Technische Mechanik für Ingenieure: Band 3: Dynamik

535 Pages·1998·13.031 MB·German

by  Joachim Berger (auth.)

Joachim Berger
Technische Mechanik
für Ingenieure
Band 3: Dynamik
Aus dem Programm ____________
Grundgebiete des Maschinenbaus
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler,
Band 1 und 2
von L. Papula
Mathematische Formelsammlung
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
von L. Papula
Übungen
von L. Papula
Roloff I Matek Maschinenelemente
von W. Matek, D. Muhs, H. Wittel und M. Becker
Roloff I Matek Maschinenelemente
Aufgabensammlung
von W. Matek, D. Muhs, H. Wittel und M. Becker
Roloff I Matek Maschinenelemente
Formelsammlung
von D. Muhs, H. Wittel und M. Becker
Technische Mechanik für Ingenieure
Band 1: Statik
Band 2: Festigkeitslehre
Band 3: Dynamik
von J. Berger
Elektrotechnik für Maschinenbauer
von H. Krämer
Regelungstechnik für Maschinenbauer
von W. Schneider
Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung
von W. Weißbach
Aufgabensammlung
Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung
von W. Weißbach, U. Bleyer und M. Bosse
Vieweg ___________________________________ __
Joachim Berger
Technische Mechanik
für Ingenieure
Band 3: Dynamik
Mit 299 Bildern und zahlreichen Beispielen
11
Vleweg
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ISBN 978-3-528-04931-7 ISBN 978-3-322-90905-3 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-90905-3
v
Vorwort
Im ersten und zweiten Band der Technischen Mechanik wurden das Gleichgewicht der Kräfte
sowie die Spannungen und Verformungen von gelagerten und belasteten Körpern untersucht.
Im dritten Band werden die Vorgänge und Zusammenhänge von bewegten Körpern in Abhän
gigkeit der Zeit (die jetzt als physikalische Grundgröße neu hinzukommt) behandelt.
Zunächst werden die Bewegungsgesetze vereinfachend an einem punktförmigen Körper
(Massenpunkt) studiert, um dann von einem Punkthaufen (der sich aus mehreren Massen
punkten zusammensetzt) auf einen starren Körper mit unendlich vielen Massenpunkten und
infmitesimal kleinen Abständen überzugehen. Die Bewegungen werden erst rein geometrisch
(Kinematik) und anschließend im Zusammenhang mit den wirksamen Kräften (Kinetik)
verfolgt.
Die gezeigten (etwas aufwendigen) rechnerischen Bestimmungen von kinematischen Größen
bei einigen wichtigen technischen Grundelementen wie Kurbeltrieb, Gelenkviereck, Kurbel
schleife usw. sollen Anregungen zum Programmieren dieser Probleme und zur Lösung von
ähnlichen Aufgaben verschaffen.
Zeichnerische Lösungen bieten oft nicht genügende Genauigkeiten, z.B. wenn Übertragungen
von Winkeln erforderlich sind wie bei der Konstruktion des Beschleunigungs-Momentanpols.
Dann sollen zur Kontrolle die Koordinaten des Pols auch rechnerisch mit den angegebenen
Formeln überprüft werden. Oftmals sind die einzelnen Strecken innerhalb einer Zeichnung von
sehr unterschiedlicher Größe. Ein passender Maßstab, der einerseits ausreichende Ablesege
nauigkeit liefert, andererseits eine geeignete Unterbringung der Konstruktion auf dem üblichen
Schreibformat ermöglicht, ist nicht immer gegeben. Außerdem ist auch der zeichnerische
Aufwand mühevoll, wenn man die kinematischen Daten für mehrere Getriebestellungen
benötigt, was bei der rechnerischen Behandlung mit Hilfe eines Computer-Programms schnell
zu erledigen ist.
Zur besseren Erfassung der Problematik und zur Veranschaulichung von Bewegungsvorgän
gen sowie zur Kontrolle der analytischen Ergebnisse und nicht zuletzt zur Förderung des
ingenieurmäßigen Denkens (die Hauptaufgabe der Ingenieur-Ausbildung) sind zeichnerische
Lösungen jedoch sehr empfehlenswert.
Der Übergang von der Kinematik zur Kinetik wird über das dynamische Grundgesetz vollzo
gen, das sich in d'Alembertscher Form auf die elementaren Gleichgewichts-Bedingungen
zurückführen läßt.
Bei vielen Aufgaben ermöglicht das Prinzip der virtuellen Arbeit erhebliche Vereinfachungen
der Rechnung. Bei komplizierten Aufgaben (wie z.B. bei den Schwingungen mit mehreren
Freiheitsgraden) bieten analytische Methoden mit den Langrangeschen Gleichungen wesentli
che Vorteile. Außerdem hat man dann neben den üblichen synthetischen Verfahren (mit dem
dynamischen Grundgesetz) eine wichtige Alternative und Kontrolle.
In Verbindung mit dem Energieerhaltungssatz, sowie dem Impuls- und Drallsatz lassen sich
die meisten mechanischen Probleme lösen. So werden im wesentlichen das Trägheitsverhalten
von Körpern, der Antrieb und das Betriebsverhalten von Maschinen, .das Auswuchten von
Rotoren, der Einfluß der Kreiselwirkung, die Auswirkung von Stößen, Systeme mit veränder-
VI Vorwort
lichen Massen (Raketen) und insbesondere auch das Schwingungsverhalten von Körpern im
Zusammenhang mit den kritischen Drehzahlen von Wellen eingehend untersucht.
Eine logische, kontinuierlich aufbauende Herleitung der physikalischen Gesetze wird ange
strebt, die nicht unnötig aufwendig, aber auch nicht ohne den erforderlichen mathematischen
Hintergrund erfolgen soll. Mit der Vektorrechnung und den zugehörigen erläuternden Skizzen
lassen sich die Formeln anschaulich und allgemeingültig (also auch auf räumliche Probleme
übertragbar) entwickeln. Sie dienen als Grundlage und Vorbereitung für die Matrizen- und
Tensorrechnung, wie sie z.B. bei der Finite-Elemente-Methode oder in der Roboterdynamik
gebraucht werden.
Der dargebotene Stoff in den 3 Bänden soll eine möglichst geschlossene Einheit und eine
gewisse, nie ganz erreichbare Vollständigkeit bilden. Es wird im Verlauf des Studiums meist
nicht die Zeit verbleiben, sich mit allen Themen in aller Ausführlichkeit beschäftigen zu
können. Ein Teil des Stoffangebots in Verbindung mit vielen anderen Literaturquellen wird
dem Lernenden noch für die Berufspraxis vorbehalten bleiben.
Das tiefere Verständnis für die Technische Mechanik mit allen ihren Anwendungen und der
nötige Überblick wird sich erst nach längeren Bemühungen insbesondere durch eigenständiges
Lösen von technischen Aufgaben einstellen. Auch hier gilt das gleiche Erfolgsrezept wie beim
Umgang mit Computern "leaming by doing".
In einem vierten Band sollen dazu Beispiele und Aufgaben aus dem gesamten Gebiet der
Technischen Mechanik zusammengestellt werden, die zur weiteren Vertiefung und zum
besseren Verstehen der komplexen, aber auch durchaus interessanten Materie beitragen sollen.
Düsseldorf, im Januar 1998 Joachim Berger
VII
Inhaltsverzeichnis
Dynamik
1 Kinematik des Massenpunktes ................................................................................... .
1.1 Lage in einem Koordinatensystem......................................................................... 2
1.2 Geschwindigkeit..................................................................................................... 3
1.3 Beschleunigung.......... .. .. ..... .. ................................................................................. 6
1.4 Hodograph............................................................................................................. 9
1.5 Geradlinige Bahn ................................................................................................... 10
1.5.1 Gleichförmige Bewegung......................................................................... 10
1.5.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung..................................................... 12
1.5.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung................................................. 17
1.6 Krummlinige, ebene Bahn .... .......... .................... ................................................... 27
1.6.1 Tangential-und Normalbeschleunigung .................................................. 28
1.6.2 Bewegung auf einer Kreisbahn................................................................. 51
1.6.3 Polarkoordinaten. ..... ....... .......... ................................................................ 61
1.7 Räumliche Bewegung ............................................................................................ 65
1.7.1 Zylinder-Koordinaten............................................................................... 65
1.7.2 Kugelkoordinaten (sphärische Koordinaten)............................................ 65
1.7.3 Begleitendes Dreibein............................................................................... 68
2 Kinematik des starren Körpers .................................................................................. 75
2.1 Grundformen der Bewegung.................................................................................. 75
2.1.1 Translation................................................................................................ 75
2.1.2 Rotation .................................................................................................... 75
2.2 Vektorielle Darstellung von kinematischen Drehgrößen ....................................... 77
2.2.1 Rotation um eine feste Achse ................................................................... 79
2.2.2 Rotation um einen festen Punkt................................................................ 83
2.3 Ebene Bewegung eines starren Körpers................................................................. 84
2.3.1 Eulerscher Geschwindigkeitssatz ............................................................. 85
2.3.2 Geschwindigkeits-Momentanpol.............................................................. 86
2.3.3 Unterschied zwischen Momentanpol P und Krümmungs-
Mittelpunkt MK......................................................................................... 96
2.3.4 Projektionssatz.......................................................................................... 98
2.3.5 Eulerscher Beschleunigungssatz............................................................... 99
2.3.6 Beschleunigungs-Momentanpol............................................................... 100
2.3.7 Ähnlichkeitssätze . ......... ............ ............ .................................................... 107
2.3.8 Rast- und Gangpolbahn ............................................................................ 108
2.3.9 Zwangsläufige kinematische Ketten......................................................... 114
2.4 Relativbewegung.................................................................................................... 131
2.4.1 Translatorische Führungsbewegung ......................................................... 131
2.4.2 Beliebige Führungsbewegung .................................................................. 136
2.4.2.1 Geschwindigkeiten..................................................................... 137
VIII Inhaltsverzeichnis
2.4.2.2 Beschleunigungen...................................................................... 138
2.5 Räumliche Bewegung eines starren Körpers ............. ..................................... ....... 156
2.5.1 Freiheitsgrade und Zwangsbedingungen .............................................. .... 156
2.5.2 Eulersche Geschwindigkeitsformel.......................................................... 157
2.5.3 Zentralachse.............................................................................................. 158
2.5.4 Spurfläche und Polfläche.......................................................................... 161
Kinetik
3 Newtonsehe Axiome und Grundgesetze ..................................................................... 164
3.1 Gesetze fiir den Massenpunkt................................................................................ 164
3.1.1 Trägheitsgesetz (1. Newtonsches Axiom)................................................ 164
3.1.2 Dynamisches Grundgesetz (2. Newtonsches Axiom) .............................. 164
3.1.3 Wechselwirkungsgesetz (3. Newtonsches Axiom)................................... 165
3.2 Gesetze fiir ein System von Massenpunkten.......................................................... 165
3.2.1 Impuls eines Körpers................................................................................ 165
3.2.2 Dynamisches Grundgesetz der Translation .............................................. 166
3.2.3 Gravitations-Gesetz ........... ................... ............ ..................................... ... 168
3.2.4 Prinzip von d'Alembert............................................................................. 172
3.2.5 Dynamisches Grundgesetz der Rotation................................................... 184
3.2.6 Prinzip der virtuellen Arbeit in der Dynamik........................................... 186
3.2.7 Kräfte-und Momentensatz (Schwerpunktsätze) ...................................... 187
3.2.7.1 Kräftesatz (1. Schwerpunktsatz) .......... ...................................... 187
3.2.7.2 Momentensatz (2. Schwerpunktsatz)......................................... 189
4 Massenträgheitsmomente ........................................................................................ ..... 199
4.1 Massenträgheitsmomente geometrisch einfacher Körper .................................. .... 199
4.2 Ersatz eines rotierenden Körpers durch einen Massenpunkt ................................. 206
4.3 Massenträgheitsmomente fiir einen Körper in allgemeiner Lage .......................... 207
4.3.1 Parallel verschobenes Koordinatensystem ............................................... 207
4.3 .1.1 Axiale Massenträgheitsmomente ............................................... 207
4.3.1.2 Zentrifugal-oder Deviationsmomente ....................................... 209
4.3 .1.3 Hauptträgheitsachsen ................................................................. 210
4.3.2 Gedrehtes Koordinatensystem.................................................................. 211
4.3.2.1 Massenträgheitsmoment fiir eine beliebig orientierte
Achse a ...................................................................................... 211
4.3.2.2 Massenträgheitsmomente fiir ein gedrehtes Koordinatensystem.. 213
4.3.3 Trägheitsellipsoid ..................................................................................... 214
5 Drehverhalten von unwuchtigen Rotoren................................................................... 216
5.1 Unwucht einer Welle ............................................................................................. 216
5.2 Statisches Auswuchten........................................................................................... 217
5.3 Dynamisches Auswuchten ............................ .............................................. ........... 218
5.4 Unwuchtresultierende und Unwuchtmoment... ....... ,.............................................. 223
5.5 Unwuchtarten......................................................................................................... 228
Inhaltsverzeichnis IX
6 Arbeit, Energie, Leistung .... ....... .................................................................................. 229
6.1 Translationsbewegung ........................................................................................... 229
6.2 Rotationsbewegung................................................................................................ 235
6.3 Kennlinien und Drehzahlverhalten von rotierenden Maschinen............................ 238
6.4 Wirkungsgrad..... ........ ......... ................................................................................... 242
7 Impulssatz ...................................................................................................................... 255
7.1 Dynamisches Grundgesetz in Impulsform ................ ............................................. 255
7.2 Impulserhaltungssatz.............................................................................................. 257
7.3 Körper mit veränderlicher Masse........................................................................... 258
8 Stoßvorgänge ................................................................................................................. 264
8.1 Annahmen .............................................................................................................. 264
8.2 Stoßarten .............. ...... ............................................................................................ 264
8.3 Impulserhaltung beim Stoß zweier freier Körper................................................... 265
8.4 Stoßfaktor............................................................................................................... 266
8.4.1 Gerader zentrischer Stoß .......................................................................... 266
8.4.2 Allgemeiner Stoß .... .................................................................................. 277
8.4.2.1 Stoßfaktoren bei rauhen Oberflächen ........................................ 277
8.4.2.2 Stoßfaktor bei glatten Oberflächen ............................................ 277
9 Kinetik der allgemeinen Bewegung ............................................................................. 291
9.1 Impulsmoment eines Massenpunkts.. ...................... .................... .................... ...... 291
9.1.1 Drallsatz für einen Massenpunkt................................ ...................... ........ 292
9.1.2 Flächensatz ..................................................... ........................ .................. 293
9.2 Impulsmoment eines Körpers ................................................................................ 297
9.2.1 Impulsmoment bezogen auf einen beliebig bewegten Punkt A ................ 297
9.2.2 Impulsmoment bezogen auf einen körperfesten Punkt K ......................... 299
9.3 Hauptträgheitsachsen ............................................................................................. 301
9.3.1 Beträge der Hauptträgheitsmomente ........................................................ 301
9.3.2 Richtungen der Hauptträgheitsachsen ...................................................... 303
9.4 Kinetische Energie eines starren Körpers .............................................................. 305
9.5 Drallsatz für einen Körper...................................................................................... 309
9.5.1 Boltzmannsches Axiom ............................................................................ 309
9.5.2 Drallsatz bezogen auf einen beliebig bewegten Punkt ............................. 309
9.5.3 Drallsatz bezogen auf den Schwerpunkt oder auf einen raumfesten
Punkt......................................................................................................... 310
9.5.4 Drallsatz fur ebene Bewegungen .............................................................. 313
9.5.5 Drallsatz in einem gegenüber dem Inertialsystem rotierenden
System ...................................................................................................... 320
9.6 Rotation eines starren Körpers um eine raumfeste Achse...................................... 322
9.6.1 Unwuchtige Welle .................................................................................... 322
9.6.2 Kreiselwirkung bei Rotoren...................................................................... 326
9.7 Stabilität einer Drehbewegung............................................................................... 329
9.8 Symmetrischer Kreisel................................ ........................................................... 329
9.8.1 Momentenfreier Kreisel............................................................................ 330
X Inhaltsverzeichnis
9.8.2 Erzwungene Bewegung eines Kreisels..................................................... 335
10 Lagrangesche Bewegungsgleichungen ........................................................................ 340
10.1 Prinzipielle Berechnungsmethoden ....................................................................... 340
10.1.1 Synthetische Methode .............................................................................. 340
10.1.2 Analytische Methode................................................................................ 340
10.2 Bindungen und Freiheitsgrade ............................................................................... 340
10.3 Lagrangesche Gleichungen erster Art.................................................................... 344
10.4 Lagrangesche Gleichungen zweiter Art................................................................. 351
11 Mechanische Schwingungen......................................................................................... 363
11.1 Grundbegriffe ........................................................................................................ 363
11.2 Schwinger mit einem Freiheitsgrad ....................................................................... 365
11.2.1 Freie ungedämpfte Schwingung ............................................................... 365
11.2.1.1 Schwingungsgleichung ..... ............ ... ......... .............. ................... 366
11.2.1.2 Energieumwandlungen bei der Schwingung ............................. 370
11.2.1.3 Rayleighsches Verfahren ........................................................... 371
11.2.1.4 Zeigerdarstellung einer harmonischen Bewegung..................... 373
11.2.1.5 Phasendiagramm ........................................................................ 374
11.2.1.6 Rotierender Zeiger in der komplexen Zahlenebene................... 376
11.2.1.7 Überlagerung mehrerer Schwingungen ..................................... 378
11.2.1.8 Harmonische Analyse................................................................ 383
11.2.1.9 Anordnungen und Kombinationen VOn Schraubenfedern ......... 387
11.2.2 Torsionsschwingungen ............................................................................. 392
11.2.2.1 Einfacher Drehschwinger .......................................................... 392
11.2.2.2 Zweimassen-Torsionsschwinger ................................................ 392
11.2.2.3 Schaltungen von Torsionsfedern ............................................... 396
11.2.2.4 Reduktion von Getrieben ........................................................... 398
11.2.3 Pendelschwingungen ................................................................................ 401
11.2.3.1 Mathematisches Pendel (Fadenpendel)...................................... 401
11.2.3.2 Physikalisches Pendel (Körperpendel) ...................................... 402
11.2.3.3 Schwingende Flüssigkeitssäule.................................................. 410
11.2.4 Reibschwinger .................................................................. ................... ..... 411
11.2.5 Freie gedämpfte Schwingungen ............................................................... 412
11.2.5.1 Starke Dämpfung ....................................................................... 416
11.2.5.2 Kritische Dämpfung (aperiodischer Grenzfall) ......................... 418
11.2.5.3 Schwache Dämpfung ................................................................. 419
11.2.5.4 Dämpfung durch trockene Reibung........................................... 425
11.2.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................................... 430
11.2.6.1 Harmonische Wegerregung ....................................................... 430
11.2.6.2 Harmonische Krafterregung ...................................................... 441
11.2.7 Schwingungs-Isolierung........................................................................... 448
11.2.7.1 Aktive Entstörung.......... ............ ............... ................................. 448
11.2.7.2 Passive Entstörung..................................................................... 454
11.2.8 Seismische Schwingungsmessung............................................................ 457
11.2.8.1 Beschleunigungsmessung .......................................................... 458