Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen

596 Pages·1996·36.096 MB·German

by  Konrad Knoop (auth.)

Theorie und Anwendung
der unendlichen Reihen
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Barcelona
Budapest
Hongkong
London
Mailand
Paris
Santa Clara
Singapur
Tokio
K.Knopp
Theorie
und Anwendung
der unendlichen
Reihen
Mit einem Vorwort von Wolfgang Walter
Sechste Auflage
Springer
Konrad Knoppt
Die finfte Aujlage erschien 1978 unter gleichnamigem Titel in der Reihe
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Rd. 2
Die Fotovorlage fur die Abbildung auf der Einbandvorderseite stammt yom
Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach
Mathematics Subject Classification (1991): 12-01,13-01,16-01
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Knopp, Konrad:
Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen I von Konrad
Knopp. - 6. Auf!. - Berlin; Gottingen ; Heidelberg; New York
: Springer. 1996
(Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in
Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der
Anwendungsgebiete : Bd. 2)
ISBN'13: 978'3.642.64825'0
NE:GT
lSBN-13: 978-3-642-64825-0 e-lSBN-13: 978-3-642-61406-4
DOl: 10.1007/978-3-642-61406-4
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Q Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978, 1996
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Vorwort
Am 18.9.1917, mitten im Krieg, trafen sich der Gottinger Privatdozent Richard
Courant und Dr. Ferdinand Springer in Ilsenburg, einem ruhigen Ort im
Harz. Courant, 29 Jahre alt und Leutnant der Infanterie, hatte urn das Ge
sprach mit dem Direktor des Verlagshauses Springer gebeten. Er besprach
mit dem Verleger einen offenbar wohldurchdachten Plan, eine neue Reihe
von mathematischen Monographien zu begrtinden, wobei es sein besonde
res Anliegen war, die Verbindung zu den Anwendungen zu betonen. So soUte
dem Mathematiker das physikalische Denken nahegebracht und dem Physi
ker der Zugang zu den mathematischen Methoden in seiner Wissenschaft er
leichtert werden. Damit beginnt die Geschichte der beriihmten "Gelben Rei
he", die mit heute tiber 300 minden die wohl bedeutendste mathematische
Buchreihe ist.
Schon im ersten Band tiber Differentialgeometrie behandelt W. Blaschke -
getreu diesen Grundsatzen - auch die Einsteinsche Relativitatstheorie. Wir haben
es mit dem zweiten Band zu tun. Er tragt den Titel Theorie und Anwendung der
unendlichen Reihen und erschien 1921. Sein Autor, Konrad Knopp, war Ordinari
us in Konigsberg und Mitbegrtinder der Mathematischen Zeitschrift (1918). Ihm
schwebte vor, aile jene Dinge aus der Analysis zusammenzufassen, ,bei denen die
unendlichen Reihen im Vordergrund des Interesses stehen, moglichst voraus
setzungsfrei von den ersten Anfangen an, aber fortfuhrend bis an die ausgedehnte
Front der gegenwartigen Forschung, und alles dies moglichst lebendig und Leicht
fafilich, doch selbstverstiindlich ohne den geringsten Verzicht auf Exaktheit, um so
dem Studierenden eine bequeme Einftihrung in das fesselnde Stoffgebiet zu geben:
Mit diesem Zitat aus demV orwort fand Knopp Eingang in das bertihmte Werk
Stilkunst -Ein Lehrbuch deutscher Prosa von Ludwig Reiners. ,Schwebt das allen
vor, die wissenschaftliche Bucher schreiben? Haben sie aile den Willen, daftir zu
sorgen, daft ihr loch sanft sei? Und kennen sie al/e die Wege, die dazu fuhrent, fragt
Reiners. Knopp hat die Wege in exemplarischer Weise aufgezeigt.
Das Buch gliedert sich in drei Teile. Es beginnt mit einer Einfiihrung in die
Lehre von den reellen Zahlen. Denn eine Theorie der unendlichen Reihen wiirde
ohne ein solches festes Fundament ,durchaus in der Luft schweben'. Aufbauend
auf den rationalen Zahlen werden die reeilen Zahlen als Intervallschachtelung
eingefiihrt. Dahinter steht wohl die Uberzeugung, daB dies der anschaulichste
und auch der numerischen Erfahrung am nachsten stehende Zugang ist. All dies
wird mit groBer Klarheit und ausftihrlicher Darsteilung der begrifflichen Schwie
rigkeit geschildert, und ein Student wird das auch heute noch mit Gewinn lesen.
Mit den zentralen Satzen tiber reelle Zahlenfolgen wird der erste Teil abgeschlossen.
VI
1m zweiten Tell werden zunachst die Grundlagen der Reihenlehre dargestellt.
Den Umordnungssatz rur Reihen in seiner allgemeinsten Form findet man hier
wohl zum ersten Mal. Bei den Potenzreihen der elementaren Funktionen ruhrt
Knopp ganz bewuBt eine alte Tradition fort. Newton hat die Potenzreihen, mit
denen man wie mit Polynomen rechnen kann, als ein machtiges Werkzeug der
Analysis eingeruhrt und sogar das Newton-Verfahren zur Auflosung einer Glei
chung dazu benutzt, die Potenzreihe einer implizit definierten Funktion zu be
rechnen. Euler folgt im ersten Teil seiner Trllogie Grundlagen - Differentialrech
nung - Integralrechnung, der 1748 erschienenen Introductio in analysin
infinitorum, demselben Weg. Ohne Hilfe durch Differential- oder Integralrech
nungen werden die Potenzreihen der elementaren Funktion gewonnen; rur diese
Methode wurde spater die Bezeichnung "AIgebraische Analysis" gepragt. Man
sollte sich daran erinnern, daB Newton die allgemeine Binomialreihe erraten und
sich von ihrer Richtigkeit durch eine Reihe von stichproben (etwa Multiplikation
der Reihen rur v'l+x und INl+x) uberzeugt hat. Auch Euler konnte es damals
nicht besser, aber er fand 1774 den ersten strengen Beweis.
Urn die Wende zum 19. Jahrhundert tritt die Analysis in eine neue Epoche ein.
Sie ist gepragt durch das Streben, die verloren gegangene "griechische Strenge" in
der Analysis wiederzugewinnen. Zu vielfaItig waren die Schwierigkeiten beim
sorglosen Umgang mit den unendlichen Reihen geworden. Der erste Meilenstein
auf dies em muhseligen Weg war A.-L. Cauchys Werk Cours d'Analyse von 1821.
Hier entwickelt Cauchy eine systematische Theorie der Potenzreihen. Bei den ele
a
mentaren Funktionen beginnt er mit der Binomialreihe la Euler und leitet dar
aus die Potenzreihen der Exponentialfunktion und des Logarithmus abo Die darur
erforderlichen gliedweisen Grenzubergange behandelt er sehr groBzugig.
Das vorliegende Werk behandelt diese Reihenentwicklungen in unubertroffe
ner Klarheit und Vollstandigkeit. Fur die wichtigsten Reihenentwicklungen fin
det man oft zwei oder drei verschiedene Zugange mit oder ohne Zuhilfenahme
des Taylorschen Satzes und dazu zahlreiche historische Anmerkungen.
Dem Ausbau der Theorie ist der dritte Tell gewidmet. Er ruhrt in den spateren
Auflagen, bei denen die divergenten Reihen und die zu ihrer Summierung er
dachten Methoden ausfiihrlich dargestellt werden, bis hin zu den damals neue
sten Entwicklungen. An dies en hatte der Autor wesentlichen Anteil. Das betrifft
ganz besonders seine umfassenden Untersuchungen der Verfahren yom
Eulerschen Typ, die man heute Verfahren von Euler-Knopp nennt. Fur eine Ein
ruhrung in die Limitierungs- und Summierungsverfahren ist der "Reihen
Knopp" auch heute noch erste Wahl.
Was ist das Besondere an diesem Buch, welches sind die Ursachen seiner wei
ten Verbreitung, wozu auch Vbersetzungen ins Englische und Polnische gehoren?
Dem Autor ist eine naturliche Begabung rur die akademische Lehre gegeben. In
diesem Buch mit seiner FUlle von Aufgaben und Anmerkungen, die den Stoff in
verschiedener Weise beleuchten und vertiefen, spiegeln sich die groBe Sach
kenntnis, aber auch die vielfaItigen Lehrerfahrungen des Autors in verschiedenen
Landern und Kulturen wider. Knopp schreibt mit Klarheit und Prazision, er ent
wickelt sein Thema ohne Hast. Er schreibt flussig und niemals langatmig; jedoch
VII
ist ihm trockene Kiirze zuwider. Sein Stil ist gewandt, ja elegant, die Lektiire ist
ein GenuG. Wer iiber die unendlichen Reihen mehr als die einfachsten Tatsachen
lernen will, der mage zu diesem Buch greifen.
Wolfgang Walter
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Ausgangspunkt, Umrisse und Ziel einer Lehre von den unendlichen
Reihen liegen nieht fest. Auf der einen Seite kann die gesamte hOhere
Analysis als ein Anwendungsfeld ihrer Theorie angesehen werden, well
aIle Grenzprozesse - einsehlieBlich Differentiation und Integration -
auf die Untersuehung unendlieher Zahlenfolgen oder Reihen zuruck
gehen; auf der anderen Seite, in einem strengsten, aber darum aueh
engsten Sinne, gehoren in ein Lehrbueh der unendlichen Reihen nur
deren Definition, die Handhabung der dam it verbundenen Symbolik
und die Konvergenztheorie.
Unter Besehrankung auf diese Teile behandeln die "Vorlesungen
tiber Zahlen-und Funktionenlehre", Band I, Abteilung 2, von A. PRINGS
HElM unsem Gegenstand. Es konnte nieht die Absicht sein, mit dem vor
liegenden Buehe etwas Ahnliehes zu bieten.
Meine Ziele waren andere: AIle Betraehtungen und Untersuchungen
der hoheren Analysis zusammenzufassen, bei denen die unendliehen
Reihen im Vordergrund des Interesses stehen, mogliehst voraussetzungs
frei, von den erst en Anfangen an, aber fortftihrend bis an die aus
gedehnte Front der gegenwartigen Forsehung, und alles dies mogliehst
lebendig und leieht faBlieh, doeh selbstverstandlieh ohne den gering
sten Verzicht auf Exaktheit, dargestellt, urn so dem Studierenden eine
bequeme EinfUhrung und einen reiehen Einbliek in das vielgestaltige
und fesselnde Stoffgebiet zu geben, - das sehwebte mir vor.
Aber der Stoff wuehs unter den Handen und widersetzte sich der
Gestaltung. Urn etwas Handlieh-Brauehbares zu sehaffen, muBte
darum das Gebiet besehrankt werden. Dabei setzte unvermeidlieh eine
gewisse Willkur ein, deren WaIten nun die Form des Buches und damit
seinen Wert bestimmt. Doeh leiteten mich immer die Erfahrungen,
die ieh im Unterricht gesammeIt - das gesamte Stoffgebiet habe ich
mehrfach in Vorlesungen und Dbungen an den Universitaten Berlin
und Konigsberg behandelt -, und die Zweeke, fUr die das Buch be
stimmt sein soIl: Es soU dem Studierenden bei den Vorlesungen eine zu
verliissige und griindliche Hille bieten und gleichzeitig zur Durcharbeitung
des ganzen Stolfes im Selbststudium geeignet sein.
Dies lctztc lag mir besonders am Herzen und mag die Form der Dar
steHung begreHlich machen. Da es, besonders fUr die jungeren Semester,
x Aus dem Vorwort zur ersten AufJage.
im allgemeinen leichter ist, eine rein mathematische Deduktion nachzu
prufen, als das Zwangslaufige des Gedankenzusammenhanges zu er
kennen, habe ich mich stets bei den begritflichen Schwierigkeiten langer
aufgehaIten und sie durch mannigfache Erlauterungen zu beheben ver
sucht. Und ist mir dadurch auch viel Raum fur Sachliches verloren ge
gangen, so hoffe ich doch, daB es der Le~nende mir danken wird.
Fur unumganglich habe ich es gehalten, mit einer Einfiihrung in
die Lehre von den reellen Zahlen zu beginnen, damit die ersten Kon
vergenztatsachen auf einem soliden Boden wachsen. Hieran schlieBt
sich eine schon ziemlich weitfuhrende Theorie der Zahlenfolgen und
endlich die eigentliche Lehre von den unendlichen Reihen, die dann
gleichsam in zwei Stockwerken aufgebaut wird, einem Unterbau, in
dem mit den bescheidensten Mitteln gearbeitet und doch schon der
klassische Teil der ganzen Lehre, etwa bis zu CAUCHYS Analyse algebrique,
dargelegt wird, und einem Oberbau, der dann von ihrer weiteren Ent
wicklung im 19. Jahrhundert ein Bild zu geben versucht.
Aus den schon genannten Grunden fehlen viele Gegenstande, denen
ich an und fUr sich gem noch Aufnahme gewahrt hatte. Die halb
konvergenten Reihen, die EULERsche Summenformel, Eingehenderes
uber die Gammafunktion, der Problemenkreis der hypergeometrischen
Reihe, die Theorie der Doppelreihen, die neueren Untersuchungen uber
Potenzreihen und besonders eine grundlichere Ausgestaltung des letzten
Kapitels uber divergente Reihen, alles dies mufite ich - schweren
Herzens - beiseite lassen. Dagegen habe ich Zahlenfolgen und Reihen
mit komplexen Gliedem unbedingt aufnehmen zu mussen geglaubt.
Da aber ihre Theorie derjenigen im Reellen fast parallel lauft, habe
ich von Anfang an aIle hierfiir in Betracht kommenden Definitionen
und Satze so formuliert und bewiesen, dan sie ungeandert in Giiltigkeit
bleiben mogen die auftretenden "beliebigen" Zahlen reell oder kom
plex sein. Das Zeichen soIl diese Definitionen und Satze noch be
0
sonders kenntIich machen.
Bei der Auswahl der Aufgaben - die iibrigens auf Originalitat
keinerlei Anspruch machen, bei deren Zusammenstellung vielmehr die
vorhandene Literatur ausgiebig benutzt worden ist - habe ich mich
bemiiht, die praktische Verwendung in den Vordergrund zu stellen
und ein Spiel mit theoretischen Finessen beiseite zu lassen. Darum
findet man z. B. besonders zahlreiche Aufgaben zum VIII. Kapitel und
nur ganz wenige zum IX. Kapitel. Die Losungen der Aufgaben oder
auch nur Anleitungcn dazu beizufiigen, verbot leider der Raum.
Die wichtigsten Abhandlungen, zusammenfassenden Darstellungen
und Lehrbiicher iiber unendliche Reihen sind am Schlusse des Buches
vor dem Register aufgefiihrt.
Konigsberg, September 1921.
Vorwort zur vierten Auflage. XI
Aus den Vorworten zur zweiten und dritten Auflage.
Da die zweite Auflage so liberraschend schnell notwendig geworden
ist, durfte angenommen werden, daB die erste im graBen und ganzen
den richtigen Weg gegangen war. Es ist daher ihre GesamtanIage un
verandert beibehalten, im einzelnen aber Seite fiir Seite im Ausdruck
und in der Beweisfiihrung gebessert worden.
Vollstandig neu bearbeitet und wesentlich erweitert wurde das
letzte Kapitel liber divergente Reihen, das nun schon einigermaBen in
die Theorie selbst hineinfiihrt und von der gegenwartigen Arbeit auf
diesem Gebiete ein Bild gibt.
Die dritte Auflage untetscheidet sich von der zweiten hauptsaeh
lieh dadurch, daB es moglieh geworden ist, ein neues Kapitel fiber die
EULERsehe Summenformel und Asymptotisehe Entwieklungen anzu
fligen, das bei den beiden ersten Auflagen nur ungern beiseite gelassen
worden war. Doeh konnte dieses wiehtige Kapitel in zwischen in ahn
Heher Form in die englische Dbersetzung des Buehes aufgenommen
werden, die 1928 bei BLACKIE & SON LIMITED, London and Glasgow,
erschienen ist.
Darliber hinaus sind alle Teile des Buches wiederum sorgHiltig
durehgearbeitet und ane Beweise, bei denen die Fortschritte der Wissen
schaft oder die Erfahrungen des Unterrichts dies ermoglichten, ver
bessert oder vereinfaeht worden. Dies gilt insbesondere von den Be
weisen der Satze 269 und 287.
Konigsberg, Dezember 1923; Tlibingen, Marz 1931.
Vorwort zur vierten Auflage.
Mit Rlieksicht auf die Zeitverha.1tnisse wurde bei der vierten Auflage
von groBeren Anderungen abgesehen. Doch wurde das Bueh erneut
durehgearbeitet und an zahlreiehen Stellen sind Einzelheiten verbessert,
Unebenheiten beseitigt und manche Beweise vereinfacht worden. Die
Verweise auf die Literatur wurden bis zur Gegenwart erganzt.
Tiibingen, Juli 1947.
Konrad Knopp.