Teoría de números [para principiantes]

294 Pages·2004·0.924 MB·Spanish

by  Luis R. Jiménez B., Jorge E. Gordillo A., Gustavo N. Rubiano O.

Teor´ıa de nu´meros
[para principiantes]

Teor´ıa de nu´meros
[para principiantes]
Luis R. Jim´enez B.
Jorge E. Gordillo A.
Gustavo N. Rubiano O.
Profesores
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´a
vi, 284 p. : 3 il.
ISBN 958-701-372-7
QA241.
1. Teor´ıa de nu´meros
Luis R. Jim´enez B.,
Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
Teor´ıa de nu´meros [para principiantes], 2a. edicio´n.
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a.
Facultad de Ciencias, 2004
Mathematics Subject Classification 2000: 11-01.
c Edici´on en castellano: Luis R. Jim´enez B., Jorge E. Gordillo A.,
(cid:13)
Gustavo N. Rubiano O.
Universidad Nacional de Colombia.
Primera impresi´on, 2004
Impresi´on:
Pro–Offset Editorial Ltda.
Bogot´a, D. C.
COLOMBIA
´
Indice General
Pr´ologo ix
1 Nu´meros Naturales 1
1.1 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Adici´on de nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Multiplicaci´on de nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Orden entre nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Construcci´on de los nu´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Formas equivalentes al principio de inducci´on
matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Divisibilidad 25
2.1 Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 M´aximo Comu´n Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
v
vi ´INDICEGENERAL
2.3 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Propiedades del M´aximo Comu´n Divisor . . . . . . . . . . . . 33
2.5 M´ınimo Comu´n Mu´ltiplo y generalizaciones . . . . . . . . . . 39
2.6 Teorema fundamental de la aritm´etica . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Algunas propiedades de los nu´meros primos . . . . . . . . . . 51
2.8 Algunas ecuaciones diof´anticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Funciones Aritm´eticas 64
3.1 La funci´on parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Las funciones nu´mero y suma de divisores . . . . . . . . . . . 70
3.3 Nu´meros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . . . . . . . 74
3.4 La funci´on Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Funciones multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 La f´ormula de inversi´on de M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Congruencias 98
4.1 Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Criterios de Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Aritm´etica m´odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Los Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5 Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6 Ecuaciones Diof´anticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8 El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
´INDICEGENERAL vii
4.9 Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Congruencias con m´odulo una potencia de un primo . . . . . 140
4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Residuos cuadr´aticos 153
5.1 Congruencias de segundo grado con m´odulo primo . . . . . . 153
5.2 Ley de la reciprocidad cuadr´atica . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3 El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4 Potencias m´odulo n y ra´ıces primitivas . . . . . . . . . . . . . 172
5.5 A´lgebra y teor´ıa de nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Criptograf´ıa 194
6.1 Nociones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.2 Cifrados monogr´aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3 Cifrado en Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4 Cifrados Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.4.1 Algoritmo para calcular Pe m´odulo p. . . . . . . . . 214
6.5 Sistemas de Clave Pu´blica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.5.1 Sistema RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.5.2 Sistema de Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.5.3 Sistema de la mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7 Fracciones continuas 230
7.1 Fracciones continuas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2 Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
viii ´INDICEGENERAL
7.3 Fracciones continuas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.4 Fracciones continuas peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.5 Aproximaci´on de nu´meros irracionales . . . . . . . . . . . . . 253
Nu´meros primos menores que 10.000 257
Respuestas y sugerencias 262
Bibliograf´ıa 280
Pr´ologo
La segunda edici´on de este libro mantiene el mismo esp´ıritu conque fue
concebida la primera; es decir, se trata de un texto b´asico de iniciaci´on al
estudio de la Teor´ıa de Nu´meros. La principal caracter´ıstica de esta nueva
edici´on es la adici´on de un cap´ıtulo sobre Criptograf´ıa, que muestra una de
las principales aplicaciones de la teor´ıa desarrollada.
Tambi´en se ha hecho una revisi´on cuidadosa de los temas tratados y
de las correspondientes secciones de ejercicios, se han adicionado algunas
secciones y se ha actualizado la bibliograf´ıa. Esperamos que estos cambios
hagan el material m´as u´til y atractivo para los estudiantes.
Finalmente queremos expresar nuestra gratitud a todas las personas que
leyeron la primera edici´on, y nos hicieron llegar sus valiosos comentarios y
sugerenciasquetuvimosencuentaparalapreparaci´ondelapresenteedici´on.
En especial, manifestamos nuestro agradecimiento a los profesores Paz Mo-
rillo (E–UPB–TL; Barcelona) por Mathematical Reviews [MR 2000j:11001],
y Gabriel D. Villa–Salvador (Cinvestav, M´exico D. F.) por Zentralblatt [Zbl
0956.1101] quienesgentilmente evaluaronlaedici´onoriginalynosmotivaron
para realizar esta nueva versi´on.
ix
x ´INDICEGENERAL
Pr´ologo a la primera edici´on
En la formaci´on de toda persona que se dedique a la ensen˜anza o al estudio
de las matem´aticas, o cualquier nivel, no puede faltar un curso de Teor´ıa
de nu´meros. Esta hermosa teor´ıa, ha sido llamada por K. F. Gauss, la
reina de las matem´aticas. La simplicidad de su objeto, la elegancia y la
diversidad de sus m´etodos, la formulaci´on sencilla de numerosos problemas
no resueltos, hacen de esta disciplina una de las ´areas m´as fascinantes del
universo matem´atico.
En este libro se ofrece una introducci´on breve y eficiente de los temas,
que a nuestro modo de ver son fundamentales para iniciarse en el estudio
de esta teor´ıa. A lo largo de sus cap´ıtulos estudiamos detalladamente los
siguientes t´opicos: nu´meros naturales y enteros, divisibilidad y nu´meros
primos, funciones num´ericas, congruencias y fracciones continuas.
Enelestudiodetodoslostemas, presentamos numerososejemplosypro-
ponemosunabuenacantidaddeejercicios, lamayor´ıadeellosconrespuestas
o sugerencias, que permiten al estudiante avanzar con mayor seguridad en
la asimilaci´on de los contenidos.
Con este libro, creemos llenar la necesidad de un texto claro, sencillo y
econ´omico, dirigido principalmente a los estudiantes de las carreras y licen-
ciaturas de matem´aticas ofrecidas por nuestras universidades.
Luis Rafael Jim´enez Becerra
Jorge Enrique Gordillo Ardila
Gustavo Nevardo Rubiano Orteg´on
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Ciudad Universitaria, Bogot´a, Colombia.
[email protected]
[email protected]
Junio de 2004