Sur une notion d'autonomie de systèmes dynamiques, appliquée aux ensembles invariants des ...

41 Pages·2002·0.11 MB·French

Sur une notion d'autonomie de systèmes
dynamiques, appliquée aux ensembles invariants
des flots d'Anosov algébriques.
par
A. Zeghib

C.N.R.S : U.M.R 128. Ecole Normale Supérieure de Lyon,
46, Allée d'Italie, 69364 LYON Cedex 07. FRANCE.
Abstract. We introduce a notion of autonomous dynamical systems which generalizes
algebraic dynamical systems. We show by giving examples and by describing some
properties that this generalization is not a trivial one. We apply the methods then
1
developed to algebraic Anosov systems. We prove that a C - submanifold of finite
volume which is invariant by an algebraic Anosov system is "essentially" algebraic.
Résumé . On introduit une notion de systèmes dynamiques autonomes généralisant les
systèmes dynamiques algébriques. On montre en donnant des exemples et en décrivant
certaines propriétés que cette généralisation est non-triviale. On applique les méthodes
ainsi développées aux ensembles invariants des systèmes d'Anosov algébriques. On
1
démontre qu'une sous-variété C de volume fini et invariante par un système d'Anosov
algébrique est "essentiellement" algébrique.
§0. Introduction.
Cet article a deux objectifs : l'introduction (et l'étude) d'une notion de systèmes
dynamiques autonomes, puis leur application à l'étude des sous-ensembles invariants des
systèmes d'Anosov algébriques.
0.1. Systèmes dynamiques autonomes. Le §1 sert d'introduction aux systèmes
dynamiques autonomes. On y trouvera les définitions et propriétés préliminaires ainsi que
quelques exemples.
1
Ces systèmes dynamiques autonomes généralisent, de façon non-triviale les systèmes
algébriques (i.e. les groupes à un paramètre de translation sur les quotients de groupes de
Lie), comme il ressortira des exemples du §3. Ils englobent par exemple (en plus des flots
algébriques), d'un côté tous les flots isométriques, et de l'autre tous les flots géodésiques
des variétés localement symétriques.
Cette généralisation n'est pas non plus très vague. En effet, on remarquera par exemple en
1.4, que le exposants de Lypunov sont continus. On remarquera aussi (1.5, théorème A)
un phénomène, très intéressant de conservation de volume, qui malgré sa simplicité paraît
non connu même dans le cas classique des flots algébriques. Enfin il semble même qu'une
classification de ces objets soit possible. Dans ce sens le théorème C (formulé et démontré
au §8) dit essentiellement qu'un flot autonome et mixing (et vérifiant une condition qu'on
ne peut pas expliciter à ce niveau) est algébrique. En général il est raisonnable de penser
que les composantes ergodiques d'un système dynamique autonome sont algébriques (ces
composantes peuvent cependant être très différentes entre elles).
0.2. Motivation. Voici à notre avis deux avantages de ces systèmes dynamiques
autonomes (en plus de leur naturalité) par rapport aux systèmes algébriques :
i) Ils s'expriment pour des flots fibrés (1.2), ce qui n'est pas le cas des systèmes
algébriques. Ce langage de flots fibrés permettra de dégager facilement la propriété de
conservation du volume (1.5, §3) ainsi que d'autres faits qu'on rencontrera par la suite.
ii) Généralement un "sous-système d'un système autonome est autonome" (§7). On ne
peut par contre pas espérer la même chose pour les systèmes algébriques, à moins qu'il
soit par exemple de type Anosov comme dans le présent texte. Considérons par exemple
une matrice A ˛ SL(n, Z) agissant sur le tore Tn. Supposons A scindée de la façon
suivante : pour tout (x, y)˛ TkxTn-k, on a A(x, y) = (Bx, y) où B˛ SL(k, Z). Toute sous-
variété de la forme N = TkxN', où N' est une sous-variété de Tn-k est donc A-invariante.
On ne peut dire que la restriction de A à N est (naturellement) algébrique que si N est un
tore géométrique (i.e. affine). On peut par contre généralement affirmer que cette
restriction est autonome. Certes c'est un exemple un peu trivial, mais on peut dire à
première approximation que les systèmes autonomes sont simplement les sous-
systèmes des systèmes algébriques (i.e. ce qu'on obtient en saturant l'ensemble des
systèmes algébriques par l'opération de restriction).
0.3. Ensembles invariants des systèmes d'Anosov algébriques. Le §2
contient les résultats de cet article sur les sous-ensembles invariants des systèmes
d'Anosov algébriques. Soit (M, f ) un tel système : M est une variété compacte et f est un
difféomorphisme ou un flot d'Anosov dessus. Soit NcM une sous-variété C1, fermée
(compacte sans bord) invariante par f . L'étude de telles N a été inaugurée dans [Hir] et
poursuivie dans [Fat], [Fra], [Han], [Hir], [Ma~n ] , [Ma~n ] , [Zeg] ..
1 2 1
2
J. Franks [Fra] (dans le cas C¥ ), puis R. Ma~n é [Ma~n ] (dans le cas C1) ont démontré
2
dans le cas des automorphismes hyperboliques du tore que N est un sous-tore
(géométrique). Dans ce présent travail on généralisera ce résultat en supposant que (M, f )
est algébrique (ce qui est assez vaste pour être classifié d'après [Tom]). Quant à N, elle
sera simplement supposée une sous-variété immergée (pas nécessairement injectivement)
et de classe C1. En particulier N ne sera pas supposée fermée dans M. Notre approche,
contrairement aux réferences citées ci-dessus, est géométrique et purement non-
topologique. On remarquera (sans le démontrer ici) que notre méthode peut s'adapter au
cas où N est rectifiable [Fed]. Cette dernière hypothèse de régularité est presque optimale
comme le montrent les constructions de [Fat] et [Han].
0.4. Contenu du texte. Le §1 introduit les systèmes dynamiques autonomes et surtout
l'énoncé du théorème A sur la conservation du volume. Le §2 contient les résultats sur les
sous-ensembles invariants des flots d'Anosov algébriques : le théorème B et ses variantes.
Le §3 contient des exemples de systèmes dynamiques autonomes et le §4 contient la
preuve du théorème A. Le §5 (intéressant en lui même) étudie la relation de Lipschitz-
ergodicité, qui s'obtient de la même façon que les composantes ergodiques au sens de la
théorie de la mesure en remplaçant les fonctions mesurables invariantes par des fonctions
Lipschitz invariantes. Il se trouve que cette relation se caractérise de façon géométrique
très simple. Au §6 on définit l'holonomie d'un flot fibré linéaire isométrique (transport
parallèle). Le §7 contient les notions essentielles servant aux preuves des théorèmes B et
C. Il est aussi simple et central que le §4 sur la conservation du volume. On y précise le
fait discuté ci dessus (0.2) disant que généralement un sous-système d'un système
autonome est autonome. Enfin les preuves des théorèmes C et B seront achevées
respectivement aux §§ 8 et 9. Ces preuves reposent fondamentalement sur le théorème A
et le théorème 7.4.
§1. Sur une notion d'autonomie de systèmes dynamiques.
Dans ce texte on entend par système dynamique un flot (groupe à un paramètre
continu de difféomorphismes) généralement noté (M, f ) (les groupes à un paramètre
discret, c'est-à-dire les difféomorphismes se traitent de la même façon. On fera le long du
texte quelques remarques sur des légères différences entre les deux cas). Ici M est une
variété riemannienne qui ne sera supposée ni compacte (ni même complète) et f désignera
aussi bien le flot que le champ vectoriel qu'il détermine (en réalité la majorité des notions
qu'on introduira par la suite s'étendent au cas où M est un espace métrique et f est un
groupe à un paramètre d'homéomorphismes dessus).
3
1.1 Flots algébriques [Tom].
Soit G un groupe de Lie et gt = exp(t a) un groupe à un paramètre de G, a étant
dans l'algèbre de Lie de G. Cela définit sur G un flot de translations à droite, x fi x gt.
Ce n'est rien d'autre que le flot du champ invariant à gauche déterminé par a .
Observation fondamentale : Ce flot est conservé par l'action à gauche de G sur lui
même. En effet les translations à gauche et à droite commutent entre elles. Il s'agit
simplement de l'associativité de la multiplication de G!
Soit G un sous-groupe discret de G. On a alors un flot quotient sur G \ G : G x fi G xgt.
Cette fois G n'agit plus à gauche sur G \ G. Il agit plutôt localement au sens précis qu'il
agit sur un revêtement de G \ G, qui est en l'occurrence G lui même. Cette action locale
préserve le flot au sens que c'est le cas dans le revêtement précédent. Plus intuitivement ,
soit g un élément de G et U un ouvert de G assez petit pour que la projection GfiG \ G
soit injective sur U et gU. Alors g détermine un difféomorphisme entre ces projections.
"L'observation fondamentale" dit simplement que le flot sur G \ G est conservé par tous
ces difféomorphismes locaux et par suite par le pseudo-groupe de difféomorphismes
qu'ils engendrent. Ce dernier pseudo-groupe agit transitivement sur G \ G. On peut le
rendre isométrique en munissant G d'une métrique invariante à gauche, qui déterminera
donc une métrique sur G \ G invariante par notre pseudo-groupe.
t
Soit encore H un sous-groupe compact de G. Supposons que g centralise H c'est à dire
que gth = h gt pour tout h élément de H . Alors le flot se projette sur M = G \ G / H : x fi
G xgt H (pour ne pas sortir de notre cadre, on supposera que M est une variété, c'est-à-dire
que H agit à droite sans point fixe sur G \ G). On peut supposer que la métrique
précédente sur G est H-invariante à droite (car H est compacte) de telle façon qu'elle
passera à M. L'observation est la même : notre flot commute avec un pseudo-groupe
d'isométries transitif sur M.
La réciproque de cette observation est en fait vraie si l'on élargit les variétés (localement
homogènes ) de type M = G \ G /H aux variétés admettant une (G, G/H)-structure (voir
[Ghy] , [Thu]). Cela veut dire que M est recouverte par des cartes à valeurs dans G/H et
1
telles que le passage de l'une à l'autre soit la restriction d'une translation à gauche sur
G/H. Le groupe à un paramètre gt (supposé comme ci-dessus centralisant H) détermine un
flot local (i.e. un champ vectoriel) sur M. De même la métrique ci-dessus se définira bien
dans M ( elle est éventuellement non-complète). Ce flot local est toujours préservé par un
pseudo-groupe d'isométries transitif.
4
Affirmation. Tout flot local (sur une variété riemannienne) conservé par un pseudo-
groupe d'isométries transitif s'obtient de la façon précédente.
La preuve est standard, on la fera en 8.1 lorsque H est trivial (le cas général se fait de la
même façon).
Terminologie. Un tel flot sera dit algébrique. On dira qu'il est de type homogène
si H est trivial et de type localement homogène dans le cas général.
Dans ce texte, sauf au §8, et ce pour alléger l'exposé, on ignorera le cas non-complet. En
d'autres termes on supposera que M est complète (i.e. M est de la forme G \ G /H )
Remarque. 1. Les difféomorphismes algébriques se définissent de la même façon, en
supposant que gt est un groupe à un paramètre discret (i. e. t ˛ Z). On les définit
classiquement, plus directement à l'aide d'automorphismes (affines) de groupes de Lie.
Des considérations de produits semi-directs permettent de montrer l'équivalence des deux
formulations.
Remarque. 2. La compacité de H est importante pour nous. Sans elle on peut obtenir
des flots exotiques comme dans [Ghy] , où il a été question d'un tel flot sur une 3-variété
1
compacte, qui est de type Anosov. Ce flot n'est pas isomorphe (en tant que flot) à un flot
algébrique.
Généralisation. Les flots autonomes qu'on va introduire tout de suite sont
essentiellement obtenus en affaiblissant la propriété précédente de la manière suivante:
i) Le groupe G n'agit "qu'infinitésimalement ".
ii) L'action n'est plus transitive sur M, mais elle l'est seulement le long des orbites
de f .
On verra plus loin ( §1.3 et partout le long de ce texte ) que ce faisant , on gardera bien
l'essentiel de la beauté des flots algébriques.
Passons maintenant à des définitions précises.
1.2 Flots autonomes. Le cadre naturel de l'autonomie est les flots fibrés linéaires.

1.2.1. Flots fibrés linéaires [Sel]. Soit (M,f ) un flot, Efi M, un fibré au dessus de
M et F un flot sur E au dessus de f c'est à dire que pour tout x ˛ M, Ft envoie E sur
x
Ef t (x). On dira que (E, M, f , F) ou tout simplement F est un flot fibré au dessus de
(M,f ). On dira que c'est un flot fibré linéaire si le fibré est vectoriel et si Ft est un
5
t
endomorphisme de ce fibré pour tout t. L'exemple classique est celui où E = TM et F =
Df t est le flot tangent à f si f est C1.
1.2.2. Flots fibrés linéaires isométriques. Supposons le fibré muni d'une
métrique (fibrée) riemannienne. On dira qu'un flot fibré (E, M, f , T) est isométrique si
pour tout x ˛ M, T t : Ex fi Ef t (x) est isométrique.
Exemple. Supposons M munie d'une connexion riemannienne (c'est-à-dire compatible
avec la métrique riemannienne mais éventuellement à torsion). Alors le transport parallèle
le long des trajectoires de f définit un flot fibré linéaire isométrique sur TM (cette
construction n'a pas d'analogue pour les difféomorphismes).
Définition (Autonomie). Soit (E, M, f , T) un flot fibré isométrique. On dira qu'un
flot fibré (E, M, f , F) est T-autonome (ou autonome par rapport à T) si F et T commutent,
t s s t
c'est à dire : F T = T F pour tout t et s réels.
Définition. Soit M une variété riemannienne. On dira que le flot (M, f) est T-autonome
si son flot tangent (TM, M, f , Df ) est T-autonome.
Définition. On dira que (E, M, f , F) est autonome s'il est T-autonome pour un certain T
(isométrique). On définit de même l'autonomie de (M, f ).
Remarque 1. Comme le suggère la notation le flot fibré isométrique T sera appelé le
transport parallèle. Le point de départ de cette notion d'autonomie était en réalité, la
remarque que le flot géodésique d'une variété localement symétrique est autonome par
rapport à un flot fibré linéaire isométrique construit naturellement à l'aide du transport
parallèle de cette variété (§ 3.2). De plus, on peut en général se ramener à l'exemple de
1.2.2, c'est-à-dire où le transport parallèle le long des orbites provient de celui d'une
connexion riemannienne sur M. Sans rentrer dans ses détails, cette remarque nous permet
de dire qu'en général les flots autonomes sont ceux qui préserve le transport parallèle le
long de leurs orbites, au sens d'une connexion riemannienne (sans préserver
complètement cette connexion!).

Remarque 2 (Régularité). On peut étudier les flots fibrés linéaires autonomes en se
fixant un certain contexte de régularité pour f , F, T et la métrique. Toutefois pour
simplifier ( surtout au §6 sur l'holonomie) on va supposer que T est Lipschitz et que f
est C1 (pour pouvoir parler de son flot tangent Ft = Df t ).
6
Exemple.1. Les flots algébriques sont naturellement autonomes. Supposons d'abord
que G et H sont triviaux. Pour tous x et y = f t x = xgt , sur une même orbite , il existe une
unique translation à gauche k = xgt x-1 amenant x à y . On prendra T t = D k : T G
x x x
(cid:190)fi T G. C'est bien un flot fibré lineaire isométrique sur TG au dessus de f . La
y
condition d'autonomie est bien vérifiée puisque f commute avec la translation à gauche k,
elle même.
On montre maintenant que cela a un sens sur M = G \ G /H, c'est-à-dire que si x'˛ M et y'
= f tx', x étant un relevé de x' dans G, alors T t détermine une isométrie T M fi T M,
x x' y'
indépendante du choix de x. Adoptons pour cela les notations standard : si u ˛ TG, alors
g.u (resp. u.g) est l'image de u par la dérivée de la multiplication à gauche (resp. à droite)
par g. Ainsi si u ˛ T G, alors T t(u ) = xgtx-1.u .
x x x x x
Considérons u et u' deux éléments de T G se projetant sur un même vecteur de T M
x x x x
(i.e. u -u' ˛ x.H = T (x.H) ), alors il en va de même pour T t(u ) et T t(u' ) car T t(u -
x x x x x x x x x
u' ) ˛ xgtx-1(x.H) = xgt.H = y.H.
x
Considérons maintenant u ˛ T G tel que z = g xh et u = g .u .h, où g ˛G et h ˛ H de telle
z z z x
façon que u et u déterminent le même élément de T M. On a T t(u ) = zgtz-1.u =
x z x' z z z
g xhgth-1x-1g -1.u = g xhgth-1x-1g -1.g .u .h = g xgtx-1.u .h ( car hgth-1 = gt ) = g .T t(u ).h.
z x x x z
Le transport parallèle est donc bien défini sur M.
Une autre façon de voir les choses consiste à dire que G est canoniquement parallélisable,
en identifiant tous ses espaces tangents par translation à gauche, à l'algèbre de Lie G. Ce
parallélisme invariant à gauche passera aux quotients homogènes du type G \ G. Le
transport parallèle est induit de ce parallélisme. Quant au cas localement homogène: M =
G \ G /H, c'est seulement le transport parallèle le long des orbites de f (mais non tout le
parallélisme) qui passe à M = G \ G /H.
Exemple 2. Les flots isométriques (i.e. Df t isométrique pour tout t) sont naturellement
autonome. On prendra simplement T t = Df t.
1.3. Flots et endomorphismes structuraux.
Considérons un flot algébrique de type homogène sur M = G \ G. Relativement au
parallélisme canonique , identifiant tous les espaces tangents à G, l'application dérivée
D f t est représentée par Ad(gt) : G - G ( elle est en particulier indépendante de x ). Ainsi ,
x
toute la dynamique infinitésimale de f est déterminée par le groupe à un paramètre Ad(gt)
˛ Aut (G). Il n'est peut être pas exagéré de dire que cette propriété est l'essentiel de
"l'algébricité" ([Ghy] , 2.1).
2
Les flots autonomes vérifient une propriété analogue. Soient en général (E, M, f , T) et
(E,M,f ,F) deux flots fibrés linéaires dont le premier est isométrique. Pour x ˛ M,
t t t
considérons Sx : Ex fi Ex ; Sx = T - t F t. En général Sx est la résolvante d'une
équation linéaire non autonome (c'est-à-dire que les applications t fi S t(u), pour u ˛ E
x x
7
sont solutions d'une équation linéaire non-autonome sur l'espace vectoriel E ).
x
t t + s
Maintenant si F et T commutent alors Sx est bien un groupe à un paramètre : S x = T
t s
- t - s t s - t t - s s
T F F = T F T F = Sx Sx . En d'autres termes l'équation dont il s'agit est
autonome. C'était là l'origine de la terminologie (flots autonomes). Réciproquement dès
t
- t t s -
que Sx est un groupe à un paramètre alors le flot F est T- autonome (car :T (F T ) F
t - s t - s t
s s - t t - s - t s t - s
= Sx Sx = Sx = T F = T (T F ) F ). On appellera Sx le flot
linéaire structural (au point x). Il se transforme le long de l'orbite de x suivant la loi :
t t t
s - s s - s
Sf s(x) = F Sx F = T Sx . T .
t
Il existe un endomorphisme Ax, qu'on appellera également structural tel que Sx =
exp (tA ).
x
1
Remarque. Pour les difféomorphismes, il y a un automorphisme structural Sx , mais
il n'y a pas d'endomorphisme structural comme A .
x
1.4. Scindement de Lyapunov.
Une propriété remarquable des exposants de Lyapunov des flots autonomes , est
qu'ils déterminent le comportement exact et non seulement asymptotique (de la dynamique
sous le flot tangent). Ces exposants sont continus et ne dépendent pas de la mesure
servant à les définir et de plus tous les vecteurs sont réguliers ( au sens de la théorie des
exposants de Lyapunov).Tout cela découle de l'existence de l'endomorphisme structural
(1.3). Soit en effet l (x), ...l (x) les racines complexes (comptées avec multiplicité) de
1 n
l'endomorphisme structural A . Localement on peut les choisir (c'est-à-dire
x
éventuellement ré-indicer) continues. Soit n (x) ‡ ....‡ n (x) leurs modules (comptées
1 n
avec multiplicité). Ce sont les exposants de Lyapunov, qui sont donc continues . Notons
P (x) l'espace caractéristique associé à l (x) et E (x) la somme des espaces associés aux
i i i
valeurs propres de module n (x). Ce sont les sous-espaces de Lyapunov. Ils sont semi-
i
continus supérieurement au sens que si x fi x et E(x ) fi L, alors Lc E(x). Dans
k i k i
l'ouvert invariant dense où les dimensions de ces espaces sont localement constantes, ces
espaces de Lyapunov sont en fait de classe Cr si le transport parallèle et le flot le sont. Cet
ouvert est en fait égal à M dès que par exemple, (M, f ) est ergodique pour une mesure
pleine invariante
1.5. Conservation du volume.
Comme première raison à la possibilité de "classification" des flots autonomes,
remarquons le phénomène de conservation du volume suivant :
8
Théorème A. Soit (M, f) un flot autonome et N une sous-variété (immergée) de classe
C1, invariante par f et de volume fini pour la métrique riemannienne induite. Alors le flot
(N,f ) conserve une mesure finie équivalente à la mesure de Lebesgue. La mesure
riemannienne elle même est en fait conservée lorsque M = N ou lorsque l'endomorphisme
structural est partout à valeurs propres réelles. En général la densité de la mesure
invariante par rapport à la mesure riemannienne, peut être choisie bornée le long des
orbites.
Remarque. Le terme "sous-variété" sera précisé dans 2.2. Ce théorème s'étend (avec
pratiquement la même démonstration) aux sous-ensembles rectifiables (voir [Fed] pour la
définition de rectifiabilité).
§2. Ensembles invariants des flots d'Anosov algébriques.
Soit (M,f ) un flot d'Anosov algébrique et N un sous-ensemble invariant de M
2.1. Hypothèses sur N.
Régularité. Nos résultats sont valables pour N rectifiable [Fed]. Dans ce texte , on va
simplifier en supposant que N est" une sous-variété C1". Ceci signifie pour nous ici que
N est l'image d'une immersion C1 ( qui n'est nécessairement ni injective ni propre). C'est
par exemple le cas du complémentaire d'un nombre fini d'orbites périodiques ( ou d'un
fermé invariant d'intérieur vide quelconque) dans une sous-variété compacte.
_
Naturellement nos résultats porteront sur N la fermeture de N.
"Compacité". On supposera que N est de volume fini pour la métrique riemannienne
induite (mais elle n'est nécessairement ni compacte ni même complète). Aucune hypothèse
de compacité ou finitude n'est faite sur M
2.2. Rigidité. Si M = G \ G / H, la question de rigidité naturelle qui se pose est : N
(ou plus exactement sa fermeture puisqu'on ne suppose pas N fermée) est-elle la
projection dans M d'une partie de G de la forme gG', où g ˛ G et G' est un sous-groupe
de G. On donnera dans ce qui suit un exemple montrant que ceci n'est pas tout à fait vrai.
Mais regardons d'abord quand est ce que une telle projection vérifie bien nos hypothèses
précédentes.
2.2.1. Condition 1. Remarquons d'abord que pour que la projection soit f -invariante,
il n'est pas nécessaire que G' contienne le groupe à un paramètre gt = exp(t a ) En effet
t
d'autres groupes à un paramètre, combinaison de g avec des éléments de H, déterminent
9
le même flot sur M = G \ G / H . Ils sont de la forme exp t (a + b ) où b est dans
t
l'algèbre de Lie de H. On dira qu'ils sont équivalents à g. Le sous-groupe G' doit
simplement en contenir un.
2.2.2. Condition 2. Remarquons maintenant que si la projection N de gG' est de
volume fini, alors elle est fermée. Il suffit de le voir pour la projection correspondante
dans G \ G. Ici elle n'est rien d'autre que l'orbite de G g ˛G \ G par l'action de G' sur
G \G. Si elle n'est pas fermée, cette orbite passera une infinité de fois au voisinage d'un
certain point et aura par conséquent un volume infini.
2.2.3. Définition (Flots sous-algébriques). Un flot sous-algébrique (N, f ) est
une réunion finie de telles parties, c'est-à-dire que N est réunion finie de projections de
parties de la forme gG' telles que :
i) G' est un sous-groupe de Lie fermé ( pas nécessairement connexe) contenant un groupe
à un paramètre équivalent à gt.
ii) La projection de gG' dans M est fermée.
Remarque 1. Dans la définition précédente on ne suppose pas que N est de volume fini.
Remarque 2. Lorsque H est trivial, un flot sous-algébrique est simplement une réunion
finie d'orbites fermées dans G \ G, de certains sous groupes de G, contenant gt.

Remarque 3. Une composante connexe d'un flot sous-algébrique est naturellement
algébrique (comme flot abstrait) : à l'aide des notations précédentes , on identifie cette
composante à G ' \G'/H' avec H' = G' ˙ H et G '= (g-1 G g) ˙ G'. Le seul point à
remarquer, c'est que le groupe à un paramètre inclus dans G' et équivalent à gt normalise
H et par suite H', mais ne les centralise pas (à priori) . On verra plus loin (3.1) qu'on peut
en trouver un qui centralise.
2.2.4. Exemple. Voici un exemple qui n'est pas sous-algébrique, à partir duquel on
dégagera une notion de flot semi sous algébrique. Soit B˛ SL(2, Z), hyperbolique et à
valeurs propres positives. Soit A ˛ SL(4, Z), définie par A(x, y) = (B(x), B(y)), pour
(x, y)˛ R2xR2. Construisons un groupe à un paramètre At ˛ GL(4, R) telle que A1 = A,
de la façon suivante. D'abord, A étant diagonalisable et à valeurs propres positives, le
groupe à un paramètre Ct = exp t Log(A) existe bien. Soit u et v deux vecteurs propres
(non-colinéaires) de B. Les espaces propres de A sont deux plans P et P où P (resp.
u v u
P ) est engendré par (u, 0) et (0, u) (resp. (v, 0) et (0, v)). Considérons un groupe à un
v
paramètre Rt de R4 qui respecte ces deux plans et qui soit trivial sur P et non-trivial sur
v
10