syllabus Algèbre linéaire

173 Pages·2017·0.76 MB·French

by  E.M. Vitale

LMAT 1131
ALGEBRE LINEAIRE
E.M. Vitale
´
Ecole de Math´ematique - Facult´e des Sciences
Institut de Recherche en Math´ematique et
Physique
Universit´e catholique de Louvain
2
“Mais `a quoi sert de faire des maths si on ne peut pas compter les uns sur
les autres.”
Youssoupha, L’amour, Bomaye Musik, 2012.
“Il n’y a jamais mauvais ´el`eve, seulement mauvais enseignant.”
Jackie Chan, The Karate Kid, Columbia Pictures, 2010.
“Va savoir pourquoi une descente vue d’en bas ressemble tellement `a une
mont´ee.”
Goofy, Le super-h´eros est fatigu´e, Disney Studio (foreign market stories), 1969.
Table des mati`eres
1 Introduction 7
2 Combinaisons lin´eaires 9
2.1 Syst`emes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Les vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Op´erations sur les vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Sous-espaces vectoriels 15
3.1 Syst`emes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Familles libres, familles g´en´eratrices, bases . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Recherche d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Rang et m´ethode de Gauss 25
4.1 Les matrices associ´ees `a un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Matrices ´echelonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Espace lignes et espace colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Dimension et base de Sol(S ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0
4.5 Structure de Sol(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Calcul matriciel 35
5.1 Combinaisons lin´eaires de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Expression matricielle d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Op´erations ´el´ementaires, changement de base . . . . . . . . . . . 40
6 Espaces vectoriels r´eels 43
6.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Espaces finiment engendr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Applications lin´eaires 49
7.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2 Fibre, noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3 Application aux syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
4 TABLE DES MATIE`RES
7.4 Op´erations sur les applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5 Produit matriciel et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Th´eor`eme de repr´esentation 59
8.1 Functions injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . 59
8.2 Isomorphismes entre espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.3 Le th´eor`eme de repr´esentation pour les applications lin´eaires . . 64
8.4 La matrice associ´ee `a une application lin´eaire . . . . . . . . . . . 66
8.5 Changement des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.6 Divagation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Produit d’espaces vectoriels 73
9.1 Produit cart´esien d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 Somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 75
9.3 Le th´eor`eme du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.4 Application : injectivit´e et surjectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5 Application : somme de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.6 Application : espace lignes et espace colonnes . . . . . . . . . . . 82
10 Espace quotient 85
10.1 Relations d’´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 Espace vectoriel quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11 D´eterminant 91
11.1 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.2 D´efinition g´eom´etrique pour n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.3 D´efinition axiomatique pour n≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.4 Unicit´e du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.5 Construction inductive du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.6 D´eterminant et produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.7 D´eterminant et matrice transpos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.8 Applications : calcul du rang et r`egle de Cramer . . . . . . . . . 105
12 Espaces vectoriels sur un corps 107
12.1 Groupes, anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.2 Espaces sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
13 Espaces euclidiens 115
13.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.2 Norme, distance, orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.3 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13.4 Bases orthonorm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13.5 Probl`emes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
TABLE DES MATIE`RES 5
14 Op´erateurs lin´eaires 131
14.1 Evolution lin´eaire d’une population . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.2 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
14.3 Op´erateurs diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
14.4 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.5 Crit`eres de diagonalisabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15 Triangularisabilit´e 145
15.1 Matrices triangularisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15.2 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
16 Application adjointe 149
16.1 Application adjointe et matrice transpos´ee . . . . . . . . . . . . . 149
16.2 Op´erateurs auto-adjoints et matrices sym´etriques . . . . . . . . . 151
16.3 Th´eor`eme spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17 Formes quadratiques 157
17.1 Formes quadratiques et formes bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . 157
17.2 Formes quadratiques et matrices sym´etriques . . . . . . . . . . . 159
17.3 Le caract`ere d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . 161
17.4 Caract`ere et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
17.5 Loi d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
17.6 Compl´etion des carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6 TABLE DES MATIE`RES
Chapitre 1
Introduction
Le premier objectif du cours est d’´etudierles syst`emes d’´equations lin´eaires.
Par exemple
(cid:26) 3x−2y+ 1z = 5
S: 4 1.1
−1x+y+ √1 z = 0
2 2
est un syst`eme de deux ´equations lin´eaires en trois variables x,y et z.
1.1 Remarque. Lemotlin´eairesignifiequedanschaque´equationlapartiequi
contient les variables est un polynˆome de premier degr´e. Dans le syst`eme 1.1
c’estbienlecas:3x−2y+1z et−1x+y+√1 z sontdeuxpolynˆomesdepremier
4 2 2
degr´e par rapport aux variables x,y et z. Par contre, l’´equation 3ex +2y = 5
n’est pas lin´eaire `a cause du terme exponentielle ex, et l’´equation 3xy+2y =5
n’est pas lin´eaire `a cause du terme xy, qui est du second degr´e.
Enfaced’unsyst`emeScommele1.1onpeutseposerlesquestionssuivantes:
1. Le syst`eme S admet-il des solutions?
2. Si oui, combien de solutions admet-il?
3. Si non, peut-on trouver des solutions approch´ees?
Pour poser ces questions correctement et y r´epondre en toute g´en´eralit´e,
nous introduirons des structures alg´ebriques :
1. les sous-espaces vectoriels et les espaces vectoriels,
2. les applications lin´eaires,
3. les corps commutatifs,
4. les espaces euclidiens,
5. les formes quadratiques.
L’objectif principal du cours sera donc d’´etudier ces structures alg´ebriques
qui (avec d’autres, comme les groupes, les anneaux, les cat´egories, ...) re-
viennent dans plusieurs cours de math´ematique et de physique.
7
8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Combinaisons lin´eaires
Le chapitre 2 section par section
Dans ce chapitre nous allons introduire les op´erations sur les vecteurs de Rn
dontonabesoinpour´etudierl’ensembledessolutionsd’unsyst`emed’´equations
lin´eaires.
1. Un syst`eme d’´equations lin´eaires `a coefficients r´eels peut ˆetre impossible
(pas de solutions), d´etermin´e (une solution unique) ou ind´etermin´e (une
infinit´e de solutions).
2. Une solution d’un syst`eme `a n variables est un vecteur de Rn, c’est-`a-dire
une n-uple (cid:126)x=(x ,x ,...,x ) de nombres r´eels.
1 2 n
3. On peut effectuer la somme (cid:126)x+(cid:126)y de vecteurs et le produit α·(cid:126)x d’un
scalaire par un vecteur. Ces deux op´erations permettent de construire les
combinaisons lin´eaires α·(cid:126)x+β·(cid:126)y.
2.1 Syst`emes d’´equations lin´eaires
Un syst`eme d’´equations lin´eaires est donn´e par un nombre fini d’´equations
lin´eaires, chaque ´equation lin´eaire contient un nombre fini de variables. Par
exemple
(cid:26) 3x−2y+ 1z = 5
S: 4 2.1
−1x+y+ √1 z = 0
2 2
est un syst`eme de deux ´equations lin´eaires en trois variables x,y et z. Pour
pouvoir travailler avec plus de variables, il convient de remplacer
xy z par x x x .
1 2 3
De cette fac¸on le syst`eme 2.1 s’´ecrit comme
(cid:26) 3x −2x + 1x = 5
S: 1 2 4 3 2.2
−21x1+x2+ √12x3 = 0
9
10 CHAPITRE 2. COMBINAISONS LINE´AIRES
Voici d’autres exemples :

3x +x −x = 0
 1 2 3
S: 4x +7x = 1 trois ´equations en trois variables
2 3
 −x −x +x = 1
1 2 3 2
S: (cid:8) −x + 2x = 3 une ´equation en deux variables
1 3 2 5
2.1 Notation. La forme g´en´erale d’un syst`eme lin´eaire est :

a x +a x +...+a x = b
 a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1
S: 21 1 22 2 2n n 2 2.3
......
 a x +a x +...+a x = b
m1 1 m2 2 mn n m
qui est un syst`eme avec m ´equations lin´eaires en n variables.
Dans le syst`eme 2.3 :
- les x ,x ,...,x sont les variables,
1 2 n
- les a ,a ,...,a sont les coefficients r´eels,
11 12 mn
- les b ,b ,...,b sont les termes ind´ependants.
1 2 m
Si nous notons par R l’ensemble des nombres r´eels, nous avons :
- a ∈R (i=1,...,m, j =1,...,n)
ij
- b ∈R (i=1,...,m)
i
2.2 D´efinition. Une solution d’un syst`eme S `a n variables est un n-uple
(x ,x ,...,x ) de nombres r´eels qui est solution de chaque ´equation contenue
1 2 n
dans le syst`eme S.
2.3 Exemple. Le triplet (0,0,0) n’est pas solution du syst`eme 2.2 car il est
solution de la deuxi`eme´equation (si on remplace x par 0, x par 0 et x par 0
1 2 3
dans −21x1+x2+ √12x3 = 0, on obtient 0 = 0) mais pas de la premi`ere (si on
remplace x par 0, x par 0 et x par 0 dans 3x −2x + 1x = 5, on obtient
1 2 3 1 2 4 3
0=5).
Par contre le triplet (5,5,0) est solution du syst`eme 2.2 car il est solution tant
2 4
de la premi`ere que de la deuxi`eme ´equation.
2.4 Remarque. Troiscaspeuventsepr´esenterpourunsyst`emeS d’´equations
lin´eaires :
1. Lesyst`emeS n’apasdesolutions.OnditqueS estunsyst`emeimpossible
(ou sur-d´etermin´e).
2. Le syst`eme S admet une solution unique. On dit que S est un syst`eme
d´etermin´e.
3. Lesyst`emeS admetuneinfinit´edesolutions.OnditqueS estunsyst`eme
ind´etermin´e (ou sous-d´etermin´e).