Théorie et Problémes Résolus d'Algèbre Linéaire

214 Pages·2017·8.2 MB·French

MARIANNA EULER ET NORBERT EULER
THÉORIE ET PROBLÈMES
RÉSOLUS D’ALGÈBRE
LINÉAIRE
VOLUME 1 ESPACES EUCLIDIENS
1
Théorie et Problèmes Résolus d’Algèbre Linéaire: Volume 1 Espaces Euclidiens
1e édition
© 2017 Marianna Euler, Norbert Euler & bookboon.com
ISBN 978-87-403-1867-8
Evaluation par : Professor Adrian Constantin, Universität Wien, Österreich/King’s College
London, UK and Professor Denis Blackmore, New Jersey Institute of Technology, USA
Traduit de l’anglais par Benoit Mahault
2
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE Contenu
CONTENU
1 Vecteurs, droites et plans dans R3 9
1.1 Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire 9
1.2 Le produit vectoriel 17
1.3 Les plans et leurs équations 22
1.4 Les droites et leur paramétrisation 29
1.5 Supplément sur les droites et les plans 39
1.6 Exercices 56
2 Algèbre matricielle et pivot de Gauss 63
2.1 L’addition et la multiplication de matrices 63
2.2 Le déterminant de matrices carrées 70
2.3 Les matrices carrées inversibles 76
2.4 La méthode du pivot de Gauss pour les systémes d’équations linéaires 81
2.5 Les systèmes d’équations linéaires carrés 86
2.6 Les systèmes d’équations linéaires dans R3 94
2.7 Intersection des droites dans R3 107
2.8 Exercises 111
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THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE Contenu
3 Familles génératrices et familles libres 121
3.1 Combinaisons linéaires de vecteurs 121
3.2 Familles génératrices 128
3.3 Les familles libres et liées 133
3.4 Exercices 142
4 Applications linéaires entre espaces euclidiens 147
4.1 Applications linéaires : ensemble de dénition et ensemble image 147
4.2 Matrices canoniques et applications composées 154
4.3 Les applications linéaires inversibles 183
4.4 Exercices 192
A Le calcul matriciel avec Maple 205
4
5
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE PréfaCe
Pr´eface
Ce livre est le premier d’une s´erie de trois ouvrages intitul´es Th´eorie et Probl`emes
R´esolus d’alg`ebre lin´eaire. Cette premi`ere partie traite des vecteurs en espace euclidien,
desmatricesainsiquedeleuralg`ebre,etdessyst`emesd’´equationslin´eaires.Nousr´esolvons
des syst`emes lin´eaires en utilisant, entre autres, la m´ethode du pivot de Gauss et´etudions
les propri´et´es de ces syst`emes `a l’aide des vecteurs et des matrices. De plus, nous nous
int´eressons aux applications lin´eaires de la forme T : Rn Rm et calculons la matrices
→
canonique les d´ecrivant.
La seconde partie de cette s´erie est intitul´ee Espaces Vectoriels (pas encore disponible
en franc¸ais). Dans celle-ci nous d´efinissons les concepts d’espace vectoriel, de base, de
dimensionetdecoordonn´eesdanscesespaces.Cequinousam`eneauxapplicationslin´eaires
entre espaces vectoriels et euclidiens. Nous ´etudions aussi plusieurs espaces euclidiens,
par exemple l’espace nul, l’espace colonne ainsi que l’espace propre des matrices. Nous
utilisons ensuite les vecteurs propres et des transformations similaires afin de diagonaliser
les matrices carr´ees.
Dans la troisi`eme partie, intitul´ee Espaces pr´ehilbertiens (pas encore disponible en
franc¸ais), nous incluons le produit scalaire de deux vecteurs aux espaces vectoriels. Ceci
rend possible les d´efinitions des bases orthogonales et orthonorm´ees, des espaces orthogo-
nauxainsiquedesprojectionsorthogonalesdesvecteurssurdessousespacesdedimension
finie. La m´ethode dite des moindres carr´es est introduite comme la meilleure approxima-
tion des syst`emes lin´eaires incompatibles Ax = b.
Le but de cette s´erie est de fournir aux ´etudiants un ensemble structur´e de probl`emes
r´esolus soigneusement choisis ainsi qu’une opportunit´e d’approfondir leurs connaissances
acquises en cours d’alg`ebre lin´eaire. Chaque chapitre comporte un bref r´esum´e des notions
th´eoriques importantes dans les Notes th´eoriques. Elles sont suivies par une s´election
de Probl`emes en rapport avec ces concepts, puis pour chacun une Solution d´etaill´ee est
fournie. Enfin, `a la fin de chaque chapitre se trouve une liste d’exercices li´es aux probl`emes
(avec solutions). Cette structure est commune `a tous les ouvrages de la s´erie.
Cette architecture particuli`ere fait que ces livres ne sont pas des manuels traditionnels
d’un cours d’alg`ebre lin´eaire. Nous pensons au contraire qu’il peuvent ˆetre utiles en tant
que support `a un manuel classique. Nous cherchons `a guider les ´etudiants, en particulier
ceux venant des fili`eres techniques et scientifiques, en leur fournissant les outils afin qu’ils
acqui`erent une meilleure compr´ehension des notions abstraites d’alg`ebre lin´eaire. Cette
s´erie peut aussi servir au d´eveloppement et `a l’am´elioration des techniques de r´esolution
de probl`emes. Nous pr´evoyons que les ´etudiants trouveront ici des m´ethodes alternatives,
ainsiquedesexercicesallantaudel`adecequiestclassiquementpropos´eenalg`ebrelin´eaire,
et nous esp´erons que ceci augmentera leur int´erˆet pour le sujet.
5
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE note aux etudiants
6
Note aux ´etudiants
Nous sugg´erons que vous vous attaquiez d’abord aux Probl`emes par vous mˆeme, avec
l’aide fournie par les Notes th´eoriques ci n´ecessaire, avant de lire les Solutions pro-
pos´ees. Nous pensons que cette fa¸con d’´etudier l’alg`ebre lin´eaire vous sera utile car elle
devrait vous permettre de faire de nouvelles connexions entre les diff´erents concepts et
possiblement d’apprendre des m´ethodes alternatives `a la r´esolution de probl`emes.
Chaquesouspartiedechaquechapitredecelivre(quiconstituelapremi`erepartiedecette
s´erie sur l’alg`ebre lin´eaire) est g´en´eralement auto consistante, vous devriez donc pouvoir
travailler sur les probl`emes dans l’ordre que vous pr´ef´erez. Par cons´equent si vous voulez
´etudier le dernier chapitre, vous n’avez pas besoin de traiter tous les chapitres pr´ec´edents.
Afindefaciliterlalecturedulivrenousavons,enplusdelatabledesmati`eresetdel’index
pr´esents au d´ebut et a` la fin, utilis´e les couleurs pour indiquer les Notes th´eoriques,
Probl`emes et Solutions.
Ce livre comprend plus de 100 probl`emes r´esolus et plus de 100 exercices avec solu-
tions. Bonne lecture!
Marianna Euler et Norbert Euler Lule˚a, avril 2016
6
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE notations
7
Notations
R: L’ensemble des nombres r´eels.
Rn : L’espace euclidien contenant les vecteurs `a n composantes
v =(v1,v2,...,vn) pour tout vj R.
∈
v : La norme (ou longueur) du vecteur v.
(cid:30) (cid:30)
v
vˆ : Le vecteur unitaire orient´e selon v; vˆ = .
v
(cid:30) (cid:30)
−P−1−P→2 : Le vecteur de R3 pointant de P1 `a P2.
u v : Le produit scalaire des vecteurs u et v dans Rn.
·
u v : Le produit vectoriel des vecteurs u et v dans R3.
×
u (v w): Le produit mixte des vecteurs u, v et w dans R3.
· ×
proj u: La projection orthogonale du vecteur u sur le vecteur v.
v
e1, e2, , en : La base canonique de Rn.
{ ··· }
A=[a1 a2 an]=[aij]: Une matrice m n form´ee des colonnes aj Rm, j =1,2,...,n.
··· × ∈
In =[e1 e2 en]: La matrice identit´e n n avec ej les vecteurs de la base canonique de Rn.
··· ×
detA or A : Le d´eterminant de la matrice carr´ee A.
| |
A 1 : La matrice inverse de la matrice carr´ee A.
−
l
A B : Les matrices A et B sont l-´equivalentes (ligne-´equivalentes).
∼
[A b]: La matrice augment´ee correspondant `a l’´equation Ax=b.
Vect u , u , ,u : Le sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs u , u , ,u .
1 2 p 1 2 p
{ ··· } { ··· }
7
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE notations (suite)
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Notations (suite)
T : Rn Rm : Une application des vecteurs de Rn dans Rm.
→
C : Le codomaine (ou ensemble d’arriv´ee) de l’application T.
T
: L’ensemble de d´efinition de l’application T.
T
D
R : L’ensemble image de l’application T.
T
T : x T(x) : Une application T associant T(x) `a un vecteur x.
(cid:29)→
T : x T(x) = Ax : Une application lin´eaire T associant au vecteur x le vecteur Ax.
(cid:29)→
T T : Une application compos´ee.
2 1
◦
T 1 : L’application r´eciproque de T.
−
Remerciements
Nous tenons `a remercier chaleureusement nos coll`egues Dr. Stefan Ericsson et Dr. Johan
Bystr¨om pour leur lecture de la Premi`ere Edition et leurs remarques pr´ecieuses. Nous
remercions aussi Dr. Ove Edlund pour ses remarques utiles concernant l’annexe de cette
Seconde Edition.
8
THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS
D’ALGÈBRE LINÉAIRE VeCteurs, droites et Plans dans r3
Chapitre 1
3
Vecteurs, droites et plans dans
R
Le but de ce chapitre :
Nous consid´erons les vecteurs de l’espace euclidien R3 et utilisons les op´erations usuelles
de l’addition de vecteurs, la multiplication de vecteurs par des scalaires (nombres r´eels), le
produit scalaire, et le produit vectoriel de deux vecteurs afin de calculer des longueurs, des
aires, des volumes et les projections orthogonales d’un vecteur sur un autre vecteur (ou
sur une droite). Nous nous servons de ces vecteurs pour param´etrer les droites et trouver
les ´equations de plan dans R3. Nous montrons comment calculer les distances entre un
point et une droite, un point et un plan, entre deux plans, une droite et un plan, mais
aussi entre deux droites dans R3.
1.1 Op´erations sur les vecteurs et le produit scalaire
Dans ce sous-chapitre nous´etudions les op´erations usuelles sur les vecteurs de R3, dont
le produit scalaire. Nous appliquons ces connaissances au calcul de la longueur (ou norme)
d’un vecteur, la distance et l’angle entre deux vecteurs, ainsi que la projection orthogonale
d’un vecteur sur un autre et la r´eflexion d’un vecteur par rapport `a un autre.
Note th´eorique 1.1.
Consid´erons les trois vecteurs u, v et w dans R3. Supposons qu’ils aient pour origine
(0,0,0) et se terminent respectivement aux points (u ,u ,u ), (v ,v ,v ) et (w ,w ,w ).
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Onappellecesdernierscoordonn´eesdesvecteurs,r´eciproquementu, vetwsontnomm´es
les vecteurs position associ´es. Nous ´ecrivons donc
u = (u ,u ,u ), v = (v ,v ,v ), w = (w ,w ,w ).
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Levecteurpositionuassoci´eaupointP ayantpourcoordonn´ees(u ,u ,u )estmontr´e`ala
1 2 3
figure1.1.Afind’all´egerlesnotations,nousd´esigneronsparP : (u ,u ,u )lescoordonn´ees
1 2 3
du point P. L’addition de deux vecteurs u et v, not´ee u+v, est le vecteur de R3 s’´ecrivant
u+v = (u +v ,u +v ,u +v ).
1 1 2 2 3 3
9
9