Symbolische Maschinen. Die Idee der Formalisierung in geschichtlichem Abriss

233 Pages·1988·51.911 MB·German

by  Sibylle Krämer

SYBILLE KRÄMER
SYMBOLISCHE MASCHINEN
Die Idee der Formalisierung
in geschichtlichem Abriß
WISSENSCHAFTLICHE BUCHGESELLSCHAFT
DARMSTADT
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Krämer, Sybille:
Symbolische Maschinen: d. Idee d. Formalisierung in
geschieht!. Abriß I Sybille Krämer. - Darmstadt:
Wiss. Buchges., 1988
ISBN 3-534-03207-1
\9
Bestellnummer 03207-1
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© 1988 by Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
Satz: Setzerei Gutowski, Weiterstadt
Druck und Einband: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt
Printed in Germany
Schrift: Linotype Times, 9.5110.5
ISBN 3-534-03207-1
INHALT
Worin besteht die Idee der Formalisierung? 1
1. Entwicklungsgeschichte arithmetischer und algebraischer Kal
küle . 5
1.1 Die Herausbildung der . 5
Z~hlreihe
1.1.1 Zahlen als Eigenschaften abzählbarer Dinge . 6
1.1.2 Die Repräsentation von Zahlen durch gegenständliche
Hilfsmengen 7
1.1.3 Der Übergang von der gegenständlichen zur symbo
lischen Repräsentation von Anzahlen im antiken
Mesopotamien . 8
1.1.4 Die Zählreihe als fortlaufende Folge schriftlicher
Zahlzeichen 9
1.2 Arithmetik und Algebra im antiken Ägypten und Mesopo
tamien 12
1.2.1 Altägyptische Rechentechnik 12
1.2.1.1 Die Quellenlage 12
1.2.1.2 Die hieroglyphischen Zahlzeichen 13
1.2.1.3 Die Rechenverfahren 13
1.2.2 Mesopotamische Rechentechnik 16
1.2.2.1 Das Sexagesimalsystem . 17
1.2.2.2 Babylonische Rechenverfahren 19
1.2.3 Ägyptische und babylonische Algebra 20
' 1.2.3.1 Ägyptische Gleichungslehre 20
1.2.3.2 Babylonische Gleichungslehre . 22
1.2.4 Die Algebra: ein Rezeptewissen für den Umgang mit
Zahlenverhältnissen . . 25
1.3 Die Entwicklung schematischer Zahlenoperationen im anti-
ken Griechenland . 26
1. 3.1 Die pythagoreische Rechensteinarithmetik 27
1.3.1.1 Die figurierten Zahlen 28
1.3.1.2 Die Lehre vom Geraden und Ungeraden 30
1.3.2 Die Stagnation der algebraischen Technik infolge der
Geometrisierung der Algebra . . 32
1.3.2.1 Was heißt "geometrische Algebra"? . 32
1.3.2.2 Die Entdeckung der Inkommensurabilität 33
1.3.2.3 Die Restriktionen der griechischen Algebra . 34
1.3.3 Diophant vonAlexandrien . 36
VI Inhalt
104 Algorithmisches Denken in China, Indien und bei den
Arabern 39
1.401 Numerische Algorithmen in China 40
1040101 Die "fang-cheng"-Regel 0 40
1040102 Rechenbrett und Stäbchenziffern 43
1040103 Negative Zahlen 44
10402 Indische Arithmetik und Algebra . 45
104.201 Das dezimale Stellenwertsystem 45
10402.2 Die Fortbildung der algebraischen Symbolik 48
1.403 Arabische Arithmetik und Algebra am Beispiel al-
Hwarizmis 50
105 Algorithmus und Kalkül in der neuzeitlichen Mathema-
tik 54
1.501 Die Durchsetzung des orientalischen Ziffernrechnens
inEuropa 54
10502 Die Ausbildung eines neuen Zahlbegriffes 58
10503 Die Kalkülisierung der 59
Analy~is
1050301 Was heißt "Ka~külisierung"? 59
1050302 Die Entwicklung der Algebra zum Buchsta-
benrechnen 0 61
1.50303 Die analytische Geometrie Descartes' 64
1050304 Leibnizens Infinitesimalkalkül 0 68
106 Zwischenergebnis 1: Über die Entstehung der mathemati-
sehen Formel 71
20 Entwicklungsgeschichte logischer Kalküle 0 73
201 Zur Vorgeschichte des logischen Kalküls 0 73
20101 Formale und formalistische Elemente im logischen
Denken der Griechen 73
2010101 Aristoteles 73
2010102 Stoische Logik . 76
201.2 Scholastische Logik 79
2010201 Eine späte Rehabilitierung 79
2010202 Die "sekundären Intentionen" 79
2010203 Die Suppositionslehre 81
2010204 Die Konsequenzenlehre 0 84
20103 Weshalb können die stoische und scholastische Logik
als Vorstufen des logischen Kalküls gelten? 0 86
202 Von der Kombinatorik zur Idee des logischen Kalküls 87
20201 Die "Ars Magna" des Raimundus Lullus 88
20202 Quellen des Kalkülgedankens im 17. Jahrhundert 0 90
2020201 Berechenbarkeit als "Zeitgeist" 90
2020202 "Mathesis universalis": Rene Descartes 0 91
2020203 Denken als Rechnen: Thomas Hobbes 94
Inhalt VII
2.2.2.4 Kunstsprachliche Ansätze 95
2.2.2.5 Rechenmaschinen .· 98
2.2.3 Das Leibnizprogramm 100
2.2.3.1 Formales Denken . 100
2.2.3.2 "Scientia generalis": die Idee einer Uni ver-
salwissenschaft . 102
2.2.3.3 "Characteristica universalis": die Idee einer
universalen Kalkülsprache 104
2.2.3.4 "Calculus ratiocinator": die Idee des logi-
sehen Kalküls 108
2.2.4 Der Gedanke des logischen Kalküls in der Nachfolge
von Leibniz . 114
2.2.4.1 Gibt es eine "Nachfolge" von Leibniz? 114
2.2.4.2 Johann Heinrich Lambert 115
'2.2.4.3 Gottfried Ploucquet 117
2.2.4.4 Joseph Gergonne 118
2.3 Die Ausarbeitung logischer Kalküle in der "Algebra der
Logik" 121
2.3.1 Die Formalisierung der Algebra als Voraussetzung 121
2.3.2 George Boole 124
2.3.2.1 Die Klassenlogik 124
2.3.2.2 Die Aussagenlogik 126
2.3.3 W. Stanley J evons . 128
2.3.4 Ernst Sehröder 129
2.4 Der Kalkül in der Logistik: Gottlob Freges Begriffsschrift 131
2.4.1 Von der "Algebra der Logik" zur Logistik 131
2.4.2 Die Begriffsschrift 132
2.5 Zwischenergebnis II: Über die Entstehung formaler Systeme
in der Logik . 135
3. Grenzen und Präzisierungen kalkulatorisch-algorithmischer Ver
fahren in der mathematisch-logischen Grundlagendiskussion des
20. Jahrhunderts . 138
3.1 Formalisierbarkeit als Mechanisierbarkeit: die Idee der uni-
versalen Denkmaschine und ihre Destruktion . 138
3.2 Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit formaler Sy-
steme: die Überlegungen von Gödel und Church 140
3.2.1 Das Hilbertprogramm 140
3.2.1.1 FormalisierteAxiomensysteme als Kalküle . 141
3.2.1.2 Beschreibung des Kalküls als Gegenstand
der Metamathematik . . 143
3.2.2 Die >Principia Mathematica< als Versuch vollständi-
ger Formalisierung der Arithmetik 145
3.2.3 Gödeis Beweis der Unvollständigkeit der Arithmetik 146
VIII Inhalt
3.2.3.1 Kerngedanken Gödeis 146
3.2.3.2 Die Richardsche Antinomie 147
3.2.3.3 Gödelisierung: die Arithmetisierung des Kal-
küls 149
3.2.3.4 Die Arithmetisierung der Metamathematik 150
3.2.3.5 Einzelschritte des Gödelsehen Beweises . 151
3.2.4 Churchs Nachweis der Unentscheidbarkeit des Prädi-
katenkalküls 153
3.2.5 Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit formali
sierter Axiomensysteme als Begrenzungen von Re-
chenmaschinen? . 155
3.3 Präzisierungen des Algorithmenbegriffes: rekursive Funk-
tionen und Turingmaschine . 157
3.3.1 Intuitiver Algorithmenbegriff . 159
3.3.1.1 Was ist ein Algorithmus? 159
3.3.1.2 Maschinen als realisierte Algorithmen 161
3.3.1.3 Algorithmen als abstrahierte Programme 163
3.3.2 Rekursive Funktionen 165
3.3.2.1 Was bedeutet "rekursiv"? 165
3.3.2.2 Zur Entwicklung der Theorie der rekursiven
Funktionen . 166
3.3.3 Turingmaschinen . 169
3.3.3.1 Analyse eines Rechenprozesses nach Vor-
schrift 169
3.3.3.2 Bestandteile und Arbeitsweise der Turing-
maschine 172
3.3.3.3 Formale Definition der Turingmaschine . 173
3.3.3.4 Die Turingmaschine als Algorithmus . 174
4. Über die Entstehung des formalen Gebrauches von Symbolen -
Betrachtungen zum Abschluß . 176
Anmerkungen . 185
Literatur 205
Register . 225
WORIN BESTEHT DIE IDEE DER FORMALISIERUNG?
Stellen wir uns vor: Wir fragen unsere Tochter, die gerade ein halbes Jahr
zur Schule geht, wieviel fünf und drei ist. Die Tochter nimmt fünf Buntstifte,
legt sie der Reihe nach hin, fügt drei Glasmurmeln dazu, zählt die ausge
legten Gegenstände ab und sagt: "Acht." Wir können diesen Vorgang auf un
terschiedliche Weisen beschreiben. Zum Beispiel eine Geschichte erzählen,
wie unsere Tochter ihre erste Rechenaufgabe richtig gelöst hat. Oder wir
nehmen ein Blatt Papier und schreiben darauf den arithmetischen Ausdruck
5 + 3 = 8. Dieser Ausdruck ist eine formale Beschreibung dessen, was die
Tochter soeben getan hat.
Wir verstehen die Idee der Formalisierung, wenn wir erklären können,
warum wir mit formalen Beschreibungen keine Geschichten erzählen
können.
Die Möglichkeit, einen Vorgang formal zu beschreiben, d. h. ihn in den
Termini einer formalen Sprache ausdrücken zu können, ist an drei Bedin
gungen gebunden: die Bedingung des schriftlichen Symbolgebrauches, die
Bedingung des schematischen Symbolgebrauches und die Bedingung des
interpretationsfreien Symbolgebrauches.
(1) Schriftlichkeit
Die erste Voraussetzung, das Lösen einer Rechenaufgabe formal darzu
stellen, ist, Papier und Bleistift zur Hand zu nehmen. Es können auch Bild
schirm und Tastatur eines Computers sein- jedenfalls bedarf es eines Me
diums, welches erlaubt, eindeutig unterscheidbare, graphische Zeichen in
einer bestimmten Ordnung zu fixieren. Die Zeichen, mit denen wir be
stimmte Zeichenkonfigurationen herstellen können, seien typographische
Symbole genannt. (In dieser Studie wird kein Unterschied zwischen einem
Zeichen bzw. einem Symbol gemacht: beide Begriffe werden äquivalent
gebraucht.)
Auch das Zahlwort 'Fünf' ist ein Zeichen. Doch von dem typographischen
Symbol '5' unterscheidet es sich dadurch, daß die Existenz des Zahlwortes
nicht an die Schriftlichkeit gebunden ist. Zahlwörter gibt es auch in schrift
losen Kulturen. Die Ziffer '5' existiert jedoch nur als schriftliches Zeichen:
das, was wir aussprechen, wenn wir eine Ziffer lesen, ist nicht die Ziffer
selbst, sondern das ihr zugeordnete Zahlwort. In der mündlichen Wieder
gabe wird der typographische Ausdruck 5 + 3 = 8, ein räumliches Nebenein
ander graphischer Zeichen, in das zeitliche Nacheinander von Worten über
setzt. Die typographischen Symbole sind - strenggenommen - unaus
sprechbar.
Formale Beschreibungen bedürfen der typographischen Medien. In einer
2 Worin besteht die Idee der Formalisierung?
formalen Sprache können wir zwar Figuren herstellen, jedoch keinen Dis
kurs führen, also uns verständigen.
(2) Schematisierbarkeit
Hätte die Tochter statt der fünf Buntstifte und drei Glasmurmeln fünf
Bücher und drei Teetassen abgezählt, so bliebe 5 + 3 = 8 immer noch eine
richtige formale Beschreibung dieses Additionsvorganges. Denn solche Be
schreibungen haben den Charakter eines Schemas. Eine Handlung in der
Perspektive des Schemas, welches sie realisiert, zu beschreiben heißt: diese
Handlung konstituiert keinen Eigen-Sinn; sie gilt nicht als ein Ereignis, das
den Charakter einer Geschichte hat, sondern entlehnt ihre Bedeutung der
Einhaltung eines Schemas. Sie wird dadurch zu einem Verfahren.
Verfahren sind -im Prinzip - unbegrenzt oft reproduzierbar. Unter dem
Gesichtspunkt, ein Verfahren zu sein, können Handlungen formal be
schrieben werden. Formale Beschreibungen setzen die unbegrenzte Wieder
holbarkeit der zu beschreibenden Handlungsabläufe voraus.
(3) Interpretationsfreiheit
Wenn auf unserem Blatt Papier der Ausdruck 5 + drei = 8 gestanden
hätte, so wäre dies keine korrekte formale Beschreibung des entspre
chenden Additionsvorganges gewesen. Denn 'drei' ist kein Terminus der for
malen Sprache der Arithmetik, sondern gehört zur Sprache der Metaarith
metik; zu der Sprache also, in der wir über die Arithmetik reden können,
wenn wir z. B. sagen: "Drei ist eine Primzahl." Formale Beschreibungen
setzen die Unterscheidung zwischen einer formalen Sprache und einer Meta
sprache voraus, in welcher wir über die Operationen der formalen Sprache
reden können.
Die Pointe dieser Unterscheidung ist, daß wir bei Operationen innerhalb
der formalen Sprache keinen Bezug zu nehmen brauchen auf das, was ihre
Zeichen bedeuten. Über die Richtigkeit oder Falschheit eines Ausdrucks
innerhalb einer formalen Sprache läßt sich entscheiden ohne Bezugnahme
auf die Interpretation dieses Ausdruckes.
Im Anschluß an diese Überlegungen kann die erste systematische These
formuliert werden, von welcher die historische Rekonstruktion dieser
Studie ausgeht:
Ein Vorgang ist formal beschreib bar, sofern es möglich ist, diesen mit Hilfe
künstlicher Symbole so darzustellen, daß die Bedingungen des typographi
schen, schematischen und interpretationsfreien Symbolgebrauches erfüllt
sind.
Ein Vorgang, welcher diesen Bedingungen genügt, kann auch als Opera
tion einer symbolischen Maschine ausgeführt werden. Was ist unter einer
"symbolischen Maschine" zu verstehen? "Symbolisch" meint hier zweierlei.
Einmal: diese Maschine gibt es nicht wirklich, sondern nur symbolisch. Sie
ist kein Apparat bestimmter physikalischer, z. B. mechanischer oder elektro
nischer Wirkungsweise, der eine bestimmte Stelle in Raum und Zeit ein
nimmt, sondern diese Maschine existiert nur auf dem Papier. Zum anderen:
Worin besteht die Idee der Formalisierung? 3
diese Maschine macht nichts anderes, als Symbolreihen zu transformieren.
Ihre Zustände sind vollständig beschreibbar durch eine Folge von Symbol
konfigurationen, vermittels deren eine gewisse Anfangskonfiguration in
eine gesuchte Endkonfiguration von Symbolen überführt wird.
Ein elementares Beispiel für ein Verfahren, welches als Operation einer
symbolischen Maschine aufgefaßt werden kann, ist die Durchführung der
schriftlichen Multiplikation im dezimalen Stellenwertsystem. Sind be
stimmte Anfangswerte in Gestalt der beiden zu multiplizierenden Ziffern ge
geben, so ist nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Abfolge der einzelnen
Rechenschritte eindeutig festgelegt. Jedem Rechenschritt entspricht eine
spezifische Konfiguration von Zeichen, so daß der niedergeschriebenen
Abfolge der Rechenschritte die Abfolge der Zustände der "Multiplikations
maschine" entsprechen.
Jedes Verfahren, das als Operation einer symbolischen Maschine dar
stellbar ist, kann - im Prinzip - von einer wirklichen Maschine ausgeführt
werden. Das geschieht z. B., wenn bei der mechanischen Rechenmaschine
die Symbolkonfigurationen durch eine entsprechende Konfiguration von
Zahnradstellungen repräsentiert werden. Computer sind Maschinen, die
jede beliebige symbolische Maschine imitieren können.
Wir sind nun in der Lage, die zweite systematische These, die dieser
Studie zugrunde liegt, aufzustellen:
Jeder Vorgang, der formal beschreibbar ist, kann als Operation einersym
bolischen Maschine dargestellt und - im Prinzip - von einer wirklichen
Maschine ausgeführt werden.
Formalisierung - im Sinne der Beschreibung in den Termini einer for
malen Sprache - und Mechanisierung - im Sinne der Ausführung durch
maschinelle Apparate- erweisen sich als Begriffe gleicher Extension: Jede
formalisierbare Prozedur ist auch mechanisierbar.
Aus dieser Perspektive erweist sich die Geschichte der Formalisierung
zugleich als .eine Vorgeschichte der Computerisierung bzw. als eine Ge
schichte der Softwaretechnik.
Diese Arbeit bemüht sich, die Idee der Formalisierung im Sinne der
schrittweisen Herausbildung jener Bedingungen (1)-(3), die erfüllt sein
müssen, damit ein Vorgang formalisierbar ist, zu rekonstruieren. Die Idee
der Formalisierung ist ein Resultat der neuzeitlichen Wissenschaft, welche
der Philosoph, Mathematiker und Logiker Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) in aller Deutlichkeit gefaßt hat. Doch die Voraussetzungen
dieser Idee, die überhaupt erst den Boden bereiteten, aus dem sie er
wachsen konnte, reichen weit zurück bis in die Anfänge eines rechnerischen
Umganges mit symbolischen Zahlenrepräsentanten. Diese Anfänge liegen
nicht in der abendländischen Kultur. Die Konstitution der Mathematik zu
einem beweisenden Lehrstück und damit zu einer Wissenschaft, die wir den
Griechen verdanken, ging vielmehr einher mit einer Rückbildung und Sta-
4 Worin besteht die Idee der Formalisierung?
gnation eben jener Umgehensweisen mit arithmetischen und algebraischen
Symbolen, welche die Technik formalen Symbolgebrauches vorbereiteten.
Ohne die Übernahme des indischen arithmetischen Kalküls, welches die
Araber nach Europa vermittelten, wäre der Aufschwung der neuzeitlichen
Mathematik, dessen Kern die Einführung kalkülisierenderVerfahren in die
Höhere Analysis ist, undenkbar. So versucht die vorliegende Studie insbe
sondere den Anteil der außereuropäischen Kulturen an der Geschichte der
Formalisierung deutlich werden zu lassen. ,
Es kann nicht darum gehen, eine neue Geschichte der Mathematik bzw.
der Logik zu schreiben. Keine neuen Quellen werden in dieser Schrift ausge
wertet. Vielmehr geht es darum, die Fülle des Materials, welche die Mathe
matik-, Logik- und Philosophiegeschichte ausbreitet, in einer neuen Per
spektive zu sichten und auszuwerten, nämlich in der Perspektive der Idee
der Formalisierung, verstanden als die Idee, mit Symbolen mechanisch ope
rieren zu können. Damit legen wir uns zugleich Rechenschaft ab über die ge
schichtlichen Wurzeln und Voraussetzungen dessen, was heute gerne als
vierte Kulturtechnik gekennzeichnet wird: den Gebrauch von Computern.
Bevor der Computer als wirkliche Maschine erfunden wurde, entwickelten
wir den "Computer in uns". Diese langwierige und mühevolle Geschichte
des mechanischen Symbolgebrauches, eine Geschichte, in der wir gelernt
haben, uns beim Operieren mit Zeichen so zu verhalten, als ob wir eine Ma
schine seien, soll hier nachgezeichnet werden. Denn Computer sind nichts
anderes als Maschinen, mit deren Hilfe wir mittels der Formation und Trans
formation von Zeichenreihen symbolische Welten aufbauen. Solche Welten
aber sind formal beschreib bar. Formal beschreibbare Welten verfügen über
keine Geschichte, sowenig wie der Ausdruck 5 + 3 = 8 die Geschichte vom
ersten richtigen Lösen einer Rechenaufgabe unseres Kindes darzustellen
vermag. Doch das Können, welches wir erwerben mußten, um formal be
schreibbare symbolische Welten bzw. die sie erzeugenden Maschinen zu kon
struieren, verfügt über eine spannungsvolle Historie. Zu ihrer Darstellung
wollen wir jetzt übergehen.