Table Of ContentVALTER OLARIU, VALERIU PREPELIŢĂ
TEORIA DISTRIBUŢIILOR,
FUNCŢII COMPLEXE Şl APLICAŢII
CD
EDITURA ŞTIINŢIFICA Şl ENCICLOPEDICA _
Bucureşti, 1986
CAPITOLUL I
DISTRIBUŢII PERIODICE
1. Funcţii continue periodice. Funcţii indefinit
derivabile periodice
Fie / : R -» C, deci f(x) = f-^x) + i/ («), unde f = Ee / este
2 x
partea reală a Ini / iar / = Im/ este partea imaginară a aceleiaşi
2
funcţii /. Vom spune că / este continuă pe R şi vom scrie / e C(R)
dacă pentru orice s > 0 există § = S( e, #) > 0 astfel încît sa avem
d'(m,m) =i\m]-m\\<\e
pentru orice y e IR care verifică d(y, x) < 8, w e IR fiind arbitrar
(s-a notat prin ă' distanţa din spaţiul metric (C, d') iar prin (?, dis
tanţa din spaţiul metric (R, d) (vezi A. M*. cap. II, pct. 1). Fie p e R,
p ^ 0 ; funcţia / : R -» C va fi periodică cu perioada p dacă avem
/(a; + p) = f(x) pentru orice x e [R (1)
Daca (1) se verifică, se deduce
f(x + 2p) =/[(* + j>) + i>] =/(•* + p) =f(x),
f(x - p) =f[(sB - p) + p] =f(x)
ceea ee înseamnă că dacă / este periodică cu perioada p, f va fi
de asemeni periodică, cu perioada 2p sau cu perioada—^ ; mai gene
ral, din aproape în aproape se arată că dacă / este periodică cu pe-
rioda p, ea va fi periodică şi eu perioada kp, Ic e ÎL. în plus, dacă
/ : R -> C este periodică cu perioada p ¥=0, atunci funcţia g : R -> C
definită prin
va fi periodică eu perioada 2n; într-adevăr,
P j(M. + \p^=fţj2L y )
g(x + 2TT) = / (a? 4-9, = x x =g{SB
*) în această carte prin A.M. se înţelege manualul de Analiză matematică elaborat de A. Halanay,
V. Olariu ?i S. Turbatu apărut }a Editura Didactică ţi Pedagogică, Bucureşti 1983.
5
deoarece \p\ este perioadă pentru / odată cu p. De aceea, fără a
se micşora generalitatea, se poate presupune p = 2TU, ipoteză care
va fi utilizată permanent în viitor.
Definiţia 1. Prin fi se va înţelege mulţimea funcţiilor continue
pe K şi periodice iar prin 2 se va înţelege mulţimea funcţiilor inde
finit ăerivabile pe K, periodice.
Evident Scfi iar 2#fi, deoarece, de exemplu avem / e fi şi
/^2 dacă/(#) = |sin x\ (această funcţie nu este derivabilă în punc
tele * = nr., n e7L deci nu este nici indefinit derivabilă); funcţiile
sin (nx), cos (nx), cis (nx) = eiM:, n eTL vor fi evident funcţii perio
dice indefinit derivabile.
Mulţimea fi este un spaţiu vectorial complex in care operaţia
de înmulţire cu scalari şi de adunare a elementelor din fi se defi
nesc în mod natural prin
{af)(x) = af(x), a e <£, f e<2, x e \R
iar {af)(x + p) = a/(a + p) = a/(a?) = («/)(#) şi (,/ + <j)(a> + p) =
= /(a; + j») + ff(* + i>) =/(») + fif(®) = (/ + <?)(.*) ; deci af e fi, / +
# e fi. Celelalte axiome ale spaţiilor vectoriale se verifică de ase
menea imediat. De remarcat că fi are de fapt o structură de alge
bră, deoarece dacă /, g e fi, definind produsul fg prin
Ug){%) =Ă®)g(x)
avem evident fg e fi ^ deoarece (/#)(# + 2>) = /(» -f p)(g{x -f |>) =
— f(x)g(x) = (fg)(x). în această algebră (comutativă) unitatea va
fi funcţia e{x) = 1, a; e ER.
Dacă/e fi iar/ este derivabilă în orice punct din ER, vom nota
f'(x) = (Df)(x) = D/(a?) şi este uşor de verificat periodicitatea (cu
perioada p) a funcţiei g = D/; într-adevăr,
(, + ,) = /•(. + „ - D/i, + „ - hm A»+>+»)-/(»+» _
S
/*-+o fi
/(£±JLrAg) ,,), R.
= lim = m = f/( a e
/<->o Ta
în mod analog, dacă există derivatele /" = D2/,. . .,/<*> —
= D*/[ = (D*-1/)'] ele vor fi periodice ; de aceea dacă / e 2, / va
admite derivate de orice ordin în orice punct a? e IR iar toate aceste
derivate vor fi periodice cu perioada p, ceea ce înseamnă că 2 va
fi un subspaţiu al lui fi în sensul spaţiilor vectoriale (adică dacă u,
v sînt elemente oarecare din 2, pentru orice a, b e (C avem au +
+ bv e 2, iar în 2 vor fi valaMe axiomele spaţiului vectorial).
Este uşor de stabilit că £ este un spaţiu vectorial normat, defi
nind norma elementului / e 6 prin
||/|1= sup [/(«Ol (2)
*e[0, 2TT]
(evident în loc de intervalul [0,2TC] se poate considera orice alt in
terval [a, a + 27t], a e tR, avînd lungimea egală cu 2it) ; faptul că
(2) defineşte o normă se realizează exact la fel ca în A.M. pag. 141.
Teorema 1. Spaţiul vectorial <S înzestrat cu norma (2) este un
spaţiu Banach.
Deoarece un spaţiu Banach este un spaţiu vectorial normat şi complet teorema va
fi demonstrată dacă arătăm că şirurile fundamentale în fi (distanţa în S fiind definită
cu ajutorul normei (2)), sint convergente către elemente din fi. Fie deci (/»)*>l un şir din
6 considerat ca spaţiu metric în raport cu distanţa
d(fn,fm) = \\fn~ fm\\;
cu alte cuvinte, pentru orice e > 0 există A7 = AT(s) e [N astfel incit să avem d (f, f ) < z,
n m
dacă n > m ^ N. Deci, avem
sup \h(x) — f {x)\ < £ dacă n > m ~S N;
m
*e [O,2TT]
aceasta înseamnă că pentru orice x€ [0,2 n] avem \f(x) — fm(z) I < e pentru n > m> A7,
n
ceea ce arată că şirul de funcţii continue (fn)n>l este uniform convergent în intervalul
[0, 2-]. Rezultă eă funcţia limită /'= lim f va fi continuă în [0, 2ÎT] şi deoarece f„ sînt
n
n->ao
funcţii periodice, cu.perioada 2TC, şi f va avea aceeaşi proprietate [f(x) = lim f{x) =
n
«-+oo
= lim f(x - 2rt) = f(x + 2-), xBJR]
n
K-»OO
Observaţia 1. Teorema 1 arată că spaţiiil metric (<£, ă), d(f, g) =
= ||/ — g\\, norma fiind definită prin (2), este un spaţiu metric com
plet.
Mulţimea <2 definită anterior conţine un număr suficient de
mare de elemente ; astfel utilizînd rezultatul de la pag. 111 din A.M.
orice două şiruri (a„)„ , (&„)»> 1 din C verificînd condiţia
>0
oo
£ (KI.+ l&JX°o (3)
vor defini elemente din S scriind
1 °°
f{x) = —a + V [a„coi(nx) + b sm(nx)] (3')
Q n
2 «=i
deoarece din (3) se deduce că seria (3') este uniform convergentă
pe ER deci va defini o funcţie continuă pe ER (cu valori în C) care
este evident periodică cu perioada 2-.
în cazul mulţimii 2 a funcţiilor periodice indefinit derivabile
lucrurile sînt mai complicate dacă avem în vedere lema 2 din A.M.
pag. 114 ; această lemă arată că nu orice serie trigonometrică (3')
poate fi indefinit derivabilă oricare ar fi şirurile (a„)»>o, (&»)«»\,
deci teorema 1 nu poate fi extinsă direct de la spaţiul <2 la spaţiul
2. Extensia se poate realiza utilizînd noţiunea de spaţiu vectorial
numărabil normat în care rolul principal îl joacă noţiunea de semi
normă.
Definiţia 2. Fie X un spaţiu vectorial complex ; o aplicaţie
n :X-*\R, k = 1, 2, . . .
k
va fi numită seminormă pe X dacă se verifică următoarele proprie
tăţi :
I : %•(/)>0) pentru orice / e l;
II : n (af) = \a\n (f), pentru orice / el şi orice a e (£ ;
k k
III: n (f -r g)^n (f) + » (^), j>en«ru orice /, jr e X.
k k 4
Observaţia 2. O seminormă definită pe spaţiul vectorial X va
fi o normă în acelaşi spaţiu dacă în plus din n (f) — 0 se deduce f = 0.
k
Teorema 2. Dacă în spaţiul vectorial X s-a definit un şir (n)k>i
t
de seminorme cu proprietatea
%(/) = 0, fc = 1, 2,. . . . implică f = 0,
atunci introducînd distanţa dintre elementele f,geX prin
d(f, «,)"= V %(/ ~ ff) (4)
â2'[i + (/-j)]
%
spaţiul (X, d) devine un spaţiu metric.
Trebuie arătat că (4) defineşte o distanţă in X; or, seria din (4) este convergentă
o00o tt I,
fiind majorată de seria geometrică V1 j —~—^T ( ddeeooaarie ce din nk(li) ^ 0 şi 1 + nk(h) >
> n(h), se deduce — <1J iar în plus d(f, g) < V -— = 1. Prin urmare
k
1 + n*(A) ' / *""" ""' " ~ f i 2*
7i
d : X x X -> fO, 1[. Dacă f= g aven /ijt (J — g) = 0, deci d(f, (?) = 0 şi reciproc, dacă
d(f,g)=0, seria din (4) avind toţi termeni pozitivi, nu va avea suma nulă decît dacă n(f—
k
— g) = 0 k = 1, 2,. . . ceea ce potrivi, ipotezei antrenează f — g = 0, deci f=g- Evi
dent <%, f) = d(f, </) (deoarece n(g — F) =n(f— g). /c—l, 2,. . .) iar inegalitatea triun-
k k
a b c.
ghiului rezultă imediat din inegalitatea ^ \ valabilă pentru orice
i -j- a 1 J- S 1 + c
a>0, 6^0, c^0 cu a<ft + c, înlocuind a, 6, c prin n (f — </), n(f — h) şi ni('' — ?)
k k
1
--.respectiv si însumind după Înmulţire ci
^^i— _ ' 2*
Definiţia 3. în condiţiile teoremei 2, dacă spaţiul metric (X, d)
este complet, atunci X se numeşte spaţiu Frechet.
Teorema 3. Spaţiul 2 al funcţiilor periodice indefinit derivabile
este un spatia Firchet, dacă în 2 se definesc seminormele
%.(./) = sup \Dlf(x) |, Ic = 0, 1, 2, 3,... . (5)
*e[0,2Tu]
Anterior s-a arătat că 3 este un spaţiu vectorial complex ; evident, prin (5) se defi
neşte o familie numărabilă de seminorme in 2, deoarece condiţiile I, II şi III din
definiţia 2 se verifică. în plus, pentru k = 1 se deduce din n(f) = 0 condiţia f(x) = 0,
0
xe [0, 2TT] deci ţ = 0. Mai rămjne de arătat că în metrica
... , £ n^(ţ-g)
t
*=12* I1 + nk-i(f- g)]
(dedusă din (4) prin înlocuirea lui k prin k — 1) orice şir fundamental din â converge
către un element din S. Pentru un ke IN şi un c > 0, fie N£ IN suficient de mare astfel
încît pentru n, rn^-N să avem
2*-i[l+ ||D*fi,-D*fi»|l] " '>'-2
0
atunci, pentru JI, m^N rezultă
!DfB D« l -2 *-i <2 - _ |<
2 2 2tllxl|DtfB I)i/m1
< £, 2*«(1 + ||D*/Î, - D» 1) - - d(r"' W < B-
W
s-a folosit faptul că d(/j,, f ) < 1 ceea ce face să avem ||D*f» — Dkfm\\ < 1» adică
m
(
\\D*fn - D*faH ^ l)D*f»^D*/W«,.I I \, ff , +. . , . .. ,
< ; HĂ\l I. îInn baza raţionamentului din demonstraţia
2 1 + ||D*/i - D*/- '
M
teoremei 1 rezultă existenţa unui element /e S astfel încît rf(f,„ f) < s pentru toţi n^N.
în baza teoremei 3 este naturală următoarea definiţie :
Definiţia 4. Z7» şir (/«)»> i (?m 2 «a converge către / e 2, 1% sew-
stt? convergenţei din 2 (Zacă pentru orice Te = 0, 1, 2,.. . ««w
|I>7»(*) — £>*/(«) I ~> 0(» -* oo) oricare ar/i « e ER (7)
şt yow scrie-f —•/.
n
Evident, condiţia (7) se transcrie astfeZ: şirul (/„)„> i din 2
va converge către / 6 2 (deci /„ —•/) dacă pentru orice s >0 există
M = JV(e) e Q\| astfel încît să avem
UD*/, - D*/H < e dacă n>N ,V AeQvl (8)
9
Teorema 4. Şirul (/»)»> 1 din 2 converge către / e 2 dacă şi numai
dacă acest şir converge către f în sensul distanţei (6) iar un şir (/„)„> i
di» 2 este fundamental în 2 (foca şi ritmai dacă acest şir este fundamen
tal în sensul convergenţei definite prin distanţa (6).
Teorema 3 arată câ dacă şirul (f )»t>i din 2 este astfel încît pentru orice s > 0
re
există JV = N(e)elN cu proprietatea d(f , ţ ) < e dacă n > m^N, atunci există f£ S
n m
astfel incit fn-^f; o simplă modificare a acestei demonstraţii arată că dacă d(f , f) < e
n
pentru n^N(s), atunci f-Z-,f. Reciproc, dacă f„—>f sau dacă (f)n>l este un şir funda
n n
mental din 3, atunci avem d(f , f) -> 0 (n -> oo) respectiv d(f , fm) -* 0 (n, m -> co) ;
n n
vom realiza demonstraţia pentru şirurile (f )«>l fundamentale din ă, în celălalt caz de-
ra
1
monstraţia fiind similară. Fie s > 0 dat, A^etN suficient de mare pentru a avea—— <s
2 °
şi A7 e IM astfel incit să avem
[|D'f« - DJ/Wll < ~> J = °> l> • • •' k»> n > m > N •
calculînd d(f , f ) rezultă
n m
\\Dkf - D*f H i» \\D*f - D*/W||
n m n
<*(/»> fm') = 5j
to 2*+1(l + UD*/". - D*Ml) »f o 2*+1(l + l|D*f, - D*ft,H)
Ă
" HD*f„ - D*f \\
m
' »_£ 2*«(1 + ||D*/W - D*f»||)
+1
şi dacă n, m>IV se deduce, deoarece 1 + UD*/» — D'frall^l.
1
A ~E oo ^ _ ^
0 g
Un rezultat important relativ la spaţiile de funcţii periodice <2
şi 2 este dat de
Teorema 5. Spaţiul 2 este dews wi spaţiul & în sensul metricii
uniforme (2) {cu alte cuvinte, pentru orice / e S există un şir (<p„)
di« P asij/eZ 2wc& lim <p„(a?) =f{x), x e IR, convergenţa fiind uniformă).
n->oo
Pentru demonstaţie se poate utiliza teorema lui Weierstrass de aproximare uni
formă a funcţiilor continue pe un compact prin polinoame algebrice (vezi A.M. pag.
275 — 277) ; deci dacă g€ C°(D), D<=<D, D compact, există şirul (p)»>0 de polinoame alge
n
brice astfel incit g(s)= lim p„(z), ze X)*>. Scriind z=cis(x), .re [0,2TT] şi notînd gr[cis(x)] =
= f(x), p[cis(x)] = <P»(x) avem lim <p(x) =f(x), xS [0. 2ir], convergenţa fiind uniforme
a n
n-*co
iar evident tp eS, deoarece dacă p(t)=x+a.l+ . . . +atn, avem tp»(x)=(p» cis)(x)=
re n 0 1 n 0
= cc + acis(x) -f acis2(x) +.. .-f acis'î(x) = a + c^e1* + ae2ia: -j- . . . -f^e^eS
0 1 2 n 0 2
Se presupune că discul unitate B(0) este inclus în D.
x
10
Observaţia: 3. Deoarece funcţia 9^ este un polinom trigono
metric complex, înţelegînd prin polinoame trigonometrice complexe
funcţiile de forma J] ^ifim% a e C, Te = 0, ± 1,, . . ., rb n, n e 2£,
t
teorema o arată că orice element din <2 poate fi aproximat uniform
prin polinoame trigonometrice (complexe). Prin calcule elementare
se poate arăta că dacă/ 6 S are valori reale, atunci/ poate fi aproxi
mat uniform prin polinoame trigonometrice reale, adică prin funcţii
de forma
k
t (x) = « + £ [a. cos(kx) + psin(fca?)], % e QsJ,- a, p, 6 0? •
n 0 k t s £
*=i
care sînt evident elemente din â.
Observaţia 4. Teorema 5 se poate reformula scriind S~ = <S,
unde S~ este închiderea mulţimii 2 în raport cu metrica uni
formă (2).
2. Convoluţia funcţiilor periodice şi proprietăţile ei.
Funcţionale
Fie S şi 2 spaţiile de funcţii definite la punctul 1.
Definiţia 1. Bacă f e <3 şi t e K, prin translaţia lui f prin t se
înţelege funcţia TJ : K -> C definită prin
(TJ)(x) = f(x - t), x e & (1)
Vom utiliza şi notaţia TJ(x) pentru funcţia translatată (TJ)(x);
evident TJ e & dacă / e <B şi T / € â dacă / e S iar dacă / are valori
{
reale, graficul lui TJ se deduce din graficul lui/ prin deplasarea aces
tuia din urmă prin t unităţi spre dreapta (dacă t > 0) sau prin de
plasarea cu t unităţi spre stingă, dacă t < 0. Sînt evidente proprie
tăţile :
(Tofm =m, T {T f)(x) - (T J)(x) (2)
s t s+
Definiţia 2. Dacă f, g e S, jir» convoluţia funcţiilor f şi g se
înţelege funcţia /-)fgr:IR-> C definită prin
(/-# 2)(.r) - -^-[/(* - %(«)<« = ~[(TJ)(x)g(t)dt (3)
2TT J 2TT J
o o
Se va utiliza şi notaţia f(x) •%• g(x) pentru convoluţia (3) şi se observă
că din definiţie rezultă că funcţia /-X-gr este exprimată cu ajutorul
unei integrale cu parametru; conform teoriei generale a acestor
integrale (vezi A.M. cap. II, III, punctul 3), dacă /, g e <2 atunci
/-X g € £ iar dacă /, gr e S, atunci /-X # e 2.
li
Pentru funcţiile f e S, periodice cu perioada p¥=0 este valabilă
egalitatea
[ f(s)ds == C\/ (*)d* (4)
pentru orice t e OR ; într-adevăr scriindC /V(* )/d(s )d=s C= V /(s)ds
Q S
+ V jf(*)ds + \ f(s)ăs, cu schimbarea s -» s + p rezultă k f(s)ăs =
Op p
-\n+,W-\x*>* «olcind i period.ciU.ea lui /, ceea ce
9
O O
coincide cu (4).
La baza egalităţii (4), convoluţia f-y-g poate fi definită şi prin
TU
(/•* ff)(®) = T - ţ /^ - %(*)d* (3')
2TC J
— re
deoarece funcţia t -+f(oc — t)g(t) este continuă şi periodică (cu peri
oada 2TT) sau chiar prin relaţia
*0+2TT
(/* fiOM = "^- 5 f& - %(*)d<, tf„ e IR. (3")
în propoziţia care urmează se vor exprima cîteva proprietăţi
ale operaţiei de convoluţie.
Propoziţia 1. Dacă f,ge&. atunci sînt valabile relaţiile
II/* </ll< 11/11 ÎMI (5)
J*g = g*.f (6)
(af)#g = a(f*g),aeC (7)
{fi+h)*9=h*9+h*9,h,h,9z<Z (8)
(f-*g)*-h=f*(g*h),f,g,hee (9)
T(f -* flr) = (T«/) •* 0 = / * (T.y) (10)
t
&(f* 9) = Wf) * 0, & = 1, 2,. . . .,/ e S (11)
12
Inegalitatea (5) rezultă din definiţia 2, uliliztnd proprietăţile integralelor şi faptul
călWOKlMMe [0,2ir] :
\\r*9\\= raax Kf* ff)(x) | = max -— \ f(x - 0<K0d'
î.-e[o,2rî] .re[0,2,T] 2TÎ
1 2îT
C
< |f(.r-i)l |ff(0ld(^ —— \ max \f{x - t) | |lff||df <
max 1 2îT J*e(0,2re]
*e [0,27c] 2rz J
an
<\\r\\\\0\\-^-\<u=\\f\\M\
2* }
Egalitatea (6) se obţine din (3) prin schimbarea de variabilă x — t=s, dr= — ds,
finind seama şi de egalitatea (4) scrisă pentru / = x — 2ir, p = 2TT :
0
(/* </)<» = vV"lx~')6,(°df= IST \ /•(s)ff(x- s)ds:
2
0 x-2
2-
-t)f(t)dt=, (g*f)(x)
iar (7) şi (8) sint simple consecinţe ale proprietăţilor integralei Riemann ; proprietatea de
asociativitate (9) se deduce calculind separat cei doi membri.
Pentru justificarea primei egalităţi din (10), calculind Z"((f-& g)(x) găsim:
2lţ
-h\'<*
Tt(f*g)(x)=(f*g)(x-t) l - s)g(s)ds =
{TtfKx - s)g(s)ds = [(T,f) * g](x)
şi la fel se deduce şi a doua egalitate (10), ţintnd însă seama de (7). în fine, (11) se deduce
utilizind regula de derivare a integralelor cu parametru :
2-
D*<7* g)(x) = D* [f(x - t)g(i)]ăt =
o o
ir.
, f(*>(x - t)g(t)ăt = (D*f # g){x)
13
