Table Of ContentStrukturdynamik
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Robert Gasch Klaus Knothe Robert Liebich
Strukturdynamik
Diskrete Systeme und Kontinua
2. Auflage
RobertGasch RobertLiebich
TUBerlin TUBerlin
Berlin, Deutschland Berlin, Deutschland
KlausKnothe
TU Berlin
Berlin, Deutschland
ISBN978-3-540-88976-2 978-3-540-88977-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-540-88977-9
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SpringerVieweg
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Vorwort
DiebeidenBände„Strukturdynamik“,die1987bzw.1989erschienen,habennichts
anAktualitäteingebüßt.SielieferndieGrundlagendermodernenBerechnungsver-
fahren wie Mehrkörper-Algorithmen und FEM-Programmsysteme für Strukturen
mit rotierendenund nicht-rotierendenKomponenten.Das Werk wurde durchgese-
hen, korrigiert und teilweise ergänzt. Neu aufgenommen wurde die „Modale Be-
handlungperiodisch-zeitvarianterSysteme“.ImHubschrauberbauundbeiderMa-
gnetschwebebahn,umnurzweiBeispielezunennen,habendieseparametererregten
SystememitihrentypischeninstabilenZonenerheblichetechnischeBedeutung.
WährenddiedamaligenBändenochvonHandgesetztwurden,wurdedieNeu-
auflageunterdemneuenMitautorRobertLiebichalselektronischeFassungerstellt,
sodassdieStrukturdynamikjetztauchimInternetverfügbarist.DerSpringerVer-
lagwünschteeinerseitsdieseZusammenfassungineinemBand;andererseitswurde
ein Seitenlimit vorgeschrieben. Um dieser Auflage entgegen zu kommen, musste
auf die Übungsaufgabenverzichtetwerden.Sie stehen in Bälde einschließlichder
LösungenimInternetunterwww.kup.tu-berlin.dezurVerfügung.
Die bisherigen Autoren, Gasch und Knothe, haben die Gestaltung der Neuauf-
lage in die Hände von Robert Liebich gegeben, da sie nach dem Eintritt in den
Ruhestand mit aktuellen Publikationenund vor allem den Neu-Auflagenihrer an-
deren Lehrbücher(Gasch und Kollegen mit „Windkraftanlagen“und „Rotordyna-
mik“; Knothe und Kollegen mit „Finite Elemente“, „Schienenfahrzeugdynamik“
und „Ausgewählte Lebensläufe aus Nachrufschriftenin der MarkgrafschaftBran-
denburg-Bayreuthim 17.Jahrhundert“)vollausgelastetwaren. Die Erstellungder
elektronischenFassung einschließlichaller Formeln mit LaTeX, die Berücksichti-
gung aller Korrekturhinweise,für die den Einsendern vielmals gedankt wird, und
die vollständige Durchsichtund Korrekturdes bisherigenTextes und der Formeln
lagen in den Händenvon RobertLiebichundseinem Buch-Team.Hier sind Tobi-
asBach,StefanDreissig,PhillipMüller,ChristianPacki,AndreasScholz,Henrike
Nimmig,DanielPucknat,PiotrKalinowski,RenéKamiethundFrauYaminaGorek
zunennen,denenwirherzlichdafürdanken.
DiebisherigeGliederungderbeidenBändewurdebeibehalten.DasBuchistwei-
terhininzweiBereichegetrennt:DiskreteSystemeeinerseitsundKontinuaundihre
V
VI Vorwort
Diskretisierungandererseits.MaßgebendhierfürwarendieVielzahlpositiverRück-
meldungen von vielen Kollegen und von früheren Mitarbeitern, die heute in der
Industrietätigsind,undnatürlichdieErfahrungen,diedieAutoreninihrereigenen
Forschungsarbeit(Gasch:WindenergieanlagenundRotordynamik,Knothe:Schie-
nenfahrzeugdynamikundGleisdynamik,Liebich:Turbomaschinen,Rotordynamik
undWindenergieanlagen)gewonnenhaben.
DasWerkistalskorrigierteNeuauflagezusehen.MitRobertLiebichalsMitau-
torsolldieKontinuitätbeiweiterenNeuauflagendesBuchesinderZukunftsicher-
gestelltwerden.
GedanktseiandieserStelledemSpringerVerlagfürdiehervorragendeZusam-
menarbeit, dort insbesondere Herrn Dr. Lehnert und Frau Cuneus. Der Springer
Verlagsorgteauchdafür,dassdiebisherigenvonFrauKarinPetersundFrauChris-
tineKollgezeichnetenAbbildungenineingescannterFormzumgrößtenTeilwieder
verwendetwerdenkonnten.AnderFertigstellungderdamaligenManuskriptebei-
derBändewarendiverseMitarbeiterbeteiligt,beidenenwirunsebenfallsnochmals
herzlich bedanken. In alphabetischer Reihenfolge, bei Unterschlagung der akade-
mischen Titel sind das: D. Bosin, P. Gnielka, A. Groß-Thebing,K. Hempelmann,
Th.Jainski,W.Kik,G.Kleintges,L.Mauer,D.Moelle,M.Person,B.Ripke,R.de
Silva,H.Steinborn,G.WangundH.Wessels.
NützlicheHinweisekamenbeiderManuskripterstellungundimLaufederJahre
vonProf.M.Link,Prof.Dr.H.Pfützner,Dr.R.Renger,Prof.H.SpringerundProf.
M.Zehnumnureinigenamentlichzunennen.AuchihnengiltunserDank.
Berlin,Februar2012 RobertLiebich,RobertGaschundKlausKnothe
Einleitung
Die Strukturdynamik (engl. „structural dynamics“), ist ein Teilgebiet der Mecha-
nik, das sich im Allgemeinenmit der Dynamik,also den Schwingungsvorgängen,
von Strukturen befasst. Dazu gehören sowohl Bauwerke, wie Brücken, aber auch
komplexere technische Systeme wie zum Beispiel Flugzeuge, Fahrzeuge, Wind-
energieanlagenund Turbomaschinen.Eine strukturdynamischeAnalyse beinhaltet
diemathematisch-mechanischeBeschreibungdertechnischenStrukturalsschwin-
gungsfähigesSystemanhandeines–mehroderweniger–vereinfachendenModells,
dessenanalytische,numerischeoderauchexperimentelleBehandlungunddieInter-
pretationderErgebnisse.
Waren in derVergangenheitanalytischeModelleund derensowohlanalytische
alsauchnumerischeBehandlungStandderTechnik,sohatsichdieEntwicklungder
StrukturdynamikseitMitteder90erJahresehrstarkinRichtungnumerischeAnaly-
segewandelt.IndenmeistenForschungs-undEntwicklungsabteilungendominieren
FEM- und MKS-Analysen (FEM = Finite-Elemente-Methode, MKS = Mehrkör-
persysteme) die Untersuchungen zu Schwingungsproblemen. Selbst in den Inge-
nieursdisziplinenanUniversitätenundFachhochschulenwerdenfastausschließlich
FEM und MKS Softwarepaketeverwendet. Dies liegt vor allem daran, dass diese
Programmedeutlichleistungsfähigergewordensind,geradeimHinblickaufnicht-
lineare Effekte und die Behandlung von Gesamtsystemen mit extrem vielen Frei-
heitsgraden. All diesen FEM- und MKS-Programmen liegen die in diesem Buch
behandeltenModelle,MethodenundteilweiseauchAlgorithmenzuGrunde.
War der damalige Anspruch der Autoren noch die umfassende Darstellung der
mechanischenModellbildungunddafürnotwendigeranalytischerLösungswegefür
dieIngenieurspraxis,sobleibtfürdieseNeuauflagedesBandes„Strukturdynamik“
der Anspruch, ein Grundlagenwerk für das Verständnis strukturdynamischer Vor-
gänge undderen Analyse zu liefern. Die heutzutageweit fortgeschrittenenumeri-
sche Modellbildung und -behandlung ist also nicht das Ziel, obwohl – wie auch
schon in der ursprünglichenAuflage – die ersten Schritte zum Aufbau von FEM-
undMKS-Algorithmenerklärtwerden.MitdenInhaltendiesesBucheslassensich
also auf analytischem Wege Abschätzungen für das zu erwartende strukturdyna-
mische Verhalten von dynamisch belasteten Strukturen ermitteln. Solche Analy-
VII
VIII Einleitung
sen ermöglichen u.a. Parameterstudien, die bei rein numerischer Behandlung ei-
neskomplexenGesamtmodellsmitFEModerMKSökonomischnichtzuvertreten
wären. Auch lassen sich damit die komplexen FEM und MKS-Lösungen zumin-
dest bezüglichder Größenordnungder Ergebnisseüberprüfen.Die Notwendigkeit
einersolchenÜberprüfungwirdinderimmermehruntergrößeremzeitlichemund
ökonomischem Druck stehenden Ingenieurspraxis gern übergangen. Dabei lassen
sie sich eben mit Hilfe der hier vorgestellten analytischen Modelle relativ einfach
durchführen.
SobeginntdasBuchauchmitderBehandlungvonEin-undZwei-Freiheitsgrad-
systemen. Anhand dieser einfachen, zu meist noch rein analytisch behandelbaren
Systemelassensich vielePhänomenederStrukturdynamikerklären,diesichauch
beikomplexerenSystemenzeigen.DasBuch ist – wie schonin denersten beiden
Bänden–inzweiTeilbereichegetrennt.WirunterscheidenzwischendenEin-und
MehrfreiheitsgradsystemenunddensogenanntenKontinua,derenmodellhafteBe-
schreibungebenfallswiederdiskreterfolgenkann.EineweitereUnterscheidungvon
dynamischen Strukturen erfolgt bezüglich der Dämpfungsart – ungedämpft oder
gedämpftbeziehungsweiseselbsterregungsfähig.EinewesentlicheUnterscheidung
wirdimBuchbezüglichderfreienunderzwungenenSchwingungengemacht.Dar-
über hinauslassen sich die meisten Systeme noch bezüglichihrer Behandlungim
ZeitbereichundimFrequenzbereichunterscheiden.
Die grundlegendeEinteilungderSysteme nachder AnzahlihrerFreiheitsgrade
machteinenentscheidendenHinweisfürderModellbildungnotwendig:Nichtdas
System liefert die Anzahl der Freiheitsgrade sondern der gewünschte Detailgrad
derstrukturdynamischenAnalyse.DieswirdinAbb.1deutlich.HierwirdamBei-
spieleinesFahrzeugseineAuswahlvonmöglichen,dieBewegungbeschreibenden,
Strukturmodellengezeigt.JenachAnzahlderFreiheitsgradelassensichmehroder
wenigerkomplexeBewegungsformendesFahrzeugsbeschreiben.
In dem primitiven Modell von einem Freiheitsgrad (Abb. 1a) wurde die Rei-
fenfederungund-dämpfungmitderAufbaufederungund-dämpfungzusammenge-
fasst und die Räder als starre Rollen idealisiert. Dieses Modell liefert hinsichtlich
desTauch-FreiheitsgradesvernünftigeAussagenfürdieAbstimmungdesSystems,
die im Allgemeinen so erfolgt, dass die Taucheigenfrequenz bei etwa 1 bis 2Hz
und der Dämpfungsgrad bei 0,2 bis 0,3 liegen. Dennoch muss für eine genauere
Komfortuntersuchung zumindest der Nick-Freiheitsgrad einbezogen werden. Erst
durchihnkommtderZeitunterschiedzurGeltung,derzwischenVorder-undHinter-
rad beim Überfahren einer Fahrbahnunebenheitauftritt. Für Komfortuntersuchun-
genistdiesesModell(Abb.1b)schonrechtbrauchbar.DasModellmitNick-und
Tauch-Freiheitsgrad des Wagenkörpers gibt aber unzureichend Auskunft darüber,
obbeimÜberfahrenvonHindernissenRadentlastungenbishinzukurzzeitigemAb-
hebenauftreten.DarüberkannersteinModellAussagenmachen,dasdieVertikal-
Freiheitsgrade der Achsmassen berücksichtigt (Abb. 1c). Mit diesem Modell er-
fasstmandenFrequenzbereichvon0bis15Hzschonsehrgut.EinModell,dasbis
25Hz brauchbar ist, wird u.U. schon die Annahme einer starren Karosserie auf-
gebenmüssen unddie1. BiegeschwingungseigenformderKarosserie einbeziehen
müssen(Abb.1d).BisherbliebdasModellinderEbene,weilwirstillschweigend
Einleitung IX
Abb.1 Ebenemechanische
Modellemitunterschiedlicher
ZahlvonFreiheitsgradenfür
einenPersonenkraftwagen
voraussetzen,dassnurVertikalschwingungenuntersuchtwerden,unddassdieFuß-
punktanregungenan den Rädern links und rechts in gleicher Weise erfolgen. Ein
räumlichesModellmitnochmehrFreiheitsgradenerlaubtes,dieseEinschränkung
fallenzu lassen. Abbildung2 zeigteineerheblichaufwändigereBeschreibungdes
räumlichenSystemverhaltenseinesTriebstranges,beidemdiverseandereKompo-
nentenmitihrerDynamikberücksichtigtwerden.DieEffekte,diemitsolchenMKS-
Modellenbeschriebenwerdenkönnen,kommendemrealenSystemverhaltenauch
imDetailschonrechtnaheundkönnendurchexperimentelleUntersuchungensogar
quantitativbestätigtwerden.
Um denUmfangnichtzu sprengen,beschränktsich dasBuch auflineare,oder
genauerlinearisierbare,zeitinvarianteundperiodischzeitvarianteSysteme mitde-
terministischen Eingängen. Nichtlineare Effekte tauchen in der Ingenieurspraxis
meistimdirektenZusammenhangdertechnischenAnwendungaufunddieVielfalt
istnahezuunbegrenztundistimRahmendiesesWerksnichtabzudecken.Deshalb
wirdfürdieBehandlungnichtlinearerEffekteaufdieeinschlägigeLiteraturhinge-
wiesen. Dies bedeutet für den interessierten Leser notwendigerweise eine eigene,
umfassendeRecherche.
X Einleitung
Abb.2 MKSModelleinesFahrzeugtriebstrangs. (WirdankenderFa.DaimlerAG,Sindelfingen
fürdieBereitstellungdiesesBildes)
DieGrundgleichung,aufdieesamEndeeinerModellbildunghinausläuft,sieht
immer wieder gleich aus, egal wie viel Freiheitsgrade dem System „zugebilligt“
wurdenoderobessichursprünglichsogarumeinKontinuummitformalunendlich
vielen Freiheitsgraden handelte. Strukturdynamische Modelle liefern meist einen
SatzvonlinearenBewegungsgleichungen2.Ordnung:
MuRQ CDuPQ CSuQ DpQ
DieMassen-,undDämpfungs-undSteifigkeitsmatrizenM,DundSsindquadrati-
scheMatrizenvomFormatN (cid:3)N.DieAbleitungennachderZeitsinddurchPge-
kennzeichnet.Linear wird das Bewegungsgleichungssystemdeshalb,weil wir uns
aufdieBetrachtungkleinerSchwingungenbeschränken.BeimobigenBeispieldes
FahrzeugskönnenkleinbeiderTauchschwingungdurchaus10cmbedeuten,bevor
Gummipuffer als Anschläge wirksam werden und die Kennlinie nichtlinear wird.
IndenmeistenFällenkannmanvonzeitinvariantenBewegungsgleichungenausge-
hen bei denendie SystemmatrizenM, D undS zeitunabhängigbleiben.Am Ende
diesesBandeswerdenwirunsnochdemBereichperiodischzeitvarianterSysteme
zuwenden,beidenendieMatrizendannebenfallszeitabhängigsind.
Im ersten Teil des Bands gehen wir also von diskreten Systembeschreibungen
aus. Hierzu werden die Grundlagen der Schwingungslehre anhand von einfachen
technischenSystemenmitwenigenFreiheitsgradenfürdieModellbeschreibunger-
klärt.AndersalsinanderenBüchernüberlineareSchwingungssystemeüblich,wer-
denallerdingsbereitsauchSelbsterregungsmechanismenvorgestellt.Diesespielen
inderRotordynamik,FahrzeugtechnikundAeroelastikeinegroßeRolle.
In Kap. 1 wird zunächst der simple Einmassenschwinger mit allen daraus ab-
leitbaren Phänomenen erklärt. Es werden dabei sowohl die freien Schwingungen
behandeltalsauchdieBehandlungerzwungenerSchwingungenimFrequenz-und
Zeitbereich.
Einleitung XI
Kapitel2 und3 analysiertlineareSysteme mit zweiundmehr Freiheitsgraden.
Zunächst werden verschiedene Möglichkeiten der Formulierung der Bewegungs-
gleichungenvorgestellt,danndieBehandlungderfreienunderzwungenenSchwin-
gungeningekoppelterSchreibweise.
DarananschließendwirdinKap.4und5gezeigt,dasssichdasSystemvonge-
koppeltenBewegungsdifferentialgleichungendurchmodaleBehandlunginentkop-
pelteDifferentialgleichungenersteroderzweiterOrdnungzerlegenlässt.DerGrad
derFormalisierungnimmthierbeizwangsläufigzu,wassichaberdurchausnichtne-
gativaufdieAnschauungauswirkt.InsbesonderedasVerhaltenvonungedämpften
oderproportionalgedämpftenStrukturenwirddurchdieformaleZerlegung,dieei-
neRückführungaufdieSchwingervoneinemFreiheitsgradbedeutet,physikalisch
ersttransparent.DiemodaleZerlegungerlaubtesauchinsehreleganterWeise,die
EmpfindlichkeitlinearerSystemegegenParameteränderungenzuuntersuchen.Au-
ßerdemlieferndiesebeidenKapiteleingutesVerständnisfürdieinderexperimen-
tellenStrukturanalysehäufigverwendetenModal-Analysen.
InKap.6wirdeinAlgorithmusaufgezeigt,mitdemderRechnerauchdieAuf-
stellung von Bewegungsgleichungendiskreter Systemmodelle übernimmt. Dieses
KapitelliefertdieGrundlagenfürdieschonerwähntenMKS-Programme,diemitt-
lerweile kommerziell für die verschiedensten technische Anwendung, vor allem
auch für nichtlineare Probleme, angeboten und als eines der Standardwerkzeuge
besondersinderFahrzeugentwicklungaberauchinderWindenergiebrancheeinge-
setztwerden.
Kapitel 7 stellt als Erweiterung von Kap. 6 die Elementmatrizen für Rotoren,
GyrostatenunddieBehandlungvonZwangsbedingungenvor.
DerersteTeildesBandesschließtmitdemKap.8zurnumerischenBehandlung
von strukturdynamischenAnalysen. Darin sind einige Gesichtspunktezusammen-
gestellt,dieeszubeachtengilt,wennmaneigeneBerechnungsprogrammezurnu-
merischenLösungerstellt.DiekommerziellenFEM-undMKS-Algorithmenhaben
internenumerischeLöser,zudenenderNutzernursehrseltenZuganghatunddie
wirindiesemKapitelauchnichtbehandelnwollen.
ImzweitenTeildesBandes„Strukturdynamik“wendenwirunsdenkontinuier-
lichenSystemenzu,d.h.Systemen,beidenenElastizitätundMassekontinuierlich
verteilt sind. Sie haben daher unendlich viele Freiheitsgrade. Mathematisch führt
dasaufeineBeschreibungdurchpartielle–orts-undzeitabhängige–Differential-
gleichungen.
ŒEI.x/wQ00.x/(cid:2)00C(cid:3).x/wRQ.x/DpQ.x/
EineinfachesundvorallemeinleuchtendesBeispielfüreinderartigeskontinuierli-
chesSystemistderBrückenträgeralsBiegebalkenmodellvonAbb.3,beidemdie
BiegesteifigkeitEI.x/unddieMassebelegung(cid:3).x/auchnochortsabhängigsind.
DieAbleitungennachdemOrtsinddurch0,dienachderZeitdurchPgekennzeichnet.
Als Lösung der partiellen Bewegungsdifferentialgleichungunter einer ortsverteil-
tendynamischenLastpQ.x/erhältmanorts-undzeitabhängigeBiegeschwingungen
wQ.x/.
