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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ (cid:70)(cid:70) Fakultät fu¨r Physik und Astronomie der Ruhr-Universität Bochum Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Institut fu¨r Theoretische Physik Weltraum- und Astrophysik Manuskript zur Vorlesung Theoretische Physik II: Elektrodynamik 3. korrigierte Auflage – basierend auf Vorlesungen gehalten von R. Schlickeiser – Bochum 2009 Vorlesung Theoretische Physik II (Elektrodynamik) gehalten von R. Schlickeiser Reinhard Schlickeiser Institut fu¨r Theoretische Physik Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik 3. korrigierte Auflage Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 0.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Einfu¨hrung 3 1.1 Vier Bereiche der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Vier Grundkräfte der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Historische Entwicklung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Eigenschaften der elektrischen Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Mathematische Voru¨berlegungen 7 2.1 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Differentiation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Koordinatenlinien und Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Festlegung von Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Beispiel: Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Der Nabla-Operator ∇(cid:126) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Rechenregeln fu¨r vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 Produktregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.3 Quotientenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Kombination verschiedener vektorieller Differentialoperatoren . . . . . 20 2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.5 Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.6 Beispiel: Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Integralrechnung mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 i Inhaltsverzeichnis 2.6.1 Integration von Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.2 Integration von Divergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.3 Integration von Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.4 Sätze von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7 Dirac’s Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7.1 Divergenz von (cid:126)e /r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 r 2.7.2 Die eindimensionale Delta-Funktion δ(x−x ) . . . . . . . . . . . . . 34 0 2.7.3 Einschub: Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . 36 2.7.4 Eigenschaften der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7.5 Die dreidimensionale Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 Helmholtz-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.9 Skalare Potentiale und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Elektrostatik 43 3.1 Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Differentielle Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Integralform der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Anwendung des Gauß-Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.1 Feld einer homogenen geladenen Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.2 Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 Elektrostatische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6.1 Energie einer Punktladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6.2 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7.1 Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.7.2 Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.7.3 Leiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.8 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.1 Formulierung des Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.2 Partikuläre und homogene Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.3 Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.8.4 Greensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,begrenzten Ladungsver- teilung nach Multipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9.1 Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9.2 Eigenschaften der Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.9.3 Multipolentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.9.4 Beispiel: Der physikalische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.10 Spiegelungsmethode oder Methode der Bildladungen . . . . . . . . . . . . . 72 3.10.1 Beispiel: Punktladung vor geerdeter, unendlich ausgedehnter Metall- platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ii Inhaltsverzeichnis 3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen . . . . . . . . . . . 75 3.11.1 Ebenes Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.11.2 Methode der konformen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.11.3 Beispiel: Gerader geladener Draht durch den Ursprung und senkrecht zur Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.12 Lösung der Laplace-Gleichung durch Separationsansatz . . . . . . . . . . . . 80 3.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.12.2 Zylindersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.12.3 Entwicklung nach Legendre-Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.12.4 Zylindersymmetrisches Beispiel: Leitende Kugel im homogenen Feld . 84 3.12.5 Assoziierte Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.12.6 Inneres und äußeres Dirichletproblem fu¨r die Kugel . . . . . . . . . . 89 4 Magnetostatik 91 4.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Stromdichte und Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 Mikroskopische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Ampère-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Magnetische Induktion und Biot-Savart-Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3.1 Beispiel: Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.2 Beispiel: Magnetfeld eines geraden Leiters . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Differentielle Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Integralform der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.7 Multipolentwicklung fu¨r das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.7.1 Hilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.7.2 Magnetisches Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.7.3 Magnetisches Moment eines geschlossenen, ebenen Stromkreises . . . 109 4.7.4 Magnetisches Moment eines Systems von Punktladungen . . . . . . . 109 4.8 Beispiel: Magnetfeld durch Gleichstrom im Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . 110 5 Maxwell-Gleichungen 117 5.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Feldgleichungen vor Maxwell fu¨r zeitabhängige Felder . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Verschiebungsstrom (oder: wie Maxwell das Ampere-Gesetz reparierte) . . . . 119 5.4 Elektromagnetische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5.1 Lorenz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5.2 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6 Energiesatz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7 Impulssatz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.8 Lagrange- und Hamilton-Funktion eines geladenen Teilchens im elektroma- gnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 iii Inhaltsverzeichnis 6 Elektromagnetische Wellen und Strahlung 133 6.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.2 Ebene, monochromatische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.1.3 Linearkombination von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . . . 136 6.1.4 Potentiale und Felder von ebenen, monochromatischen Wellen . . . . 137 6.1.5 Energiedichte und Poynting-Vektor der ebenen, monochromatischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.2 Inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2.1 Singuläre Funktionen der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2.2 Viererpotential einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.3 Elektrische Feldstärke einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . 154 6.2.4 Magnetische Feldstärke einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . 160 6.3 Energieabstrahlung einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.3.1 Larmor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.3.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.3.3 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.4 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie 177 7.1 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2.1 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren und Vierer-Tensoren . . . . . . . . . . 180 7.3 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3.1 Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.3.2 Kovariante Maxwellgleichungen und Feldstärketensor . . . . . . . . . 183 7.3.3 Lorentz-Transformation der Feldstärken . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.4 Lagrange- und Hamilton-Formalismus fu¨r Felder . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.4.1 Lagrange-Dichte und Hamilton-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.4.2 Klein-Gordon-Lagrange-Dichte fu¨r ein skalares (Spin 0) Feld . . . . . 187 7.4.3 Proca-Lagrange-Dichte fu¨r ein Vektor-Feld (Spin 1) . . . . . . . . . . 188 7.4.4 Maxwell-Lagrange-Dichte fu¨r ein masseloses Vektor-Feld mit Quelle jµ189 7.4.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8 Elektrodynamik in Materie 191 8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.1.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.1.2 Feld eines polarisierten Objekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.1.3 Beispiel: Elektrisches Feld einer gleichförmig polarisierten Kugel vom Radius R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.1.4 Elektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.1.5 Lineare Dielektrika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 iv Inhaltsverzeichnis 8.1.6 Beispiel:KugelauslinearemdielektrischenMaterialimgleichförmigen elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.2 Magnetisierte Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.2.1 Suszeptibilität und Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.3 Maxwell-Gleichungen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.1 Maxwell-Gleichungen in integraler Form . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.2 Maxwell-Gleichungen in differentieller Form . . . . . . . . . . . . . . 209 A Anhang 211 A.1 Mathematischer Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.1.1 Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.1.2 Eulersche Formeln und Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.1.3 Darstellung des ∇(cid:126)-Operators in verschiedenen Koordinatensystemen . 211 A.1.4 Rechenregeln fu¨r den ∇(cid:126)-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 A.2 Empfohlene Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 A.2.1 Bu¨cher zur Theoretischen Elektrodynamik: . . . . . . . . . . . . . . . 213 A.2.2 Bu¨cher fu¨r mathematische Formeln (“Grundausstattung”): . . . . . . 213 A.2.3 Bu¨cher fu¨r mathematische Physik (“Grundausstattung”): . . . . . . . 213 v Inhaltsverzeichnis vi

Theoretische Physik II: Elektrodynamik PDF

223 Pages·2009·1.241 MB·German

by Reinhard Schlickeiser

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by Reinhard Schlickeiser| 2009| 223 pages| 1.241| German

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Detailed Information

Author:	Reinhard Schlickeiser
Publication Year:	2009
ISBN:	2243811
Pages:	223
Language:	German
File Size:	1.241
Format:	PDF
Price:	FREE

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