Théories géométriques pour l’algèbre constructive

61 Pages·2016·0.68 MB·French

by  Henri Lombardi

Th´eories g´eom´etriques
pour l’alg`ebre constructive
la derni`ere version en cours peut ˆetre trouv´ee en
http://hlombardi.free.fr/Theories---geometriques.pdf
BROUILLON, 20 juin 2016
R´esum´e
On examine la question suivante : dans quelle mesure les th´eories g´eom´etriques sont-elles
un cadre suffisant pour d´evelopper l’alg`ebre constructive?
Table des mati`eres
Table des mati`eres 1
Introduction 4
1 Th´eories g´eom´etriques du premier ordre 6
1.1 Th´eories coh´erentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Th´eories dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
La logique remplac´ee par le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Extension simple d’une th´eorie dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Collapsus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Th´eories alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Th´eories existentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exemples avec plusieurs sortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Structures alg´ebriques dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Morphismes entre structures alg´ebriques dynamiques de mˆeme type . . . . . . . . 18
1.9 Comparaison avec la d´eduction naturelle intuitionniste . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Mod`eles d’une structure alg´ebrique dynamique 19
2.1 Mod`eles constructifs versus mod`eles en math´ematiques classiques . . . . . . . . . . 19
Diagramme positif d’un mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Mod`eles minimaux d’une th´eorie sans axiome existentiel . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Mod`eles des th´eories alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Alg`ebre universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Th´eories engendr´ees par une structure sur une signature donn´ee. . . . . . . . . . . 20
3 Th´eories dynamiques essentiellemement les mˆemes 23
3.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ajout de simples abr´eviations dans le langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Ajout du pr´edicat d’´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Ajout d’un pr´edicat de conjonction, de disjonction ou d’existence . . . . . . . . . . 24
3.5 Ajout d’un nouveau pr´edicat comme simple (cid:104)(cid:104)d´efinition de nom(cid:105)(cid:105) . . . . . . . . . . 25
3.6 Ajout d’un symbole de fonction en cas d’existence unique, 1 . . . . . . . . . . . . . 27
1
3.7 Th´eories dynamiques essentiellement identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Ajout de nouvelles sortes bien d´efinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ajout d’un symbole de fonction en cas d’existence unique, 2 . . . . . . . . . . . . . 28
Ajout d’une sous-sorte d’une sorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Sortes quotient, produit fini, somme finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.9 Th´eories dynamiques essentiellement ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.10 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Extensions conservatives d’une th´eorie dynamique 35
4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Un th´eor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Skol´emisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Collapsus simultan´es et autres ressemblances 36
5.1 Collapsus simultan´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Th´eories qui prouvent les mˆemes r`egles alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Le principe local-global concret en alg`ebre commutative . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Un principe d’´economie dans les d´emonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Th´eorie des mod`eles 38
6.1 Collapsus simultan´e et th´eor`eme de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Discussion du th´eor`eme de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Th´eor`eme de plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.5 Alg`ebre universelle en th´eorie des mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.6 Th´eories g´eom´etriquement compl`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7 Th´eories compl`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.8 Th´eories mod`ele-compl`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Th´eories g´eom´etriques infinitaires 42
7.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Le th´eor`eme de Barr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Th´eories g´eom´etriques essentiellement ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Exemples 44
8.1 Modules plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.2 Dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.3 D´ecompositions dans les groupes r´eticul´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.4 Anneaux `a diviseurs et anneaux de Krull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.5 Anneaux et modules coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.6 Alg`ebres galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.7 Th´eorie de la profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.8 Alg`ebres lisses, nettes, ´etales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.9 Petites cat´egories ab´eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.10 Alg`ebres polyvalentes versus groupes r´eticul´es avec une unit´e forte . . . . . . . . . 49
8.11 Autour des sch´emas coh´erents de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9 D´ecryptage de d´emonstrations classiques 49
9.1 Comprendre le discours classique sur les id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . 50
9.2 Comprendre le discours classique sur les id´eaux premiers minimaux . . . . . . . . . 51
2
10 Espace spectral associ´e `a une structure alg´ebrique dynamique 52
10.1 Relations implicatives et treillis distributifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2 Spectre d’un treillis distributif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10.3 Le treillis de Zariski d’une structure alg´ebrique dynamique . . . . . . . . . . . . . 54
10.4 Le spectre d’une structure alg´ebrique dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.5 Faisceaux de structures sur le spectre d’une structure alg´ebrique dynamique . . . . 56
11 Topos de Grothendieck et th´eories g´eom´etriques 56
R´ef´erences 57
Index des notations 60
3
Introduction
Onexaminedanscetarticlelaquestionsuivante:dansquellemesurelesth´eoriesg´eom´etriques
sont-elles un cadre suffisant pour d´evelopper l’alg`ebre constructive?
La motivation est double. D’une part les r`egles de d´eduction des th´eories g´eom´etriques sont
de nature si ´el´ementaire que l’on peut dire que ce qui se traite en math´ematiques au moyen
de th´eories g´eom´etriques est purement calculatoire, sans logique. D’autre part, il n’y a jamais
conflit d’interpr´etation entre le point de vue classique et le point de vue constructif concernant les
r`egles dynamiques valides (les (cid:104)(cid:104)th´eor`emes g´eom´etriques(cid:105)(cid:105)). L’utilisation syst´ematique des th´eories
g´eom´etriques fait donc partie du programme g´en´eral de relecture constructive des math´ematiques
classiques ([1, 16, 15, 17, 18, 20, 31, 32]).
On explique pour commencer les th´eories dynamiques et structures alg´ebriques dynamiques
introduitesdans[20].Ils’agitd’unevarianteconstructive(cid:104)(cid:104)sanslogique(cid:105)(cid:105)des(cid:104)(cid:104)th´eoriescoh´erentes(cid:105)(cid:105)
ou (cid:104)(cid:104)th´eories g´eom´etriques du premier ordre(cid:105)(cid:105).
Lasection1donnequelquesg´en´eralit´es.Elleexpliqueenparticulierlefonctionnementdesr`egles
dynamiquesetpourquoicelaimpliquequelesth´eoriesdynamiquespeuventˆetreconsid´er´eescomme
purement calculatoires, sans logique.
Lasection3d´ecritdessituationsou` deuxth´eoriesdynamiquespeuventˆetreconsid´er´eescomme
(cid:104)(cid:104)les mˆemes(cid:105)(cid:105), i.e. intuitivement elles d´ecrivent des situations identiques en utilisant deux lan-
gages qui peuventˆetre diff´erents. En particulier, leurs (cid:104)(cid:104)mod`eles(cid:105)(cid:105) en math´ematiques constructives
doiventˆetrepourl’essentiellesmˆemes,modulodesrenommagesetdesextensionsquisecontentent
d’augmenter le langage sans ambiguit´e.
La section 4 donne quelques cas classiques d’extensions conservatives avec les th´eor`emes fon-
damentaux 4.2.2 (la logique classique est sans danger) et 4.3.2 (la skol´emisation est sans danger).
La section 5 d´ecrit des cas d’extensions qui sont conservatives seulement pour certains types
de r`egles dynamiques.
La section 6 donne quelques indications concernant la th´eorie des mod`eles. Elle propose une
interpr´etationconstructivedes th´eor`emes´etablisdans lecadre delath´eorie desmod`elesclassique,
laquelle s’appuie sur ZFC.
On parle ensuite des th´eories g´eom´etriques en g´en´eral, sans la restriction au premier ordre.
La section 7 introduit les th´eories g´eom´etriques infinitaires et reprend dans ce cadre les
consid´erations d´evelopp´ees dans les sections 1 `a 4.
La section 8 d´eveloppe des exemples et explore certaines limites que les th´eories g´eom´etriques
ne peuvent atteindre, comme la noeth´erianit´e, pourtant classiquement rang´ees dans le domaine de
l’alg`ebre.
Lasection9´etudiecommentlesth´eoriesg´eom´etriques(infinitaires)peuventaideraud´ecryptage
constructif de certaines m´ethodes de d´emonstration classiques en alg`ebre abstraite.
La section 10 parle du treillis de Zariski d’une structure alg´ebrique dynamique et de son in-
terpr´etationenmath´ematiquesclassiquesentermesd’espacespectral.Onabordeaussilesfaisceaux
de structures alg´ebriques sur cet espace spectral.
La section 11 parle des rapports entre topos de Grothendieck et th´eories g´eom´etriques.
Nous n’aborderons pas dans cet article les (cid:104)(cid:104)mod`eles cat´egoriques(cid:105)(cid:105) des th´eories g´eom´etriques.
La logique cat´egorique n´ecessite, pour ˆetre d´evelopp´ee du point de vue constructif, l’introduction
des cat´egories comme objets `a part enti`ere des math´ematiques constructives. Ce sujet passionnant
n’est pas encore compl`etement ´eclairci et le r´esultat aura certainement des points de divergence
assez importants avec le mˆeme sujet trait´e en math´ematiques classiques, lesquelles fournissent le
cadre contemporain de la logique cat´egorique. Vu l’´etat de l’art, nous pr´ef´erons ´eviter d’avoir `a
parler d’univers emboit´es pour accompagner un concept aussi simple que celui de th´eorie dyna-
mique.
En logique cat´egorique classique, la logique intuitionniste intervient comme logique interne des
topos de Grothendieck, mais pas comme la logique externe, celle du monde math´ematique intuitif
dans lequel s’ins`erent toutes les formalisations (n´ecessairement limit´ees) mises en place `a la suite
de Hilbert pour (cid:104)(cid:104)mieux comprendre(cid:105)(cid:105) le fonctionnement des math´ematiques intuitives.
4
Pour le moment donc, nous utilisons le langage des cat´egories de mani`ere informelle, avec
seulement quelques incursions formalis´ees, par exemple pour les petites cat´egories.
Terminologie. Comme nous nous situons en math´ematiques constructives il apparaˆıt in´evi-
tablement des probl`emes terminologiques, du simple fait par exemple qu’en g´en´eral un mˆeme
concept classique donne lieu `a plusieurs concepts constructifs int´eressants non ´equivalents, mais
´equivalents en math´ematiques classiques. Par ailleurs, nous avons encore une fois1 c´ed´e `a la ten-
tation d’utiliser un langage plus intuitif et plus parlant que le langage usuel (ici pour les th´eories
g´eom´etriques)2.Nousdonnonsci-dessousunpetittableaucomparatifentrenotreterminologie(en
math´ematiques constructives) et la terminologie anglaise la plus usuelle (en math´ematiques classi-
ques) pour ce qui concerne les th´eories g´eom´etriques. Celle que l’on trouve dans [27, Chapitre D1]
et dans [3].
La comparaison est un peu biais´ee par le fait que dans les th´eories dynamiques on n’utilise pas
la logique `a proprement parler. Ce sont de pures machines de calcul. Ainsi, bien qu’une th´eorie
dynamiquefinitaire(cid:104)(cid:104)engendre(cid:105)(cid:105)uneth´eorie(dupremierordre)coh´erenteetbienquetouteth´eorie
coh´erenteadviennedecettefa¸con,ilnes’agitpasdesmˆemesobjetsformels.T´emoinlefaitqu’une
th´eoriecoh´erentenefonctionnepasdelamˆememani`ereaveclalogiqueclassiqueetaveclalogique
intuitionniste, alors qu’une th´eorie dynamique est insensible `a cette distinction, car structurelle-
ment les d´emonstrations dynamiques sont toujours constructives.
Th´eorie Theory
dynamique
purement ´equationnelle algebraic
directe
alg´ebrique Horn
existentiellement rigide cartesian
existentielle regular
coh´erente coherent
g´eom´etrique geometric
Th´eories g´eom´etriques Geometric theories
identiques (mˆeme signature) equivalent
essentiellement identiques (mˆemes sortes)
classiquement essentiellement identiques definitionally equivalent
essentiellement ´equivalentes
classiquement essentiellement ´equivalentes Morita equivalent
hum: (cid:104)(cid:104)definitionally equivalent(cid:105)(cid:105) se trouve dans [26, Section 2.6] (pas dans [27, Elephant]?). Je ne
comprendspassi,dans[3],ladefinitionalequivalenceetlaMoritaequivalencefontintervenirlalogique
classique, mais a priori oui.
Au contraire dans [27], l’´equivalence de th´eories qui ont la mˆeme signature (premi`ere ligne du tableau)
1. Nousfaisonsiciallusion`al’ouvrage[32]et`adiversarticles.
2. En alg`ebre par exemple, il est n´ecessaire de distinguer constructivement (cid:104)(cid:104)anneau sans diviseur de z´ero(cid:105)(cid:105) et
(cid:104)(cid:104)anneau int`egre(cid:105)(cid:105), (cid:104)(cid:104)corps(cid:105)(cid:105) et (cid:104)(cid:104)corps discret(cid:105)(cid:105), (cid:104)(cid:104)anneau local(cid:105)(cid:105) et (cid:104)(cid:104)anneau local r´esiduellement discret(cid:105)(cid:105); il est
´egalement n´ecessaire d’introduire des concepts qui s’av`erent triviaux en math´ematiques classiques, comme celui
d’ensemblediscretoud’anneaufortementdiscret;parailleurs,nousavonspr´ef´er´e(cid:104)(cid:104)anneaulocalementsansdiviseur
dez´ero(cid:105)(cid:105)`a(cid:104)(cid:104)pf-ring(cid:105)(cid:105)(intraduisible),(cid:104)(cid:104)domainedePru¨fer(cid:105)(cid:105)`a(cid:104)(cid:104)anneaupru¨ferien(cid:105)(cid:105),(cid:104)(cid:104)anneaudePru¨fercoh´erent(cid:105)(cid:105)`a
(cid:104)(cid:104)anneau semih´er´editaire(cid:105)(cid:105), (cid:104)(cid:104)anneau de Pru¨fer(cid:105)(cid:105) `a (cid:104)(cid:104)anneau de dimension globale faible inf´erieure ou´egale `a un(cid:105)(cid:105),
(cid:104)(cid:104)anneau`adiviseurs(cid:105)(cid:105)`a(cid:104)(cid:104)Pru¨ferv-multiplicationdomain(cid:105)(cid:105)ou`a(cid:104)(cid:104)anneaupseudo-pru¨ferien(cid:105)(cid:105).
5
semble d´ependre de la (cid:104)(cid:104)logique formelle(cid:105)(cid:105) utilis´ee, qui peut ˆetre (cid:104)(cid:104)Horn, cartesian, regular, coherent,
first order ou geometric(cid:105)(cid:105). Pour nous, il n’y a pas `a proprement parler de logique dans les preuves
dynamiques, et si logique il y a, elle est intuitionniste, c’est-`a-dire si je comprends bien, pour [27],
(cid:104)(cid:104)geometric(cid:105)(cid:105).
Dans tout l’article on dit (cid:104)(cid:104)anneau(cid:105)(cid:105) pour (cid:104)(cid:104)anneau commutatif unitaire(cid:105)(cid:105).
1 Th´eories g´eom´etriques du premier ordre
1.1 Th´eories coh´erentes
Une th´eorie coh´erente T = (L,A) est une th´eorie formelle du premier ordre bas´ee sur le
langage L dans laquelle les axiomes (les ´el´ements de A) sont tous (cid:104)(cid:104)g´eom´etriques(cid:105)(cid:105), c’est-`a-dire de
la forme suivante :
∀x (cid:0)A −→ ∃y1B ∨ ··· ∨ ∃ymB (cid:1) (1)
1 m
ou` A et les B sont des conjonctions de formules atomiques du langage L de la th´eorie for-
j
melle, les yj sont des listes de variables, et x la liste des autres variables pr´esentes (ces listes
sont ´eventuellement vides). Une disjonction vide au second membre peut ˆetre remplac´ee par le
symbole ⊥ repr´esentant le Faux.
On dit aussi th´eorie g´eom´etrique du premier ordre `a la place de th´eorie coh´erente.
1.2 Th´eories dynamiques
R´ef´erence [20]. Dans l’article cit´e sont introduites les notions de (cid:104)(cid:104)dyanamical theory(cid:105)(cid:105) et de
(cid:104)(cid:104)dynamical proof(cid:105)(cid:105).
Si T est une th´eorie coh´erente, la th´eorie dynamique correspondante s’en diff´erencie seulement
par un usage extrˆemement limit´e des m´ethodes de d´emonstration :
— Premi`erement,onn’utilisejamaisd’autresformulesquelesformulesatomiques:onn’intro-
duitjamaisaucunnouveaupr´edicatutilisantdesconnecteurslogiquesoudesquantificateurs.
Seules sont manipul´ees des listes de formules atomiques du langage L.
— Deuxi`emement, et conform´ement au point pr´ec´edent, les axiomes ne sont pas vus comme
des formules vraies, mais comme des r`egles de d´eduction : un axiome tel que (1) est utilis´e
en tant que r`egle (2) :
A Introduirey1 B ou ··· ou Introduireym B (2)
1 m
(voirl’exemplequisuit,lesd´efinitionsformellespr´ecisessontdonn´eesdans[20],onpeutles
´etendre au cas ou` il y a plusieurs types d’objets comme dans la th´eorie des modules sur un
anneau commutatif avec les objets du type (cid:104)(cid:104)´el´ements de l’anneau(cid:105)(cid:105) et les objets du type
(cid:104)(cid:104)´el´ements du module(cid:105)(cid:105)).
— Troisi`emement,onneprouvequedesr`egles dynamiques,c’est-`a-diredesth´eor`emesquisont
de la forme des r`egles de d´eduction ci-dessus.
— Quatri`emement, la seule mani`ere de prouver une r`egle dynamique est un calcul arborescent
(cid:104)(cid:104)sans logique(cid:105)(cid:105). A` la racine de l’arbre se trouvent toutes les hypoth`eses du th´eor`eme que
l’onveutprouver.L’arbresed´eveloppeenappliquantlesaxiomesselonunepuremachinerie
de calcul alg´ebrique dans la structure.
Lorsquel’onappliqueunaxiometelque(2),onsubstitueauxvariableslibres(x )pr´esentesdans
i
lar`egledestermesarbitraires(t )dulangage.Sileshypoth`eses,r´e´ecritesaveccestermes,sontd´ej`a
i
prouv´ees, alors on ouvre des branches de calcul dans chacune desquelles on introduit des variables
fraiches correspondant aux variables muettes yk (il faut ´eventuellement changer leurs noms pour
´eviter un conflit avec les variables libres pr´esentes dans les termes t ) et chaque conclusion B est
i k
valide dans sa branche. On d´eclare valide une conclusion prouv´ee `a chaque feuille d’un arbre de
preuve ainsi construit.
6
Exemple 1.2.1 Lath´eoriedynamiqueCd descorpsdiscretsestbas´eesurlelangagedesanneaux
commutatifsetelleapourr`eglesdynamiques,outrecellesdesanneauxcommutatifs,celledescorps
discrets :
CD x=0 ou Introduirey xy =1
Pour d´emontrer la r`egle dynamique
ASDZ xy =0 x=0 ou y =0
on ouvre deux branches conform´ement `a l’axiome CD. Dans la premi`ere on a x = 0 et la conclu-
sion est prouv´ee. Dans la deuxi`eme on introduit un (cid:104)(cid:104)param`etre(cid:105)(cid:105) (une variable fraiche) z avec la
relation xz =1. Les axiomes des anneaux commutatifs permettent alors de d´emontrer les ´egalit´es
y =1×y =(xz)y =(xy)z =0×z =0, et la conclusion est ´egalement prouv´ee.
Ensuite par exemple, on d´eduit de la r`egle dynamique pr´ec´edente la r`egle alg´ebrique
Anz z2 =0 z =0
car cette fois-ci aux deux feuilles de l’arbre on a la mˆeme conclusion z =0.
La logique remplac´ee par le calcul
Le symbole ou doit ˆetre compris comme une abr´eviation pour(cid:104)(cid:104)ouvrir (des branches dans le
calcul)(cid:105)(cid:105).
En pratique, d´emontrer une r`egle dynamique dans le cadre d’une th´eorie dynamique suit tou-
jours un raisonnement naturel intuitif et l’on peut voir cette gymnastique comme une version
simplifi´ee de la d´eduction naturelle de Gentzen.
Les symboles ou et Introduire ont´et´e pr´ef´er´es `a ∨ et ∃, pour bien marquer que leur utilisation
dans les r`egles de d´eduction n’est pas l’utilisation de nouvelles formules construites `a partir des
formules atomiques. Le symbole a ´et´e pr´ef´er´e `a (cid:96) pour ´eviter la confusion avec le symbole
utilis´e pour les relations implicatives dans les treillis distributifs (section 10.1).
Ainsi le langage d’une th´eorie dynamique ne comporte aucun symbole logique (connecteur ou
quantificateur) permettant de construire des formules complexes `a partir des formules atomiques.
La (cid:104)(cid:104)logique(cid:105)(cid:105) est remplac´ee par les symboles , ou et Introduire et par le s´eparateur (cid:104)(cid:104),(cid:105)(cid:105), mais
ces symboles sont utilis´es pour d´ecrire une machinerie de calculs arborescents et non pour former
des formules. La partie non logique d’une th´eorie dynamique est constitu´ee de symboles pour les
variables, et de la signature, qui contient les symboles pour les sortes, les pr´edicats et les fonctions
(ou lois) d´efinies dans la structure.
En bref, les preuves dynamiques sont des arbres de calcul finis. En cons´equence :
Lemme 1.2.2 Mˆeme si L et A sont a priori des ensembles na¨ıfs arbitraires, une r`egle dyna-
mique prouv´ee dans la th´eorie dynamique est toujours prouvable en utilisant seulement des parties
finiment ´enum´er´ees de L et A.
Dans la suite, nous remplac¸ons (cid:104)(cid:104)Introduire(cid:105)(cid:105) par le symbole moins encombrant (cid:104)(cid:104)E(cid:105)(cid:105), plus
proche et n´eanmoins diff´erent du traditionnel (cid:104)(cid:104)∃(cid:105)(cid:105).
Extension simple d’une th´eorie dynamique
D´efinition 1.2.3 On dit que la th´eorie dynamique T(cid:48) = (L(cid:48),A(cid:48)) est une extension simple de la
th´eorie dynamique T =(L,A) si L⊆L(cid:48) et A⊆A(cid:48). Dans ce cas, les r`egles dynamiques formul´ees
dans L et valides (i.e. d´emontrables) dans T sont valides dans T(cid:48).
Remarque 1.2.4 Dans la d´efinition pr´ec´edente, l’expression (cid:104)(cid:104)extension simple(cid:105)(cid:105) peutˆetre remise
en question. Si L,A,L(cid:48),A(cid:48) sont des ensembles finis, ou si ce sont des ensembles d´enombrables
discrets on peut consid´erer que tout est clair intuitivement. Il peut arriver cependant que l’on
d´esire utiliser des ensembles plus compliqu´es, par exemple introduire tous les r´eels comme des
constantesdansuneth´eoriedontunesortevise`ad´ecrirelesnombresr´eels.Dansuntelcas,lemot
7
(cid:104)(cid:104)extension simple(cid:105)(cid:105) est contestable car il n’y pas de monomorphisme canonique dans la cat´egorie
Set de Bishop : dans la conception de Bishop, une partie d’un ensemble correspond `a la notion
cat´egorique de sous-objet.
1.3 Collapsus
Une r`egle dynamique s’appelle une r`egle de collapsus ou d’effondrement lorsque le second
membre est (cid:104)(cid:104)le Faux(cid:105)(cid:105), que l’on note T. Le symbole T fait obligatoirement partie du langage. Il
doitˆetrerang´eaveclesformulesatomiques,commeunpr´edicatd’arit´enulle.Ilpeutˆetreconsid´er´e
comme (le seul vrai) symbole logique dans les th´eories dynamiques. On peut aussi voir T comme
d´esignant la disjonction vide. Lorsque l’on a prouv´e T, l’univers du discours s’effondre, et toute
formuleatomiquedulangageestalorsr´eput´ee(cid:104)(cid:104)vraie(cid:105)(cid:105),oudumoins(cid:104)(cid:104)valide(cid:105)(cid:105).C’estl’applicationde
lar`egle(cid:104)(cid:104)exfalsoquodlibet(cid:105)(cid:105),quiestlasignificationintuitivepertinenteduFauxenmath´ematiques
constructives. Ainsi, dans une th´eorie dynamique les r`egles
Faux T P
P
sont valides pour tous les pr´edicats3.
Mˆeme si une th´eorie dynamique ne comporte pas de r`egle de collapsus, elle admet toujours le
mod`eler´eduit`aunpoint4 ou` touteslesformulesatomiquessont´evalu´eesvraies.Etl’onditqu’une
th´eorie dynamique s’effondre si toutes les formules atomiques sont valides.
Consid´ererl’effondrementdanslesensquivientd’ˆetre expliqu´e,plutˆotquedanslesensdupur
n´eant, est seulement une affaire de gouˆt qui ne change rien au fond des choses5.
Au lieu de dire qu’une structure alg´ebrique dynamique qui s’effondre n’a pas de mod`ele, on dit
(sans n´egation) que tout mod`ele de cette structure alg´ebrique dynamique est trivial, r´eduit `a un
point, et que (cid:104)(cid:104)tout y est vrai(cid:105)(cid:105).
Dans la suite nous rempla¸cons (quand cela est possible) dans les r`egles de collapsus le sym-
bole (cid:104)(cid:104)T(cid:105)(cid:105) par une propri´et´e qui rend toutes les formules atomiques (cid:104)(cid:104)valides(cid:105)(cid:105) (a fortiori elle r´eduit
tout mod`ele `a un seul point).
Dans les th´eories que nous consid´ererons, cette propri´et´e de collapsus s’´ecrira en g´en´eral
(cid:104)(cid:104)1 = 0(cid:105)(cid:105), du moins lorsque ce sont des th´eories dynamiques qui ´etendent la th´eorie des anneaux
commutatifs ou celle des treillis distributifs.
1.4 Th´eories alg´ebriques
Uner`egledynamiquequinecontient`adroitedu niou,niE estappel´eeuner`eglealg´ebrique.
Une th´eorie dynamique est dite alg´ebrique lorsqu’elle ne comporte comme axiomes que des
r`egles alg´ebriques. La th´eorie formelle du premier ordre correspondant `a une th´eorie alg´ebrique
est parfois appel´ee une th´eorie de Horn (universelle). Lorsque nous parlons de th´eorie alg´ebrique
nous voyons cette th´eorie comme une th´eorie dynamique : une th´eorie dans laquelle les seules
d´emonstrations sont des d´emonstrations dynamiques, purement calculatoires, sans logique.
Danscertainesth´eoriesdynamiquesavec´egalit´e,commedesth´eoriesdegroupesoud’anneaux,
il est possible de remplacer le pr´edicat d’´egalit´e binaire (cid:104)(cid:104)·=·(cid:105)(cid:105) par un pr´edicat unaire (cid:104)(cid:104)·=0(cid:105)(cid:105) en
confiant `a un (cid:104)(cid:104)calcul automatique externe(cid:105)(cid:105) les principales r`egles que doit satisfaire la structure
(voir les exemples ci-dessous).
Dans[20],lesth´eoriesenvisag´eesnecomportentquedespr´edicatsunaires,etlesr`eglesalg´ebri-
ques sont classifi´ees en r`egles directes, r`egles de simplification et collapsus.
3. OnpeutaussidonnerdanslelangagelesymboleT pour(cid:104)(cid:104)leVrai(cid:105)(cid:105),avecpouraxiomeslesr`eglesalg´ebriques:
VraiP P T
4. S’ilyaplusieurssortes,chaquesorteestr´eduite`aunpoint.
5. Enfait,jedoisavoirhorreurduvide:-):lesilencedecetespaceinfinim’effraie:-(.Parailleurssiladisparition
totaledanslen´eantestlavraiesignificationduFaux,iln’enrestepasmoinsque,avantmˆemed’interdirel’existence
desmod`eles,leFauxcommenceparlesr´eduire`aunseulpoint,quisatisfaittouslespr´edicats.Commeditlachanson
deBorisVian:(cid:104)(cid:104)onestdescenduchezSatanetenbasc’´etait´epatant!(cid:105)(cid:105).
8
Demani`ereg´en´eralenousdironsqu’uner`eglealg´ebriqueest(cid:104)(cid:104)directe(cid:105)(cid:105)sidanslemembregauche
(l’hypoth`ese) ne figurent que des pr´edicats portant sur des variables toutes distinctes et/ou des
constantes, et dans la conclusion figure une seule formule atomique.
Une r`egle alg´ebrique est dite (cid:104)(cid:104)de simplification(cid:105)(cid:105) lorsqu’elle n’est pas une r`egle directe ni une
r`egle de collapsus.
Dans [20], cette classification des r`egles alg´ebriques permet d’unifier les d´emonstrations de
plusieurs Nullstellens¨atze : un Nullstellensatz est un certificat alg´ebrique rendant (cid:104)(cid:104)´evident(cid:105)(cid:105) un
fait qui a priori demanderait une d´emonstration non triviale.
L’alg`ebre universelle correspond aux th´eories alg´ebriques purement ´equationnelles, celles ou`
les seules r`egles sont des ´egalit´es entre termes. En outre l’´egalit´e doit satisfaire les r`egles usuelles
(relation d’´equivalence stable par rapport aux termes et aux pr´edicats).
Les th´eories directes, interm´ediaires entres les th´eories alg´ebriques et les th´eories purement
´equationnelles, sont celles ou` les axiomes sont les axiomes de l’´egalit´e ou des r`egles directes6.
Terminologie.Dans[27](etsouventdanslalitt´eratureanglaise),uneth´eoriepurement´equation-
nelle (vue en tant que th´eorie du premier ordre) est appel´ee une (cid:104)(cid:104)algebraic theory(cid:105)(cid:105) et une th´eorie
alg´ebrique une (cid:104)(cid:104)Horn theory(cid:105)(cid:105).
Th´eories existentielles
Un r`egle dynamique est dite existentielle simple si le second membre (la conclusion) est de la
forme ExA ou` A est une liste finie de formules atomiques7.
Une th´eorie dynamique est dite existentielle si ses axiomes sont tous des r`egles alg´ebriques ou
existentiellessimples(uner`eglealg´ebriquepeutd’ailleursˆetreconsid´er´eecommeuncasparticulier
de r`egle existentielle simple).
Terminologie. Dans la litt´erature anglaise concernant la logique cat´egorique (´etudi´ee dans le
cadre des math´ematiques classiques), une th´eorie existentielle est appel´ee une regular theory.
1.5 Exemples
Exemples 1.5.1 Ces premiers exemples sont des th´eories dynamiques extensions simples de la
th´eorie Ac des anneaux commutatifs sur le mˆeme langage.
1) La th´eorie purement ´equationnelle Ac des anneaux commutatifs est ´ecrite sur la signature
Signature : (·=0;·+·,·×·,−·,0,1)
avec les seuls axiomes suivants (ce sont des r`egles directes)8 :
ga0 0=0 ac1 x=0 x×y =0
ga2 x=0, y =0 x+y =0
Le terme (cid:104)(cid:104)x−y(cid:105)(cid:105) une abr´eviation de (cid:104)(cid:104)x+(−y)(cid:105)(cid:105) et le pr´edicat binaire (cid:104)(cid:104)· = ·(cid:105)(cid:105) est d´efini par
la convention : (cid:104)(cid:104)x=y(cid:105)(cid:105) est une abr´eviation pour (cid:104)(cid:104)x−y =0(cid:105)(cid:105).
Explications.
1. Les r`egles qui d´efinissent la th´eorie Ac des anneaux commutatifs doivent ˆetre comprises pr´eci-
s´ement comme ceci. On proc`ede comme il est expliqu´e dans l’exemple 1.2.1, mais pour ajouter
de nouvelles formules atomiques valides en un point de l’arbre, on utilise en plus la machinerie
calculatoiredespolynˆomescommutatifs`acoefficientsentiers((cid:104)(cid:104)ext´erieure(cid:105)(cid:105)`alath´eorie),quir´e´ecrit
6. Dans[20],l’´egalit´e(binaire)estunpr´edicatd´efinicommeuneabr´eviationetlesaxiomesdel’´egalit´esontg´er´es
parlamachinerieexterne(voirlepremierexempledans1.5.1);etune(cid:104)(cid:104)directtheory(cid:105)(cid:105)doitposs´ederunetunseul
axiomedecollapsus.
7. On peut se ramener au cas d’une seule formule atomique en introduisant le pr´edicat conjonction de la liste
finie.Voirsection3.4.
8. Lesnomsdesr`eglessontcalligraphi´escommesuit:pourlesr`eglesdirectes,toutenminuscule,pourlesautres
r`egles alg´ebriques (les r`egles de simplification et le collapsus), la premi`ere lettre en majuscule, et enfin les autres
r`eglesdynamiques,toutenmajuscule.
9
tout terme (form´e sur les constantes et les variables) comme un polynˆome `a coefficients entiers
sous une forme normale pr´ed´efinie.
Lar`eglededistributivit´ex(y+z)=xy+xz,parexemple,estalorsconfi´ee`auncalculautomatique
qui r´eduit `a 0 le terme x(y+z)−(xy+xz).
De mˆeme la transitivit´e de l’´egalit´e binaire est g´er´ee par la r`egle ga2 et par le calcul automatique
qui r´eduit `a (x−z) le terme (x−y)+(y−z).
2. On reconnait dans les trois r`egles alg´ebriques ga0, ga2 et ac1 les axiomes des id´eaux, qui
permettent de cr´eer une structure d’anneau quotient, et qui signifient la compatibilit´e de l’´egalit´e
avec l’addition et la multiplication. Dans la th´eorie Ac toute formule atomique est de la forme
(cid:104)(cid:104)t(x1,...,xn)=0(cid:105)(cid:105) ou` les xi sont des variables et t un terme du langage. Toute formule atomique
est donc imm´ediatement ´equivalente `a une formule atomique dans laquelle t est un ´el´ement de
l’anneau Z[x1,...,xn],´ecrit sous une forme normale convenue. La th´eorie Ac est donc la (cid:104)(cid:104)th´eorie
des identit´es alg´ebriques(cid:105)(cid:105), au sens ancien du terme.
3. La th´eorie Ac telle qu’elle est pr´esent´ee ne semble pas (cid:104)(cid:104)purement ´equationnelle(cid:105)(cid:105) au premier
abord car les axiomes ne sont pas de simples ´egalit´es entre termes. Cela tient `a notre parti pris
de remplacer l’´egalit´e par le pr´edicat unaire (cid:104)(cid:104)· = 0(cid:105)(cid:105) accompagn´e de la machinerie calculatoire
externe des polynˆomes `a coefficients entiers. Ce parti pris a l’avantage, selon nous, de montrer
la v´eritable (cid:104)(cid:104)structure logique(cid:105)(cid:105) de la th´eorie en la ramenant `a trois axiomes tr`es simples et en
confiant `a un calcul automatique ce qui peut lui ˆetre confi´e, qui n’a pas grand chose `a voir avec
la logique proprement dite. La mˆeme remarque s’appliquera par la suite `a pratiquement toutes les
th´eories que nous qualifierons de purement ´equationnelles.
2) La th´eorie dynamique Al des anneaux locaux est obtenue `a partir de la th´eorie Ac en ajoutant
la r`egle dynamique
AL (x+y)z =1 Euxu=1 ou Ev yv =1
Une r`egle ´equivalente (cid:104)(cid:104)sans hypoth`ese(cid:105)(cid:105) est la suivante :
AL0 Euxu=1 ou Ev (1−x)v =1
3) Un anneau est dit r´eduit si tout ´el´ement nilpotent est nul. La th´eorie alg´ebrique Anz des
anneaux r´eduits est obtenue `a partir de la th´eorie Ac en ajoutant la r`egle alg´ebrique
Anz x2 =0 x=0
4) La th´eorie dynamique Asdz des anneaux sans diviseur de z´ero est obtenue `a partir de la
th´eorie Ac en ajoutant la r`egle dynamique
ASDZ xy =0 x=0 ou y =0
Il est clair que la r`egle Anz est valide dans Asdz.
5) Un anneau est dit connexe si les seuls idempotents sont 0 et 1. La th´eorie alg´ebrique Acnx des
anneaux connexes est obtenue `a partir de la th´eorie Ac en ajoutant la r`egle dynamique
ACNX x2 =x x=0 ou x=1
La r`egle ACNX est valide dans Al et dans Asdz.
6) La th´eorie dynamique Cd des corps discrets est obtenue `a partir de la th´eorie Ac en ajoutant
la r`egle dynamique
CD x=0 ou Ey xy =1
On a d´ej`a d´emontr´e que la r`egle ASDZ est valide dans Cd. Montrons que la r`egle AL est ´egale-
ment valide. On a l’hypoth`ese (x+y)z =1. On ouvre deux branches : l’une ou` x=0, auquel cas
yz = (x+y)z = 1; dans l’autre on introduit un param`etre u avec l’´egalit´e xu = 1. On a bien
d´emontr´e la disjonction selon les r`egles de d´emonstration prescrites dans les th´eories dynamiques.
On voit ici encore que l’on ne fait rien d’autre que le raisonnement intuitif usuel. Ce raisonnement
est simplement valid´e formellement dans le cadre des th´eories dynamiques.
7) La th´eorie dynamique Cacd des corps alg´ebriquement clos discrets est obtenue `a partir de la
th´eorie Cd en ajoutant les r`egles dynamiques
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