
7.5 Intermezzo: Singuläre Homologie mit n-Würfeln .......... 248
7.6 Der Homotopiesatz – Teil II ............................ 260
7.7 Die lange exakte Homologiesequenz ..................... 262
7.8 Der Ausschneidungssatz und einige seiner Anwendungen ... 264
7.9 Die Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie.. 280
7.10 Die Euler-Charakteristik als homologische Invariante..... 284
7.11 Die Homologie kompakter Flächen ...................... 290
7.12 Die Mayer-Vietoris-Sequenz ......................... 297
7.13 Die Homologie von Produkträumen ..................... 306
8 CW-Komplexe und einige ihrer Anwendungen .......... 315
8.1 Grundlegende Definitionen und erste Beispiele ............ 317
8.2 Sind CW-Komplexe allgemeiner als Simplizialkomplexe? ... 323
8.3 Teilkomplexe und Kompakta in CW-Komplexen .......... 327
8.4 Kanonische (cid:3)-Umgebungen und Umgebungsretrakte ....... 331
Inhaltsverzeichnis ix
8.5 Zelluläre Abbildungen und zelluläre Approximation ....... 339
8.6 Der Satz von Whitehead ............................. 345
8.7 Zelluläre Homologie ................................... 350
8.8 CW-Approximationen und CW-Modelle ................. 366
8.9 Brücken zwischen Homotopie- und Homologietheorie ...... 374
8.10 Das Theorem von Hurewicz........................... 377
9 Algebraische Grundlagen – Teil III...................... 397
9.1 Permutationen........................................ 397
9.2 Kohomologie und die Ext-Gruppen...................... 399
9.3 Das universelle Koeffiziententheorem der Kohomologie ..... 403
10 Kohomologie und die Poincaré-Dualität ................. 407
10.1 Duale Triangulierungen und duale Teilräume ............. 408
10.2 Der duale Kettenkomplex .............................. 417
10.3 Die Kohomologie simplizialer Komplexe.................. 422
10.4 Lange exakte Sequenzen in der Kohomologie ............. 428
10.5 Das Cap-Produkt und die simpliziale Poincaré-Dualität .. 432
(cid:2)
10.6 Die Poincarésche Homologiesphäre H3 =SO(3) I ..... 450
P 60
10.7 Homologische Charakterisierung von Orientierbarkeit...... 462
10.8 Singuläre Kohomologie und die Poincaré-Dualität ....... 478
10.9 Der Kohomologiering topologischer Räume ............... 495
10.10 Eine Anwendung auf Divisionsalgebren .................. 502
10.11 Schnittzahlen und Verschlingungszahlen ................. 511
10.12 Die Hopf-Invariante .................................. 522
Literaturverzeichnis ......................................... 537
Index........................................................ 545
1 Logische Grundlagen für die Topologie
Das Buch fängt etwas ungewöhlich an. Sie lernen auf den ersten Seiten nichts
über topologische Grundbegriffe, zum Beispiel was eine offene Menge ist, oder
wann der Abschluss einer Menge kompakt ist. Nein, es geht um fortgeschrittene
Mengenlehre und um mathematische Logik. Ich konnte nicht umhin, auf diesen
Seiten eine kleine Hommage an das Auswahlaxiom und das Lemma von Zorn
zu schreiben, denn diese Grundfesten der Mathematik werden in der Topologie
häufiger (unbewusst) eingesetzt als man vermutet.
Das wäre zumindest ein Grund für diesen Einstieg. Ein anderer kommt von dem
Wunsch, hier etwas vorzubereiten, was Sie später überraschen wird und aufzeigt,
dass viele mathematische Sätze (aus anderen Gebieten) mit Topologie zusam-
menhängen und topologische Beweise haben (Seite 31, 117 f). Sie können dieses
Kapitel gerne überspringen, wenn Sie gleich mit Topologie beginnen wollen.
1.1 Ordinalzahlen
Die Ordinalzahlen sind ein wichtiges Fundament der transfiniten Mengenlehre,
vielleicht sogar deren zentrales Konzept überhaupt. Die Idee besteht zunächst
darin, die natürlichen Zahlen nicht über diePeano-Axiome, sondern konsequent
über endliche Mengen und deren Elementzahl zu definieren. Damit gewinnt man
sehrviel,unteranderemeineWohlordnungaufR(Seite3)odermitdemAuswahl-
axiom sogar ein konkretes Modell für eine wohlgeordnete Gesamtheit aller nur
denkbaren Mengen (was dann allerdings keine Menge mehr ist, Seite 4).
WillmandienatürlichenZahlenüberdieElementzahlendlicherMengenerfassen,
liegt eine Identifikation der 0 mit der leeren Menge ∅ nahe. Für die 1 brauchen
wir dann eine einelementige Menge, und im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-
Mengenlehre gibt es dafür als einfachste Möglichkeit {∅}. Es ist ∅ ⊂ {∅} und
zugleich ∅ ∈ {∅}, was eine Ordnungsrelation (analog zu ≤ bei N) in Form der
Teilmengenrelation ⊆ nahelegt (die Relation < wäre gegeben durch ⊂ oder äqui-
valent auch durch ∈). Mit diesen Definitionen ist die von N bekannte Relation
0<1erfüllt,unddiefolgendennatürlichenZahlenergebensichbeikonsequenter
Fortführung der Konstruktion als endliche Ordinalzahlen der Gestalt
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
···
x+1 = x∪{x}.
DieseskonkreteModellfürOrdinalzahlengehtübrigensauf JohnvonNeumann
zurück, der die Idee 1923 in einem Brief an Ernst Zermelo mitteilte, [79].
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
F. Toenniessen, Topologie,
DOI 10.1007/978-3-662-54964-3_1