Statistische Nachrichtentheorie: Zweiter Teil Signalschätzung

238 Pages·1988·5.321 MB·German

by  Dr.-Ing. Kristian Kroschel (auth.)

Hochschultext
Kristian Kroschel
Statistische
Nach richtentheorie
Zweiter leil
Signalschatzung
Zweite Auflage
Mit 77 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1988
Dr.-Ing. Kristian Kroschel
Professor, Institut tUr Nachrichtensysteme
Universitat Karlsruhe
Abteilungsleiter, Fraunhofer Institut tUr
Informations-und Datenverarbeitung (1IT8) Karlsruhe
ISBN 978-3-540-50125-1
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Kroschel, Kristian:
Statistische Nachrichtentheorie / Kristian Kroschel.
(Hochschultext)
Literaturangaben
Teil 2. Signalschătzung. -2. Aufl. -1988
ISBN 978-3-540-50125-1 ISBN 978-3-662-10046-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-10046-2
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1974 and 1988
Ursprunglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1988
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VOnNort
Die statistische Nachrichtentheorie, die sich mit der Nachrich
tenubertragung unter dem EinfluB vo~ Storungen befaBt, laBt sich
in die zwei Aufgabenbereiche Detektion oder Signalerkennung und
Estimation oder Signalschatzung einteilen. Bei der Signal
schatzung ist noch zu unterscheiden, ob es sich dabei urn zeitun
abhangige Signale, d.h. Parameter, oder urn zeitabhangige Signale
handelt. Man unterteilt deshalb die Estimation haufig in die
parameterschatzung und die eigentliche Signalschatzung.
Die Aufgabenbereiche Signalerkennung und Parameterschatzung
wurden bereits im ersten Teil dieses Buches [1] behandelt. Die
Signalschatzung ist das Thema dieses zweiten Teils, wobei an die
Ergebnisse vor allem der Parameterschatzung angeknupft wird. Weil
diese Ergebnisse im gegebenen Fall kurz wiederholt werden, ist
das vorliegende Buch auch ohne Kenntnis des ersten Teils lesbar.
Vorausgesetzt werden wie beim ersten Teil lediglich Kenntnisse
der System- und Netzwerktheorie, z.B. [2] sowie der Statistik,
z.B. [3, 4].
Die Signalschatzung hat in den letzten Jahren besonders durch
Probleme im Zusammenhang mit der Navigation von Raumfahrzeugen
groBe Bedeutung erlangt. Da diese Probleme vor allem in den USA
verfolgt wurden, findet man in der amerikanischen Literatur
viele, zum Teil bereits als Standardwerke anzusehende Bucher, die
die Signalschatzung behandeln, z.B. [5, 6, 7, 8]. Im deutschen
Schrifttum sind nur wenige Publikationen auf diesem Gebiet er
schienen, z.B. [9, 10, 11, 21, 33], in denen vornehmlich wichtige
Teilprobleme der Signalschatzung angesprochen werden.
Im vorliegenden Buch werden zusammenfassend aIle Aufgaben der
Iinearen Signalschatzung behandeIt, d.h. Filterung, Pradiktion
4
und Interpolation zeitdiskreter und kontinuierlicher stationarer
und instationarer Prozesse.
Es gibt verschiedene Wege, diese Aufgaben der Signalschatzung in
einem Buch darzustellen. Ein Weg bestunde z.B. darin, eine uni
verselle Schatzformel fur aIle diese Aufgaben herzuleiten und
damit die Anwendungsfalle, z.B. die Pradiktion, zu betrachten.
Weil sich dieses Buch an Student en h6herer Semester der Nach
richten- und Regelungstechnik und Informatik sowie an Ingenieure
wendet, die nach einer Einfuhrung in die Verfahren der Signal
schatzung suchen, wurde im Sinne einer besseren Anschaulichkeit
der Theorie jeder dieser Anwendungsfalle getrennt betrachtet. Die
dabei gewonnenen Strukturmodelle der Schatzsysteme eignen sich
z.B. fur eine direkte Realisierung durch einen Computeralgorith
mus. Die Herleitung der Strukturmodelle erfolgte nach einem ein
heitlichen Ansatz, dem Orthogonalitatsprinzip, z.B. [1, 12].
Unter diesen Gesichtspunkten der Einheitlichkeit der Dar-
stellung und der Anschaulichkeit - lassen sich nicht aIle Ansatze
und Ergebnisse der Theorie der Signalschatzung zusammenfassen. So
wurde z.B. nicht auf die L6sung des Signalschatzproblems mit
Hilfe des Innovationsansatzes [13, 14] eingegangen oder durch
Erweiterung der Wiener-Hopf-Integralgleichung das Problem der
Schatzung instationarer Prozesse gel6st [9].
Nach einer Einleitung wird im 1. Kapitel die Schatzung zeitkonti
nuierlicher und zeitdiskreter stationarer Prozesse mit Hilfe von
Wiener-Filtern behandelt. Dazu wird die Wiener-Hopf-Integralglei
chung hergeleitet und auf ihre L6sung eingegangen.
Zur Beschreibung instationarer Prozesse wird im 3. Kapitel ein
universelles Modell hergeleitet, das auf den Zustandsgleichungen
aufbaut. Damit ist die Grundlage zur Schatzung instationarer
Prozesse geschaffen.
1m 4. Kapitel wird die Schatzung zeitdiskreter instationarer
Prozesse durch Kalman-Filter betrachtet.
Diese Betrachtungen werden im 5. Kapitel auf die Kalman-Bucy
Filter zur Schatzung kontinuierlicher instationarer Prozesse
ausgedehnt.
Durch Anwendungsbeispiele, die aus der technischen Praxis stammen
und eine Erweiterung gegenuber der ersten Auflage dieses Buches
darstellen, werden die Kapitel uber Wiener-Filter und insbesonde
re uber Kalman-Filter erganzt.
5
Zur besseren Untergliederung und Zusammenfassung des Stoffes
wurden viele Tabellen zusammengestellt. Andere Tabellen dienen
dazu, Zwischenrechnungen, die den Ablauf einer Herleitung unter
brechen wurden, vom Text zu trennen. Einige Aufgaben am SchluB
des Buches sol len dazu dienen, die Anwendung der gewonnenen
Schatzformeln zu demonstrieren und auf typische Eigenschaften der
angesprochenen Schatzaufgaben einzugehen. Diese Aufgaben sind
allerdings nur als einfache Ubungsaufgaben und nicht als Anwen
dungsbeispiele aus der Praxis gedacht, da praktische Aufgaben in
der Regel einen Digitalrechner zur Losung erfordern.
Wie in der 2. Auflage des ersten Bandes wurde auch in dieser
neuen Auflage des zweiten Bandes eine Nomenklatur verwendet, die
sich so weit wie moglich an die DIN-13 303 anlehnt. Leider behan
delt diese Empfehlung nur die Beschreibung von Zustandsvariablen,
wahrend hier vornehmlich Zufallsprozesse auftreten, so daB die
Empfehlung nach DIN dem Sinne nach auf Prozesse erweitert werden
muBte. Sie ist konsistent zur Nomenklatur im ersten Band.
In der 2. Auflage dieses Bandes sind die bereits erwahnten Anwen
dungsbeispiele hinzugekommen, urn den Bezug zur Praxis zu vertie
fen. Ferner wurde der Abschnitt uber Zustandsvariable erweitert.
Das Kapitel uber Kalman-Bucy-Filter wurde demgegenuber etwas
gekurzt, weil sie in ihrer praktischen Bedeutung gegenuber den
Kalman-Filtern zurucktreten.
Fur die Hinweise und Anregungen von Fachkollegen, wissenschaftli
chen Mitarbeitern und studenten, die das Entstehen dieses Buches
sehr gefordert haben, mochte ich mich an dieser Stelle besonders
bedanken.
Mein Dank gilt Frau C. McCloskey und Frau G. Daum fur die Erstel
lung des Rohentwurfs auf einer Textverarbeitungsanlage und Frau
S. Kuhn fur das Zeichnen der Bilder. Frau G. Kreutzer und Herr
Dipl.-Ing. A. Wernz haben freundlicherweise das Manuskript kri
tisch durchgesehen. Den Mitarbeitern des Springer Verlags danke
ich fur die kooperative Zusammenarbeit und die Ermunterung zur
Neuauflage des Buches. Nicht vergessen sei auch ein Dank an meine
Frau, die mich ohne Murren viele Stunden uber die normale Ar
beitszeit hinaus an diesem Buch arbeiten lieS.
Karlsruhe, im Mai 1988 Kristian Kroschel
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgaben der Signalschatzung .............................. 9
2 Wiener-Filter ............................................. 16
2.1 Wiener-Filter fur kontinuierliche stationare
Prozesse .............................................. 1 7
2.1.1 .Aufgabenstellung und Annahmen ................... 17
2.1.2 Die Wiener-Hopf-Integralgleichung ............... 19
2.1.3 Losung der Wiener-Hopf-Integralgleichung ........ 21
2.1.4 Minimaler mittlerer quadratischer Schatz-
fehler .......................................... 25
2.2 Wiener-Filter fur zeitdiskrete stationare Prozesse ..... 27
2.2.1 Aufgabenstellung und Annahmen ................... 30
2.2.2 Berechnung des optimalen zeitdiskreten
Filters ......................................... 31
2.2.3 Minimaler mittlerer quadratischer Schatz-
fehler .........•.•••...........•................ 34
2.3 Eigenschaften von Wiener-Filtern ...................... 37
2.3.1 Schatzung einfacher Signalprozesse .............. 37
2.3.2 Vergleich von Wiener-Filtern mit
konventionell entworfenen Filtern .•.....•..•.... 50
2.4 Anwendungsbeispiele von Wiener-Filtern ........•..•••.• 54
2.4.1 DPCM-Codierer zur Redundanzreduktion ............ 55
2.4.2 Gerauschreduktion bei Sprachubertragung ......... 63
2.5 Zusammenfassung ......................................• 69
3 Beschreibung dynamischer Systeme durch Zustandsvariable ... 70
3.1 Die zustandsvektordifferentialgleichung ...........•••• 70
3.2 Losung der Zustandsvektordifferentialgleichung ........ 73
7
3.3 Eigenschaften der zustandsubergangsmatrix ............. 76
3.4 Vollstandige Systembeschreibung durch Zustands-
variable ...•...•...................................... 78
3.5 Beschreibung zeitdiskreter Systeme durch Zustands-
variable .............................................. 80
3.6 Alternative Form der zustandsgleichungen ..........•... 86
3.7 Beschreibung von Prozessen durch Zustandsvariable ..... 87
3.8 Zusammenfassung ........................•.............. 93
4 Kalman-Filter............................................. 95
4.1 Aufgabenstellung und Annahmen ......................... 97
4.2 Pradiktion um einen Schritt ........................... 99
4.2.1 Pradiktion fur beliebig viele Schritte ......... 116
4.3 Filterung ............................................ 124
4.4 Interpolation .......................•........ "........ 131
4.4.1 Interpolation von einem festen Zeitpunkt aus ... 132
4.4.2 Interpolation fur einen festen Zeitpunkt ....... 143
4.4.3 Interpolation uber einen festen Zeitabstand .... 151
4.5 Anwendungsbeispiele von Kalman-Filtern ............... 158
4.5.1 Echokompensation •.............•................ 158
4.5.2 Dynamische Zielverfolgung in Radarsystemen ..... 162
4.5.3 Fehleruberwachung in Netzen und Systemen. ....... 165
4.6 Zusammenfassung ...............................•...... 173
5 Kalman-Bucy-Filter ....................................... 175
5.1 Aufgabenstellung und Annahmen ...•..................•• 175
5.2 Filterung ............................................ 177
5.3 Pradiktion ...•....................................... 188
5.4 Interpolation ..................•..................... 195
5.4.1 Interpolation von einem festen Zeitpunkt aus ... 196
5.4.2 Interpolation fur einen festen Zeitpunkt ......• 204
5.4.3 Interpolation uber einen festen Zeitabstand .... 207
5.5 Anwendungen der Kalman-Bucy-Filter ...•.......•.•....• 211
5.5.1 Optimale Modulationssysteme .................... 212
5.6 Zusammenfassung •.........•.....•..•.•.........•..•... 217
Aufgaben .....................•.•.•.....•.•.............•.... 21 8
8
Literaturverzeichnis .•.....•.•.•.•.•.•...•.................. 231
Namen- und Sachverzeichnis .••.•................•..•..•.•..•• 234
1 Aufgaben der Signalschatzung
Die Signalschatzung ist eine der Aufgaben der statistischen Nach
richtentheorie. Sie besitzt, wie sich noch zeigen wird, viele
Gemeinsamkeiten mit den ubrigen Aufgabenbereichen der stati
stischen Nachrichtentheorie, der Signalerkennung und der Para
meterschatzung [1].
Zur Beschreibung der Signalschatzung verwendet man das Modell
eines Nachrichtenubertragungssystems, wie es Bild 1.1 zeigt. Die
Quelle liefert als Ereignis ein zeitabhangiges Signal aCt), das
irgendein Nachrichtensignal sein kann, z.B. die Position eines
Flugkorpers oder die DurchfluBmenge an einem ventil. Dieses Si
gnal ist eine Musterfunktion des zugehorigen Zufallsprozesses
aCt). Je nachdem, ob dieses Signal zeitkontinuierlich oder zeit
diskret ist, hat man fur die Zeit t den wert t=t oder t=kT zu
setzen. Dabei wird im FaIle eines zeitdiskreten Signals angenom
men, daB dieses aus aquidistanten Abtastwerten besteht, d.h. daB
T die konstante Abtastperiode und k eine ganze Zahl ist.
Erelgms n ( 1: )
(Signal)
QUELLE SENDER KANAL EMPFANGER
5 ( 1: a (1:) ) r (1:)
I
Bild 1.1 Nachrichtenubertragungssystem (Signalschatzung).
Fur t=t kontinuierliche, fur t=kT zeitdiskrete Signale
Das Signal aCt) wird im Sender in ein zur Ubertragung uber den