Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique

4 Pages·1902·0.847 MB·French

by  Jacques Hadamard

PRINCETON UNIVERSITY BULLETIN.
XIII.
VOL. APRIL, 1902. No. 4.
SUR LES PROBLÈMES AUX DERIVEES
qu’ils correspondent ou non à une donnée
PARTIELLES ET LEUR SIGNIFICA
physique.
TION PHYSIQUE.
Relativement à l’équation de Laplace
PAR M. JACQUES HADAMARD. 8’u 8’u 8‘u
“ (A) W + 8—3;:+ 82—;= 01
Laphysique ne nous donne pas seulement l'occa
sion de résoudre des problèmes . . . . elle nous fait c’est le problème de Dirichlet (ou l’un de
preœentlr la solution."—Poincaré. ses analogues) qui se présente dans les ap
Les principaux problèmes que les gé plications physiques. De fait, le prob
omètres ont été conduits à se poser rela lème de Dirichlet est un problème
tivement aux équations aux dérivées par possible et déterminé. Considérons, au
tielles seramènent àdeux types généraux : contraire, le problème de Cauchy relatif
—le problème de Dirichlet et ses analo à l’équation (A), c’est-à-dire celui qui
gues, dans lesquels la fonction inconnue. consiste à déterminer pour 2:>0 une solu
definie dans un certain domaine, doit tion de cette équation telle que l’on ait
vérifier, en chaque pomt de la frontière de pour a::0,
ce domaine, une certaine condition (en u = 8a
supposant, pour fixer les idées, l'equation un) 8x =u'07
du second ordre) ; le problème de Cauchy, uo, et u’o étant deux fonctions données de
dans lequel les conditions à. remplir en y, 2. Ce problème, dépourvu de signifi
chaque point de la frontière sont au nom cation physique, est toujours possible
bre de deux, l’une donnant la valeur de lorsque u, et 24’, sont des fonctions ana
la fonction en ce point et l’autre la valeur lytiques. Mais on sait aujourd’hui qu’il
d'une de ses dérivées premières. en est tout autrement dans le cas général.
Les deux problèmes ainsi posés se sont D’une manière plus précise, si l‘on sup
présentés dans toute sorte de questions de pose donnée tout d’abord la fonction un,
physique mathématique. D’autre part, la fonction u’, est déterminée à une fonc
on a pu trouver des cas très étendus dans tion analytique près, et la forme générale
lesquels l’un ou l’autre de ces problèmes de u", pourra s’obtenir aisément par le
se présentait comme parfaitement bien moyen suivant:
posé, je veux dire comme possible et déter La fonction uo étant définie dans une
miné. certaine région du plan de yz, envisageons
Il
est remarquable que ces deux circon un cercle O de ce plan, entièrement situé
stances soient intimement liées l’une à. dans la région en question, et la demi
l’autre, et cela d’une manière assez étroite sphère S qui a ce cercle comme grand cer
pour que deux problèmes tout-à-fait ana cle et est située du coté des x positifs.
logues en apparence puissent être l’un La fonction inconnue u pourra être con
possible et l’autre impossible, suivant sidérée comme détemiinée par les valeurs
50 THE PRINCETON UNIVERSITY BULLETIN.
que’lle prend dans le cercle C (savoir les considérer, dans lequel on prend t pour va
valeurs uo) etsur la surface hémisphérique riable principale, elle est, au contraire, in
S, et l’on peut former l’expression de u à exacte, pour la même (B), lorsque
l’aide de ces quantités, car le volume S la variable principale est 2:, 3/ou 2, c’est-à
est un deceux pourles quels la solution du dire pour e problème suivant: Trouver
l
Il
problème de Dirichlet est connue. est pourx > 0,une solution u de l’équation (B)
aisé de voir que la partie qui correspond telle que l’on ait, pour 22:0,
aux valeurs de u sur S représente tou
81/.= ,
jours une fonction dex, y, zanalytique aux u—uoa a; um
environs de tout point intérieur au cercle
u, et u’, étant des fonctions données de
C, de sorte que l’on a ce résultat:
SoitW le potentiel d’une double couche y, zet t.
Prenons, en effet, un cas particulier,
distribuée sur le plan de yz, l’épaisseur des
cette double couche en chaque point étant celui où les fonctions no, u’0 sont indé—
pendantes de 1. Dans ce cas, si la solu
représentéepar Leproblème de Cauchy
au. tioncherchée u est unique, elle sera certaine
n’est possible que si l’on a
8W mentindépendante de t. Mais alors l’équa
“,o: 211|- 's—Œ+‘ à) tpiroéncè(dBe),seerpérdoubliètmàe(A)deet,Cda’uacphryèssecrea,qeuni
4» étant une fonction analytique dey et de z. l
général, impossible.
Considérons maintenant l’équation du
son Reste asavoir s’il ne peut pas exister
8’u 8’u 8 u 8’u une infinité de solutions u prenant, ainsi
(B)L’étude18d;,e+laWpropaÿg—ation5‘;d=u0son con que 8—", les mêmes valeurs pour z=0.
duit à poser. pour cette équation, le prob Ilest clair que cette question revient à la
lème de Cauchy, ce problème étant, ici, le suivante: L’équation (B) peut-elle ad
suivant: déterminer pour t >0, une solu mettre une solution u, définie pour a:>0
tion u de l’équation précedente. telle que
l’on ait, pour t=0, et s’annulant ainsi que %, pour a:=0
2
u=U, 8a _U' (sans que u soit identiquement nul.)
87
Une telle solution u sera définie seule
U. U’ étant des fonctions données de 95,31,z. ment pour les valeurs positives de x.
Un tel problème est en général, possible et Mais on pourra étendre sa définition aux
déterminé. Sa solution est donnée par la valeurs negatives de cette variable, en
formule de Poisson: posant
t):
u <x,y.z,t)= —, W) z]+ (Un “(—23! 31,2, “(17317 2) t)!
38 et une telle extension respectera la conti
où (U) et (U') sont les valeurs moyennes nuité de u et de ses dérivées pourx= 0.
de Uet de U' sur la sphère de centre Dès lors, on pourra considérer la fonc
ac,y, zet de rayon t. tion a comme définie par ses valeurs Uet
Mais il faudrait se garder d’énoncer les valeurs U’ de sa dérivée par rapport à.
cette conclusion sous la forme suivante: t, pour t= 0,et la représenter par la for
“ Le problème de Cauchy, relatifàl’équa mule de Poisson, précédemment rappelée.
tion (B), est possible et déterminé.” Pour que l’expression ainsi écrite vérifie
En effet, si cette conclusion est vraie les conditions initiales données,ilfaudrait
pour le problème que nous venons de que l’on ait, pour z= 0,
THE PRINCETON UNIVERSITY BULLETIN. 51
(1) gsum-11+ w, >.z=0, ld’eosn dreeucoxnninatîétgeranlecsonsidérant la différence
8 8U ' 8U’ 'PQ/m zov t) et ‘l’Q/o'l‘Ayo, z01 1)?
<2) a [(n -‘]+(n‘)"=°' ——lesquelles sont deux intégrales triples
étendues àdeux sphères Eet 2’de même
Mais (U) et (U’) sont évidemment des
rayon, mais de centres différents—. comme
fonctions paires de t. Par conséquent,
la différence algébrique de deux intégrales
dans chacune des deux relations précé
étendnes,l’une à la région extérieure à2
dentes,les deux termesdu premier membre
et intérieure à2', l’autre à la région ex
devront être nuls séparément. Si l’on re
terieure {t2’ et intérieure à 2. llest es
marque encore que l’égalité Ît8 [(U) .t]=0 sentiel d’observer que ce raisonnement ne
suppose pour Vd’autre propriété que d’être
entraîne (U)=0 sil’on suppose (comme
continue.
ce ecas ici) Ufini pour t=0, on voit que
l On aura de même
l’on est ramené au problème suivant:
Comment doit être choisie unefonction con é= If: V(z—zo) as.
t
É
tinue V(x, y, 2) pour que l’intégrale double D’après cela, sila fonction Vest choisie
(3) ffVds de manière à annuler identiquement
étendueàlasurface de lamhère 2qui a pour 4ti>t(éy,s,,. 2,, t), elle annulera aussi les quan
centre (0, yo, 20) etpour rayon t (autrement z
dit d’une sphère quelconque ayant son centre fV(y—.%) dSJÏE V(z—zo) ds_
f
dans eplan z=0), soit nulle, quelsque soient
l Mais on peut raisonner sur ces der
y,” 2° ettÎ nières comme sur la première et, en con
L’une quelconque des fonctions
tinuant ainsi, on voit que l’intégrale
I
z
V(y—yo)“ (z—a)‘ dS
f
f
devra vérifier lacondition qui précède. est nulle quels que soient les entiers positifs
Pour résoudre e problème que nous
l h et k.
venons de poser, laissons d’abord la fonc Or la fonct-ion
tion V quelconque et désignons par
‘[(y4y1)’+(Z-Z.)’]
¢(y°, 2,, t)la quantité (3). Nous pouvons ne
remarquer tout d’abord que la connais est (quelsque soient les nombres 3/" 2l et a)
sance de la fonction 95entraîne celle de la développable en série entière par rapport à
fonction y—yl et z—z, et uniformément convergente.
m.” 20, t)=fiÏVdx dy dz, Si, comme nous le supposons, Vest par
tout fini, on pourra donc écrire
où l’intégrale est étendue au volume de la
sphère 2. On a 2 Ve—M’[(y-3A)’+(Z-Z.)’]ds
HF
(4) un, z.” t)=f’4> dt Mais, si nous faisons tendre p. vers + 0°,
Or on peut écrire la limite du premier membre (en suppo
sant que la droite y=y,, z=zh coupe 2et
ÿ—fflf Vo—yows,
(5) désignant par :tœ l’abscisse du point d’in
l’intégrale double étant toujours étendue tersection) estàun facteur indifférent près,
àla surface de 2. C’est, en effet, ce qui V(xn yin 20+ V(_Œn .1!" 21)
52 THE PRINCETON UNIVERSITY BULLET IN.
Ceci devant être nul pour tous les sys AN ELEMENTARY PROOF OF A THE
tèmes de valeurs de 93,,y“ en la fonction V OREM OF FOURIER AND BUDAN.
doit-être impaire parrapport à x.
Inversement, s’il en ainsi, l’intégrale BY H. B. FINE.
(3) sera bien nulle.
Revenons maintenant à nos fonctions Letf(x)=0 be an algebraic equation of the
Il
U, U’. résulte de ce qui precède que U nth degree, with realcoefiicients, and a and b,
est impair par rapport à z, et qu’il en est a<b, any two real numbers.
demêmede E The number of roots of f(x)=0 which lie
.SU between a and b is either the same as the
()1'818—z est une fonction impaire, U difl’erence between the number of variation: of
est une fonction paire. Donc Uest iden sign in
(n)
tiquement nul. fla),f(a),f”(a), - - -f(a)
D’autre part, le même raisonnement (Il
s’applique a la quantité U’. Ces deux andfltfŒM" (b), - - -f(b),
quantités faisant connaître la solution or less than this (lifl'erence by an even num
cherchée u, en vertu de la formule de ber. (Fourier and Budan.)
Poisson, nous avons démontré la propo This theorem admits of the following
sition suivante: elementary proof:
Laseule solution de l’équation (B), qui,pour As is well known, the equation whose
æ=0, satisfasse aux conditions u0=u’0=0, est roots are less than the roots of f(a:)=0, (1)
identiquement nulle. by any given number, as 6, is
Autrement dit, le problème de Cauchy "—1
relatif à l’équation (B), avec z=0 comme @r+f@_7x°-l+...
n! -
multiplicité initiale, ne peut être indéter .
Il + f'(6) æ +f(c) = 0
miné. en résulte. comme nous l’avons
vu, qu’il est en général impossible. The coefficients in (2) can be obtained by
Ceci nous fournitla conclusion que nous successive divisions. Thus, if fix) is di
nous proposions de mettre en évidence, vided by x—c, the remainder isf(c), if the
je veux dire la profonde différence qui quotient thus obtained is divided by 1—0,
f
existe entre le problème de Cauchy relatif the remainder is ’(c) ; and so on.
à l’équation (B), la multiplicité initiale Now it can be readily shown that, if
étant (:0, et le problème analogue pour Q, and 1'denotethe quotient and remainder
le cas où les données initiales sont rela obtained by dividing any polynomial
tives â z=0. La théorie de ce second f(x) by 25—0, 0 being positive, then
If
problème, bien loin d’être identique à 1. 1‘has the same sign as the constant
celle du premier, ce rapprochera, nous term of ftx), the number of variations in
venons de le voir, de la théorie des équa Q, 1'is the same as that in ftx) or less by
tions à caractéristiques imaginaires.* an even number.
‘Avant delivrerlepresent article al’impression j'ai 2. If r is 0, or if its sign is contrary to
connaissance (Hamel, Uber die Geometrieen in denen that of the constant term off(a), the num
die Geradr-n die Kurzesten sind, pp‘ 73et suiv.. Gettin
zen. won d'une méthode proposée par M. Holmgren ber of variations in Q, 7' is less than that
péoquuratiomnosntaruexr dlé'urniviécietsépadretiellalæ,soleuttiqouni sd‘aeppclieqrutaeirnaeits in f(:c) by one or some greater odd number.
aise-ment au problème que nous venons de traiter. La And by applying these considerations
méthode donnédans le textea été indiquée dans ma to the successive divisions above de
Notice surmes travaux scientifiques, Paris, Gauthier
Villars, février 1001. scribed we arrive at the conclusions :