Table Of ContentTeoría de lenguajes, gramáticas y autómatas
para informáticos
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Rafael C. Carrasco Jiménez
Jorge Calera Rubio
Mikel L. Porcada Zubizarreta
TEORÍA DE LENGUAJES,
GRAMÁTICAS Y AUTÓMATAS
PARA INFORMÁTICOS
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
©Rafael C. Carrasco Jiménez
Jorge Calera Rubio
Mikel L. Porcada Zubizarreta
Publicaciones de la Universidad de Alicante, 2000.
Campus de San Vicente s/n
03690 San Vicente del Raspeig
[email protected]
http://publicaciones.ua.es
Diseño de portada: Alfredo Candela
Impresión: Quinta Impresión, S.L.
Hermanos Bernard, 10 - 03080 Alicante.
ISBN: 84-7908-574-6
Depósito Legal: A-743-2000
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índice General
Presentación 9
Estructura del libro 10
1 Lenguajes y computadores 11
1.1 Distintos tipos de programas 13
1.2 Problemas y lenguajes 19
2 Autómatasfinitos 23
2.1 Alfabetos y lenguajes 23
2.2 Representaciones de un AFD 25
2.3 Autómata finito determinista como clasificador . . .. 27
2.4 El autómata finito determinista como traductor . . .. 32
2.5 Deterministas, indeterministas y estocásticos 35
2.5.1 Autómatas finitos indeterministas 35
2.5.2 Equivalencia AFI-AFD 37
2.5.3 Autómatas finitos estocásticos 41
3 Lenguajes regulares 45
3.1 Expresiones regulares 45
3.1.1 Algunas propiedades de las ER 49
3.2 Equivalencia ER-AF 50
3.3 Operaciones con conjuntos regulares 61
4 Construcción de autómatasfinitos 69
4.1 Lema de bombeo 69
4.2 Algoritmos y decidibilidad 73
4.3 Minimización de autómatasfinitos 75
4.3.1 Teorema de Myhill y Nerode 77
4.3.2 Algoritmos de minimización 79
7
8 ÍNDICE GENERAL
5 Gramáticas 85
5.1 Introducción 85
5.2 Definición y clasificación de las gramáticas 87
5.3 Gramáticas regulares 89
5.3.1 Gramática regular asociada a un autómata . . 89
5.3.2 Autómata asociado a una gramática regular . . 90
5.4 Gramáticas independientes del contexto (GIC) . . .. 92
5.4.1 Derivación y árbol de derivación 93
5.4.2 Ambigüedad 94
5.4.3 Recursividad 97
5.4.4 El análisis sintáctico 101
5.4.5 Simplificación de una GIC 106
5.4.6 Formas normalizadas 112
6 Lenguajes independientes del contexto 119
6.1 Operaciones con LIC 119
6.2 Lema de bombeo para LIC 121
6.3 Algoritmos 124
7 Autómatas con pila y analizadores sintácticos 127
7.1 Definiciones 127
7.2 Autómata de pila para una GIC 130
7.3 Gramática correspondiente a un AP 132
7.4 Analizadores sintácticos 133
A Nociones básicas de teoría de conjuntos 139
A.l Correspondencias y relaciones 140
A.2 Cardinal. Conjuntos infinitos 143
A.2.1 Demostración del teorema de Cantor 145
A.2.2 Aplicación a la informática 145
Bibliografía 147
Presentación
La mayoría de los textos dedicados a la teor(cid:237)a matemÆtica de
lenguajes1 presentan los elementos básicos de dicha teoría desde un
punto de vista fundamentalmente matemático. Esto es, su estructura
lógica se basa en una serie de definiciones y teoremas desarrollados
con gran rigor y consistencia, dejando en un segundo plano la cone-
xión de estos conceptos con los problemas prácticos y con su evolución
histórica. La opción de presentar una materia en la forma elaborada
a la que se ha llegado después de décadas de investigación, revisión
de los conceptos fundamentales y estructuración lógica de la teoría
resulta conveniente desde el punto de vista del rigor científico, pero
dificulta el acercamiento a la materia de las personas cuyo interés se
centra en los aspectos prácticos de la ciencia. Este es, con frecuencia,
el caso de los ingenieros, que perciben su estudio como un ejercicio
muy abstracto y de escasa relevancia para los problemas tecnológicos.
Por otra parte, la ingeniería informática es uno de los ámbitos en
los que mayor importancia y repercusión tiene la teoría matemática
de los lenguajes. Por un lado, gran parte de las tareas que se realizan
en este campo, como la implementación de compiladores y analiza-
dores sintácticos, el desarrollo de lenguajes de programación, etc.,
requieren un conocimiento profundo de la teoría de lenguajes. Por
otro, muchos de los problemas computacionales que concitan un ma-
yor interés en la actualidad pueden plantearse también en términos
lingüísticos. Algunos de forma inmediata, como la traducción entre
idiomas. Otros, de forma indirecta: por ejemplo, el reconocimiento
de objetos mediante una cámara puede entenderse también como la
clasificación de las cadenas de símbolos que codifican la imagen, un
1 Hemos optado por esta denominación frente a la más frecuente, pero también
algo más oscura de teoría formal de lenguajes. La palabra formal sugiere un
tratamiento centrado en el aspecto y no en la esencia.
9
10 (cid:211)NICATNESERP
problema análogo al de identificar palabras de un lenguaje.
Por todo ello, hemos considerado conveniente presentar los ele-
mentos básicos de la teoría de lenguajes de una forma en parte di-
ferente a la tradicional: a partir de situaciones habituales para las
personas que trabajan en el ámbito de la informática. Así, hemos in-
tentado que situaciones que se presentan frecuentemente en las tareas
de programación motiven la introducción de los conceptos y que la
formalización de éstos se produzca sólo a posteriori. Este método re-
quiere encontrar ejemplos adecuados que conduzcan con la suficiente
rapidez a los conceptos, lo que no siempre resulta sencillo. Por ello,
consideramos esta obra como un trabajo de investigación abierto a
aportaciones y mejoras en el futuro. Desde el punto de vista pe-
dagógico, este método, que podríamos calificar como "más inductivo
que deductivo", requiere generalmente una inversión de tiempo ma-
yor en la presentación de los temas en el aula. No obstante, nuestra
experiencia docente nos ha demostrado que el esfuerzo se ve recom-
pensado con una mayor persistencia del aprendizaje.
Estructura del libro
El esquema básico que hemos utilizado es el mostrado en la figura
1. El objetivo que buscamos es introducir, en la medida de lo posi-
ble, los conceptos de la teoría de lenguajes a medida que van siendo
necesarios para resolver problemas cada vez más complicados.
Figura: Esque,a Basico del libro
Capítulo 1
Lenguajes y computadores
Los programas de ordenador que estamos acostumbrados a utili-
zar pueden describirse como secuencias de instrucciones (lo que técni-
camente se denomina algoritmo] que operan sobre los datos de entra-
da para producir la salida deseada. Durante su ejecución, el programa
utiliza normalmente distintos registros o unidades de memoria para
almacenar resultados intermedios (véase la figura 1.1). De hecho,
una de las características fundamentales de un programa es la can-
tidad de memoria que requiere durante su ejecución. Dado que la
capacidad de almacenamiento de los ordenadores actuales, aunque
inmensa, es siempre limitada, un programa diseñado en cualquier
lenguaje de programación puede siempre clasificarse en uno de los
dos grupos siguientes:
1. algoritmos que durante su ejecución requieren una cantidad de
memoria que puede ser establecida a priori, es decir, sin conocer
la entrada del programa;
2. algoritmos para los que no es posible establecer un límite a la
memoria utilizada pues, sea cual sea la cantidad de registros
disponible, existe alguna entrada para la que el funcionamiento
correcto del algoritmo requiere un número aún mayor de uni-
dades de memoria.
Los programas del primer grupo nos servirán para ilustrar el con-
cepto de autómata finito. De forma intuitiva, los autómatas finitos
pueden definirse como sistemas cuyo funcionamiento se puede des-
cribir en términos de un número de estados finito. Por otra parte,
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