Stochastische Signale: Eine Einführung in Modelle, Systemtheorie und Statistik mit Übungen und einem MATLAB-Praktikum

291 Pages·1998·8.34 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Johann F. Böhme (auth.)

Stochastische Signale
Eine Einführung in Mode.tle, System
theorie und Statistik mit Ubungen und
einem MATLAB-Praktikum
Von Dr.-lng. Johann F. Böhme
o. Professor an der Ruhr-Universität Bochum
2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 46 Abbildungen
El3
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Prof. Dr.-lng. Johann F. Böhme
Geboren 1940 in Senftenberg/Niederlausitz. Nach dem Abitur
Maurerlehre, dann bis 1966 Mathematikstudium in Dresden und
Hannover. 1970 Promotion in Erlangen. Als Forschungsgruppen
leiter tätig bei Krupp Atlas-Elektronik, Bremen und später an der
Universität Bonn. Ebendort 1977 Habilitation in Informatik. 1978
bis 1980 wiss. Angestellter im Forschungsinstitut für Hochfre
quenzphysik der FGAN, Wachtberg-Werthhoven. 1979 Lehr
stuhlvertretung "Ingenieur-Statistik", Abteilung Statistik, Univer
sität Dortmund. Seit 1980 o. Professor für Elektrotechnik,
Lehrstuhl für Signaltheorie, Ruhr-Universität Bochum. 1990 Er
nennung zum IEEE Fellow und 1998 zum ordentlichen Mitglied
der Nordrhein-Westfälischen Akademie der Wissenschaften.
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Böhme, Johann Friedlich:
Stochastische Signale : eine EinführullQ in Modelle, Systemtheorie
und Statistik; mit Übungen und einem MATLAB-Praktikum I von
Johann F. Böhme.-2., vollst. überarb. und erw. Aufl. - Stuttgart :
Teubner, 1998
(Teubner-Studienbücher: Elektrotechnik)
ISBN 978-3-519-16160-8 ISBN 978-3-663-07959-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07959-0
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Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für
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und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1998
Ursprünglich erschienirr bei B.G. Teubner Stuttgart 1998
Vorwort
J.Ieine Entscheidung, einen vorlesungsbegleitenclen, ausführlicheren Text zum Thema
.. Stochastische Signale" zu schreiben, gründet auf Erfahrungen aus Vorlesungen über
Signaltheorie und stochastische Prozesse, die ich seit 1980 an der Ruhr-Cniversität Bo
chum für Studenten der Fachrichtung Elektrotechnik im Hauptstudium halte. Dabei
möchte ich folgendes erreichen: Die wichtigsten Grundlagen der Stochastik sollen den
Studierenelen einer einführenden Pflichtvorlesung so vermittelt werden, daß das Ver
halten einfacher Schaltungen und Systeme, in denen Rauschsignale gernessen werden,
korrekt berechnet und die Signale auch statistisch ausgewertet werden können. Denen,
die ihr Studium in der Theorie stochastischer Signale und ihrer Anwendung vertiefen
möchten, liefert das Buch neben weiteren stochastischen Werkzeugen zum Modellieren
und statistischen Schließen ausführlich behandelte Beispiele, die gründlichere Studi
en wie die der Signalerkennung, Spektralanalyse und Systemidentifikation motivieren.
Anhänge über Matrixalgebra, schnelle Algorithmen und Tabellen, sowie eine größere
Zahl von Übungsaufgaben mit Lösungsskizzen und ein MATLAB-Praktikurn erleich
tern das Selbststudium und die Anwendung in der Praxis.
Die inhaltlichen Schwerpunkte und die Stoffauswahl sind zu einem guten Teil durch
den Bochurner Studienplan beeinflußt. Die einführende Pflichtvorlesung findet im fünf
ten Semester statt und setzt wie das vorliegende Buch Kenntnisse aus einem erfolgreich
absolvierten Grundstudium der Elektrotechnik und insbesondere über deterministische
Signale und Systeme voraus. Der zu behandelnde Stoff wurde jedoch so aufbereitet,
daß ein paralleles Studium der Grundlagen nachrichtentechnischer Systeme möglich
ist. Systemtheoretische Begriffe werden im Kurs über stochastische Signale erst be
nutzt, wenn sie in dem über nachrichtentechnische Systeme im Zusammenhang mit
deterministischen Signalen schon aufgearbeitet worden sind. Dies gelingt, wenn man
wegen mangelnder Vorkenntnisse der Studierenden zunächst Begriffe der Wahrschein
lichkeitstheorie, statistische Schlußweisen und stochastische Prozesse in angemessener
\Veise untersucht, bevor man sich der Systemtheorie und Statistik mit stochastischen
Signalen zuwendet. Beispielsweise hat sich folgende Stoffauswahl für die zweistündige
Pflichtvorlesung mit einstündiger Übung im Wintersemester mit der Numerierung aus
dem Inhaltsverzeichnis bewährt: Kap. 1, aus Kap. 2: 2.1, 2.2.1 1) bis 2) und aus Kap.
3: 3.1, 3.2, 3.3.1, 3.3.2 1), 3.3.3 1) bis 3). Das verbleibende Material des Buches kann in
den ersten Kapiteln von Vcrtiefungsvorlesungen, wie sie weiter oben angedeutet worden
sind, und im Praktikum behandelt werden.
IV Vonuort
Die nun vorliegende zweite Auflage des Buches wurde gegenüber der ersten im
wesentlichen um das Praktikum erweitert. Dieses führt in das matrizenorientierte Pro
grammieren signaltheoretischer Aufgaben in :VIATLAB und das numerische Experi
mentieren mit Rauschsignalen ein und trägt erheblich zum Verständnis der in der
Elektrotechnik teilweise unüblichen Ansätze bei. Die Gelegenheit der 1\euauflage wur
de auch dazu benutzt, den Text zu überarbeiten und zu ergänzen, einige Abbildungen
hinzuzufügen und schließlich Fehler, insbesondere in den Lösungen der Übungsaufga
ben zu korrigieren. Auch das Stichwortverzeichnis wurde überarbeitet: Es enthält jetzt
auch mit Querverweisen versehene, in deutschen Fachbüchern häufig benutzte Begriffe,
die im vorliegenden Text zumeist aus methodischen Gründen nicht verwendet werden.
Ich hoffe, daß das jetzt ausgewogenere und besser auf die Praxis vorbereitende Buch
weiter Studierenden hilft und Interesse bei Fachleuten in Industrie und Forschungsein
richtungen findet.
Die druckfertige Form des Manuskripts auch dieser Auflage wäre wohl ohne die
Unterstützung der Mitarbeiter des Lehrstuhls für Signaltheorie der Ruhr~Universität
nicht entstanden. Ich möchte Frau C. Eichelmann, die große Teile des Texts mit all
seinen Formeln in Ll\TEX neu schrieb, Frau P. Chung und den Herren S. Carstens
Behrens, I. Flokos, A. Gershman, .J. Ringelstein, P. Voßen, :VI. Wagner, A. Waldhorst, R..
Weber und :-..1. vVestebbe, die beim Korrigieren, Erzeugen von Graphiken, Durchrechnen
von Übungsaufgaben usw. halfen, dankeiL Um die Entwicklung des nun schon seit
Jahren erprobten Praktikums haben sich insbesondere B. Yang und .J. Ringelstein
verdient gemacht. Schließlich möchte ich wieder die konstruktive Zusammenarbeit mit
Herrn Schlembach vom Teubner Verlag dankbar erwähnen.
Johann F. Böhme
Bochum, im März 1998
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Einführung in die Stochastik 5
2.1 Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ......... . 5
2.1.1 Wahrscheinlichkeiten und Zufallsvariable .... . 5
1) Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten 5
2) Axiomatische Vorgehensweise ........ . 8
3) Allgemeine Definition von Wahrscheinlichkeiten 10
4) Koppelung und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 12
5) Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen .. . 16
6) Wahrscheinlichkeiten auf IR und Dichten ... . 17
7) Wahrscheinlichkeiten auf ]Rn und Zufallsvektoren 23
8) Funktionen von Zufallsvariablen ... . 29
2.1.2 Erwartungswerte ................... . 35
1) Erwartungswert einer Zufallsvariablen ..... . 35
2) Erwartungswert einer Funktion von Zufallsvariablen 39
3) Charakteristische Funktionen . . . . . . 45
4) Approximation im quadratischen Mittel 50
2.1.3 Folgen von Zufallsvariablen 54
2.2 Statistische Schlußweisen ......... . 58
2.2.1 Parameterschätzen . . . . . . . . . 58
1) Schätzfunktionen und Schätzer 58
2) Schätzen mit kleinsten Quadraten 62
3) Konfidenzbereiche . . . . . . . . . 70
4) Cramer-Rao-Schranke und Maximum-Likelihood-Schätzer 73
2.2.2 Hypothesentesten . . . . . . . . . . . 82
1) Tests und Signalentdeckung . . . 82
2) Testen mit kleinsten Quadraten . 86
3) Tests aus Konfidenzbereichen . . 91
4) Maximum-Likelihood-Quotiententest 92
3 Modelle für gemessene Signale: Stochastische Signale 97
3.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Grundbegriffe und elementare Eigenschaften 97
3.1.2 Stationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2 Systemtheorie mit stochastischen Signalen . . . . . 109
3.2.1 Grenzübergänge mit stochastischen Prozessen 109
3.2.2 Nichtreaktive Systeme .. 114
3.2.3 Lineare konstante Systeme . . . . . . . . . . . 117
VI Inhaltsverzeichnis
3.2.4 Abtasttheorem . . . . . . . . 128
3.2.5 Optimalfilter und Prädiktaren 129
3.2.6 Endliche Fourier-Transformierte 133
3.3 Statistik mit stochastischen Signalen . 137
3.3.1 Schätzung der Kovarianzfunktion eines Rauschsignals 137
3.3.2 Schätzung von Modellparametern 141
1) Autoregressive Prozesse . . . . ..... . 141
2) Moving-Average-Prozesse ........ . 147
3) Autoregressive Moving-Average Prozesse 150
4) Modelle mit beobachtbarem Eingangssignal 152
3.3.3 Schätzung der Spektren von Rauschsignalen 156
1) Verwendung von Bandpässen . . . . . . . 156
2) Verwendung von Periodogrammen . . . . 159
3) Schätzung von Kreuzspektren und Übertragungsfunktionen 169
4) Erkennung deterministischer Signale in Rauschsignalen . . . 175
Anhang 182
A.1 Vektor- und Matrixalgebra. 182
A.2 Schnelle Algorithmen 190
A.3 Tabellen . 196
Übungsaufgaben 201
Lösungshinweise 222
Praktikum 244
P.1 Zufallsvariable und Zufallszahlen 245
P.2 Funktionen von Zufallsvariablen . 251
P.3 Kleinste Quadrate-Schätzung .. 254
P.4 Parameterschätzung bei AR(p) Prozessen 257
P.5 Diskrete Fourier ·Transformation I . 260
P.6 Diskrete Fourier-Transfonnation II 263
P. 7 Spektralanalyse I . 267
P.8 Spektralanalyse II . 270
Matlab 273
Literatur 279
Stichwortverzeichnis 281
1 Einleitung
Gemessene .-\usgaben eines physikalischen Systems, die in Abhängigkeit von der Zeit
registriert werden, zeigen häufig einen gPwisscn, nicht vorhersagbaren oder zufälligen
\"crlauf. Gemeint sind hier Spannungen, Temperaturen, Drücke und ähnliche Größen.
:\lit Kenntnissen über die Vorgänge im Inrwrn des Systems oder über sein Verhalten
und mit :\Iethoden der \VahrschciulichkcitstllPoric ist. es möglich, zweckmäßige :V!odclle
für solche gemessenen Signale auf"ubaurn, die stochastische Prozesse heißen und die
wir auch stochastische Signale nennen wollen (vom grir~chischen "o oroxoo", etwa
.,das \"ermutete", abgeleitet). Aus den über rincu Zeitraum hinweg registrierten Si
gnalen möchte man zum Beispiel Aussagen über die Vorgänge gewinnen, die sich in
dem beobachteten System abspiPien, oder einen zukünftigen \Vert des Ausgabesignales
bestimmen. Die Statistik kann in vie!Pn Fällen Hilfsmittel liefern, geeignete Verfahren
w entwerfen und die Leistungsfähigkeit dieser Verfahren vorherzusagen.
Ziel dieses kleinen Buches ist es, einige Grundbegriffe über stochastische Prozesse
als :\lodclle fiir gemessene Signale und insbesonch~re über Rauschsignale, wie sie bei
spiclswPise in der :\"achrichtr·n-, iVIeß- und Regelungstechnik beobachtet werden, vor
zustellen und in einige statistische Methoden der SignaiVPrarbeitung einzuführen. Die
Begriffsbildungen wPrden wie iu der Statistik vorgenommen und für die Anwendungen
in der Elrktrotechnik interpretiert. DiPs ist zweckmäßig, da im Schriftturn der Elek
trotcc:llllik eine sehr uneinhcitliche Nomenklatur benutzt wird, wenn es um die hier
interessierenden Probleme geht.
"\~(\
!\f\c.o{).!\ x(t)
I
--o+f-t-v+(\__"v~v+/\--i-V-+-!\+-v-fC>.~C\-T-v-+~.------~(t), ~ ~
o t r
.. ..
0i~\-:;~~··~.~.-~:_··--~~:~~··~\-.~~,-------x+,(nß), O ~n~
____
.. .. ·.· T = ß
Abbildung 1.1: .-\usgalH'signal eines Systems. Im Zeitiutf'rvall 0 ~ t <:::: T beobachtetes
und analog bzw. abgdastd, registriertes \.,kßsignal
In <'incr cinfiihrcndPn Darstellung kiimu•n nm exemplarisch einige Probleme aus
ckr Praxis in wrriufarhtrr Form behandf'lt w<'rdr•n. Im folgenden soll die Art dieser
Probll'Illl' l'twas \"('rdcntlicht werdPn. Daw lwtracht.en wir zunächst Abb.l.l. Das Sy
strm möge durch ein elekt.risdtPs :'>JetzwPrk beschriclwn sPin. Die an einem bestimmten
Punkt dPs :\ctzwl'rkl's mPl)bare Spannung in Abhiingigk(~it von der Zeit s{•i das Ansga-
2 1 Einleitung
besignal x(t) des Systems. Dieses werde in einem Zeitintervall wie 0::; t::; T beobachtet
und gemessen. Wir können den Verlauf des Signals zum Beispiel mit einem l\Iagnet
band analog aufzeichnen oder das Signal erst mit der Periode 6. abtasten und dann die
Abtastwerte x(nil) (n = 0, 1, ... , N) registrieren. Wir nehmen an dieser Stelle an, daß
der Signalverlauf im Beobachtungsintervall durch die Abtastwerte hinreichend genau
beschrieben wird. Die Aufgabe sei nun, ein zweites System (analoge Schaltung bzw.
digitale Schaltung oder Algorithmus, wenn die Abtastwerte noch digitalisiert werden)
zu entwerfen, das den zukünftigen Wert x(T + T) (T > 0) des Ausgabesignals allein aus
dem registrierten Signal (kurz, der Beobachtung) bestimmt. Hierzu werden Kenntnisse
über das erste System benötigt, um das Ausgabesignal x(t) als Zeitfunktion beschreiben
zu können. Hat man zum Beispiel herausgefunden, daß x(t) ein Polynom in t höchstens
vom Grad N ist, so kann man x(T + T) durch Extrapolation beschreiben. \Venn man
einmal vom Problem der Realisierung des Systems absieht, ist x(t) für alle t durch
die Beobachtung determiniert. Deterministische Signale dieser Art sind keine angemes
senen Modelle für Signale, wenn Effekte wie thermisches Rauschen in einer Schaltung
mitberücksichtigt werden. Solche Signalanteile zeigen einen eher zufälligen Verlauf, und
zukünftige Werte können nicht ohne einen Fehler vorhergesagt werden. Hat man die
Möglichkeit, das Experiment unter gleichen Betriebsbedingungen zu wiederholen, oder
stehen mehrere baugleiche Systeme zur Verfügung, die unter gleichen Betriebsbedin
gungen unabhängig voneinander arbeiten, so wird man im allgemeinen unterschiedliche
Verläufe der Ausgabesignale messen können, die durch Zufälle wie beim thermischen
Rauschen verursacht werden. Jedoch haben die Ausgangssignale auch Gemeinsamkei
ten, die indirekt durch die gleichen Baugruppen und Betriebsbedingungen bestimmt
sind. Statt ein einzelnes Ausgabesignal vollständig kennzeichnen zu wollen, werden wir
Modelle für die Klasse der möglichen Ausgabesignale untersuchen, in die dann die Ban
gruppeneigenschaften etc. eingehen können. Diese Modelle sind stochastische Prozesse
und erlauben im Prinzip die Konstruktion von Systemen im Sinne der obigen Aufga
be, um also einen zukünftigen Wert des Ausgabesignals mit einem geeignet definierten
kleinen Fehler vorherzusagen. Ein solches System wird auch ein Präcliktor genannt.
Wir werden unsere Cntersuchungen auf eine Klasse von Signalen beschränken, die
man sich als Summe zwei er Anteile vorstellen kann, eines deterministischen Anteils ( de
terministisches Signal, Trend oder Offset) und eines stationären stochastischen Anteils
(Rauschen, Störung oder Meßfehler), der keinen Gleichspannungsanteil oder ähnliches
mehr enthält. Stationär bedeutet anschaulich, daß sich die Eigenschaften des den sto
chastischen Anteil erzeugenden Systems nicht mit der Zeit ändern, und alle Vorgänge
eingeschwungen sind. Als Beispiel denken wir an ein Übertragungssystem mit einem
Empfänger, der als Spannung ein Signal der folgenden Art ausgibt:
x(t) = asinw t + v(t). (1-1)
0
Der deterministische Anteil ist das gewünschte Signal a sin w0t, dessen Amplitude a :2: 0
nicht bekannt ist. \Nenn a = 0 ist, wird davon ausgegangen, daß kein Signal übertragen
worden ist, das Empfangssignal also nur Empfängerrauschen ist. Das Empfängerrau
schen sei v(t), das wie ein stationärer stochastischer Anteil behandelt wird und von dem
weder der Verlauf noch der Effektivwert bekannt sind. Das Problem bestehe nun dar
in, ein System zu entwerfen, das anhand einer Beobachtung wie in Abb.L2 zunächst
Emleitnny 3
entscheidet, ob a = 0 anzunehmen ist, d.h. kein Si~?;nal übertragen worden ist, oder
nicht. Im zweiten Fall ist ein Si~?;nal entdeckt (detektiert) worden, und es interessiere
der \Yert vonaalsauch der Effektivwert des Rauschens, um weitere Schlüsse ziehen zu
können. Das System soll diese Werte möglichst gut bestimmen. Aus der Sicht der Sta
tistik ist die Entscheidungsaufgabe ein Hypothesentestproblem und die zweite Aufgabe
ein Parameterschätzproblem .
.r(t)
asinw0t
Abbildung 1.2: Empfangssignal als Überlagerung eines Sinussignals und Rauschens be
obachtet in 0 ::; t ::; T
Als nächstes wollen wir den Inhalt des Buches beschreiben. Irn Kapitel 2 sollen die
Grundlagen aus der Stochastik bereitgestellt werden. Unter Stochastik versteht man
die mathematische Behandlung vo11 Zufallsexperimenten. Hierzu müssen zunächst eine
Reihe von Begriffen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie erklärt werden, insbesondere
Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariable und Erwartungswerte. So gelingt es, das Ver
halten von zufälligen Größen sowie der sie bestimmenden Zufallsmechanismen zu be
schreiben. Im Anschluß daran werden wir uns mit einigen statistischen Schlußweisen
vertraut machen, nämlich mit Parameterschätzverfahren, der Bestimmung von Konfi
denzintervallen von Parametern und dem Testen von Hypothesen. Dies wird an eini
gen Anwendungsbeispielen erläutert. Das Kapitel 2 soll nur die in späteren Kapiteln
benötigten Begriffe vorstellen und kann nicht einen Kurs über die Prinzipien der Sto
chastik ersetzen, der jedem Leser empfohlen wird. Das dritte Kapitel behandelt die
.\lodelle für gemessene Signale. Dazu werden zunächst stochastische Prozesse definiert
und ihre Eigenschaften wie Kovarianzfunktion und Spektrum untersucht. Die soge
nannte Konvergenz im quadratischen Mittel von Folgen von Zufallsvariablen erlaubt
es, auf einfache Art die Grenzübergänge bei der Integration stochastischer Prozesse
zu behandeln. Damit sind wir in der Lage, eine Systemtheorie für stochastische Si
gnale zu betreiben und aus den Eigenschaften eines stochastischen Prozesses, der die
Eingabesignale eines Systems modelliert, und denjenigen des Systems Eigenschaften
des Prozesses zu berechnen, der die Ausgabesignale charakterisiert. Beispiele sind li
neare Systeme, Abtastsysteme und Gleichrichter. Jet7.t können wir auch Prädiktoren
untersuchen. Der letzte Abschnitt ist der Analyse beobachteter, abgetasteter Signale
gewidmet. Durch Anwendung statistischer Schlußweisen gelangt man zu Signalverar
beitungsverfahren oder Algorithmen, um Signal- oder Systemparameter zu schätzen,
Spektren zu schätzen, die Übertragungsfunktion eines linearen Systems zu bestimmen
und Signale im Rauschen zu erkennen.
Passende Literatur zur Theorie stochastischer Signale findet man in verschieden
sten \Yissenschaften, was hier nicht im einzelnen belegt werden soll. Die methodischen
4 1 Einleitung
Grundlagen sind systematisch in der Statistik erforscht worden, z.B. in Hannan (1970).
Brillinger (1981) und Dzhaparidze (1986), unter dem Thema "Time Series Analysis",
was mit "Zeitreihenanalyse" übersetzt wird. Ein deutschsprachiges, auch für Anfänger
geeignetes Buch ist z.B. Schlittgen und Streitberg (1989). Die Autoren benutzen je
doch gelegentlich Begriffe, die in der Ökonometrie gebräuchlich sind und von Elek
trotechnikern erst geeignet interpretiert werden müssen. Die Grundlagen der \Vahr
scheinlichkeitsrechnung und der Statistik haben viele Ingenieure aus den Büchern von
Hainhold und Gaede (1979) oder Fisz (1989) gelernt. Eine modernere Einführung in
die Stochastik bieten z.B. Behnen und Neuhaus (1995). Begriffe der Stochastik werden
in Müller (1983) kurz und bündig erklärt. Als Lehr- und Handbuch der augewand
ten Statistik kann Hartung (1989) empfohlen werden. Die mathematischen Methoden
der Statistik werden in einer auch für Elektrotechniker verständlichen Art in Cramer
(1974) und umfassender in Rao (1973) dargestellt. Rigoros gehen Witting und 1\ölle
(1981) vor. Gründliche Einführungen in die Systemtheorie mit deterministischen Si
gnalen sind Fettweis (1996), Unbehauen (1993), Schüßler (1991) und Kailath (1980).
Das bekannteste Buch über digitale Signalverarbeitung stammt von Oppenheim und
Schafer (1975). Direkt zum Thema dieser Vorlesung gab es zunächst nur englischspra
chige Bücher. Einige der bekanntesten sind Davenport and Root (1958), Blackman
and Tukey (1958), Middleton (1960), dann Papoulis (1965) und Jenkins and Watts
(1968), van Trees (1968), Thomas (1969) und Bendat and Piersol (1971). In den letz
ten Jahren erschienen Kay (1988), Shanmugan and Brcipohl (1988), Scharf (1991),
Therrien (1992), Porat (1994) und Stoica and Moses (1997). An deutschsprachigen
Büchern seien Schneeweiß (1974), Fahrmeir u.a. (1981) und Beichelt (1997) als allge
meinere Einführungen sowie mehr der Elektrotechnik zugewandt Winkler (1977), Kra
sehel (1996) und schließlich Häusler (1997) genannt. Häusler verfolgt in seinem Werk
ähnliche Ziele wie dieses Buch; er geht jedoch gründlicher auf Prädiktaren und andere
Optimalfilter ein und setzt andere Schwerpunkte bei der Analyse beobachteter Signale
mit statistischen Schlußweisen. Zum Thema der rekursiven und adaptiven Schätzver
fahren verweisen wir nur auf Ljung and Söderström (1983), Unbehauen (1988) und
Haykin (1996).
Abschließend sei noch der Hoffnung Ausdruck verliehen, daß der eine oder andere
Leser zum Ende der Lektüre Spaß an der Theorie stochastischer Signale und den viel
fältigen Anwendungsmöglichkeiten gefunden haben wird und sich intensiver in solche
Probleme der Signaltheorie einarbeiten möchte. Ein vertieftes Studium in dieser Rich
tung verlangt eine gründlichere Beschäftigung mit stochastischer .'vlodellbildung elek
trotechnischer Probleme und mit statistischen Techniken zum Modellidentifizieren und
-verifizieren. Auf der anderen Seite müssen schnelle und numerisch stabile Algorithmen
studiert werden, um mit Rechnern die resultierenden statistischen Signalverarbeitungs
methoden simulieren zu können. Aber auch Erkenntnisse über Prozessorstrukturen sind
wichtig, wenn aus der Beobachtung breitbandiger Signale Schlüsse in Echtzeit gezogen
werden sollen. Schließlich wird man zum Beispiel in einer Diplomarbeit ein Problem aus
der Praxis vom Messen über die Signalverarbeitung bis zum Schließen und Bewerten
der gewonnenen Aussagen zu lösen haben.