Table Of ContentGerhard Hübner
Stochastik
Mathematische Grundlagen ______ ______.
der Informatik
Herausgeber: Rolf Möhring, Walter Oberschelp
und Dietmar Pfeifer
Algorithmische Lineare Algebra
von Herbert Möller
Analysis
von Gerald Schmieder
Numerik
von Helmuth Späth
Stochastik
von Gerhard Hübner
Einführung in die Computergraphik
von Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel
und Christoph Zenger
vieweg _________________ __"
Gerhard Hübner
Stochastik
Eine anwendungsorientierte Einführung
für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker
2., durchgesehene Auflage
IJ
vleweg
Prof. Dr. Gerhard Hübner
Institut für Mathematische Stochastik
Universität Hamburg
Bundesstraße 55
20146 Hamburg
E-Mail: [email protected]
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich
1. Auflage 1996
2., durchgesehene Auflage 2000
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 2000
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Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-15443-1 ISBN 978-3-322-96909-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96909-5
v
Vorwort
Die vorliegende Einführung in die Stochastik, die sich vorwiegend an Studierende
der Informatik richtet, geht in ihrer Konzeption im wesentlichen von den folgenden
drei Gesichtspunkten aus:
1. Die Anwendung soll im Vordergrund stehen. Der Leser soll in die Lage versetzt
werden, bei konkreten Vorgängen mit Zufalls einfluss die wesentlichen Aspekte zu
erkennen, ein geeignetes Modell zu finden und daraus Prognosen und gegebenenfalls
Entscheidungshilfen abzuleiten.
2. Es sollen interessante und aktuelle Anwendungsbereiche einbezogen werden, die
sonst in einführenden Lehrbüchern meist nicht behandelt werden, so z.B. Bedie
nungsmodelle, wie sie u.a. bei der Bewertung von Kommunikationsnetzen eine we
sentliche Rolle spielen, oder Aspekte von Simulationsmethoden, die immer dann
zum Zuge kommen, wenn die analytische Lösung eines Problems zu komplex wird
oder nicht bekannt ist.
3. Der Umfang soll überschau bar sein, um den Einstieg in die Stochastik zu er
leichtern. Es kann daher in vielen Bereichen nur ein begrenzter Einblick gegeben
werden, der zur Lösung von einfachen Problemen ausreicht, daneben aber für kom
plexere Fragestellungen ein gewisses Verständnis ermöglicht, Interesse weckt und
die wesentlichen Grundlagen bereitstellt, um eine Beschäftigung mit schwierigeren
Aufgaben anhand weiterführender Literatur oder in entsprechenden Lehrveranstal
tungen zu ermöglichen.
Formale Elemente und Strukturen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sollen nur
insoweit einbezogen werden, wie sie einerseits als Handwerkszeug zur ModelIierung
und Lösung praktischer Probleme gebraucht werden und andererseits die Einord
nung von einzelnen Aspekten und Methoden in übergreifende Gesetzmäßigkeiten
ermöglichen. Außerdem soll auch bei Vereinfachungen nach Möglichkeit auf Über
einstimmung mit den sonst üblichen Bezeichnungen und Sprechweisen geachtet
werden.
In dieses Konzept sind im wesentlichen Erfahrungen aus den regelmäßigen Einfüh
rungsveranstaltungen "Stochastik für Studierende der Informatik" an der Univer
sität Hamburg, aber auch aus anderen Lehrveranstaltungen eingeflossen. Es lässt
sich damit, wenigstens teilweise, auch auf entsprechende Veranstaltungen für Stu
dierende der Mathematik, Wirtschaftsmathematik und der Ingenieurwissenschaf
ten anwenden, je nach Bedarf ergänzt durch vertiefende theoretische oder spezielle
angewandte Themenbereiche.
Der verstärkte Einsatz von graphischen Elementen - das besondere Herausheben
von wichtigen Stichwörtern, die Kennzeichnung von Beispielen durch anschauliche
Symbole und eine große Zahl von Skizzen, Funktionsdarstellungen und Tabellen -
vi Vorwort
soll das Verständnis, die visuelle Vorstellung, das Einprägen und das Nachschlagen
erleichtern.
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die an der Entstehung dieses Buches mit
gewirkt haben:
den Hörerinnen und Hörern meiner Vorlesungen, sowie den an den Übungen be
teiligten studentischen Hilfskräften für ihre Mitarbeit und für alle kritischen und
ermunternden Äußerungen,
meinen Hamburger Kolleginnen und Kollegen, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern
für unzählige Diskussionen, didaktische Überlegungen und praktische Verbesse
rungsvorschläge,
allen Autoren von Lehrbüchern für manche Anregungen, Beispiele und Übungsauf
gaben, deren Herkunft nicht immer im einzelnen nachvollziehbar ist,
meinen akademischen Lehrern, die meine Einstellung zum mathematischen Den
ken und Forschen geprägt haben, insbesondere Herrn Prof. Hinderer, der seinem
damaligen Assistenten neben aller formalen Strenge seine Aufgeschlossenheit für
Anwendungen vermittelt hat,
dem Vieweg-Verlag und den Herausgebern für das Angebot, dieses Lehrbuch in der
Reihe "Mathematische Grundlagen der Informatik" zu veröffentlichen, für die gute
Zusammenarbeit und für alle Unterstützung bei redaktionellen Fragen,
der Universität Hamburg für die Unterstützung im Rahmen des vom Bundesmi
nisterium für Forschung und Technologie geförderten Projekts "Innovation in der
Lehre",
den Studierenden Stefan Behnke und Stephan Engelke für ihren unermüdlichen
und engagierten Einsatz bei der Herstellung und Gestaltung der Druckvorlage, ins
besondere auch der Abbildungen,
dem Studierenden Roman-Raffaele Chirico für die Programmierung und Produkti
on der Simulations-Darstellungen
und nicht zuletzt meiner Familie für manche Ermutigung und manchen Verzicht.
Hamburg, im September 1995 Gerhard Hübner
Die vorliegende zweite Auflage ist im wesentlichen unverändert geblieben, abge
sehen von notwendigen Korrekturen und redaktionellen Anpassungen. Lediglich
das einleitende erste Kapitel wurde stärker überarbeitet und ergänzt um einen
Abschnitt über "Beschreibende Statistik", der erste Erfahrungen im Umgang mit
zufälligen Daten vermitteln soll, um den Einstieg in die formalen Modelle zu er
leichtern.
Allen Kollegen und Studierenden, die durch Hinweise und Vorschläge zur Verbes
serung dieser Auflage beigetragen haben, gilt mein besonderer Dank.
G.H.
vii
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
1.1 Was ist Stochastik? ......... 1
1.2 Anwendungsbereiche der Stochastik 1
1.3 Modell und Realität ... 3
1.4 Fragestellungen und Ziele 4
1.5 Beschreibende Statistik. 6
1.6 Aufgaben · ....... 9
2 Wahrscheinlichkeits-Modelle 11
2.1 Die Modell-Bausteine. 11
n
2.2 Der Merkmalraum 12
2.3 Zusammengesetzte Merkmale 13
2.4 Ereignisse · ...... 14
2.5 Das Ereignis-System A 17
2.6 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 19
2.7 Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen 24
2.8 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 25
2.9 Aufgaben · ................. 27
3 Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 31
3.1 Diskrete W-Maße und Zähldichten .. 31
3.2 Stetige W-Maße und Riemann-Dichten 33
3.3 Verteilungsfunktionen . 38
3.4 Aufgaben · ...... 42
4 Mehrstufige W-Modelle, Koppelung 45
4.1 Koppelung diskreter W-Modelle 45
4.2 Koppelung stetiger W-Modelle . 47
4.3 Unabhängige Koppelung 47
4.4 Markov-Koppelung ... 50
viii Inhaltsverzeichnis
4.5 Zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen 51
4.6 Folgen von Koppelungsmodellen 54
4.7 Aufgaben ........... . 55
5 Zufallsvariable und Bildmodelle 57
5.1 Zufallsvariable ......... . 57
5.2 Bildmodelle, Verteilungen von Zufallsvariablen 59
5.3 Hypergeometrische und Binomial-Modelle .. 62
5.4 Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung . 63
5.5 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung. 64
5.6 Wartezeiten - die geometrische Verteilung . . . . . . 65
5.7 Mehrfaches Warten - die negative Binomialverteilung 67
5.8 Bild-Verteilungen für stetige W-Modelle .. 68
5.9 Randverteilung und gemeinsame Verteilung 70
5.10 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen . 74
5.11 Summen-Verteilungen und Faltung 78
5.12 Aufgaben ............. . 82
6 Kenngrößen 87
6.1 Modalwert, Median, Quantile 87
6.2 Erwartungswert: Einführung. 89
6.3 Erwartungswert: diskrete Modelle 90
6.4 Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle 96
6.5 Streuung und Varianz 100
6.6 Kovarianz . . . . . . . 103
6.7 Mehrdimensionale Normalverteilung . 105
6.8 Zufällige Summen und bedingte Erwartungswerte 109
6.9 Aufgaben ..................... . 113
7 Modelle für stochastische Prozesse 117
7.1 Vorbemerkungen ......... . 117
7.2 Markov-Ketten - einige Grundbegriffe. 118
7.3 Markov-Ketten im Gleichgewicht 121
7.4 Aufgaben ............ . 126
IX
8 Bediensysteme 127
8.1 Vorbemerkungen ...... . 127
8.2 Das Bedienmodell MIMlll°o . 129
8.3 Das MIMII-Bediensystem im Gleichgewicht 133
8.4 Leistungsmaße im MIMII-Bediensystem 135
8.5 MIMlslc-Bediensysteme ........ . 139
8.6 Andere Bedienzeitverteilungen ..... . 145
8.7 Gekoppelte Bediensysteme ~ Bediennetze . 147
8.8 Bedienmodelle mit stetiger Zeit 151
8.9 Aufgaben ......... . 153
9 Zufallszahlen und Simulation 157
9.1 Vorbemerkungen ..... . 157
9.2 Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen 157
9.3 Zufallszahlen mit anderen Verteilungen 159
9.4 Anwendung von Simulationsverfahren . 163
9.5 Aufgaben ............... . 165
10 Grundfragen der Statistik 167
10.1 Typische Problemstellungen 167
10.2 Punktschätzung .. 169
10.3 Intervallschätzung . 171
10.4 Statistische Tests 174
10.5 Testen von Hypothesen . 176
10.6 Chi-Quadrat-Anpassungstest . 178
10.7 Test auf Unabhängigkeit 180
10.8 Aufgaben ....... . 181
A Tabellen 185
A.l Die wichtigsten diskreten Verteilungen 185
A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen 186
A.3 Werte der Standard-Normalverteilung . 187
A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung 188
A.5 Quantile der Student-Verteilung . . . 188
A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 189
x Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis 191
Symbole und Abkürzungen 194
Stichwortverzeichnis 195
