Table Of ContentUni-Taschenbücher 522
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Arthur Linder
Willi Berchtold
Statistische Auswertung
von Prozentzahlen
Pro bit- und Logitanalyse mit EDV
Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart
A. LI ND ER, Professor für mathematische Statistik an der
Universität Genf und an der ETH Zürich, Dr. med. h.c.,
Fellow, American Statistical Association. Honorary Fellow,
Royal Statistical Society.
W. BERCHTOLD, 1969-73 Assistent bei Prof. A. Linder. Seit
1974 Oberassistent am Institut für Biometrie und Populations
genetik an der ETH Zürich.
CIP-Kurztitelaufnabme der Deutschen Bibliothek
Linder, Art""r
Statistische Auswertung von Prozentzahlen :
Probit-u. Logitanalyse mit EDV I Arthur Linder;
Willi Berchtold. - 1. Aufl. - Basel, Stuttgart:
Birkhäuser, 1976.
(Uni-Taschenbücher; 522)
NE: Berchtold, Willi:
ISBN 978-3-7643-0820-9 ISBN 978-3-0348-7289-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7289-8
Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in
fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder
durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Birkhäuser Verlag Basel, 1976.
Vorwort
Die Ergebnisse von Beobachtungen und Versuchen liegen
oft als Prozentzahlen vor. Die für diesen Fall geeigneten
statistischen Verfahren werden in den allgemeinen Lehrbüchern
der mathematischen Statistik meist überhaupt nicht erwähnt;
gelegentlich werden sie nur ganz kurz gestreift.
Monographien, die sich mit der statistischen Auswertung
von Prozentzahlen befassen, sind nur in englischer Sprache
erschienen; wir erwähnen die Werke von D. J. FINNEY (1971)
über die Probitanalyse, von D. R. Cox (1970) und von W. D·
ASHTON (1972) über die Logitanalyse. Diese Bücher haben
eines gemeinsam: Sie behandeln jeweils nur eine der ver
schiedenen Transformationen, die man anwendet, um' Prozent
zahlen den üblichen statistischen Methoden zugänglich zu
machen.
Unsere Darstellung ist demgegenüber allgemein gehalten.
Nicht nur wird die Theorie für alle üblichen Transformationen
behandelt, sondern wir geben überdies Anwendungsbeispiele
aus den verschiedensten Gebieten wie Biologie, Medizin,
Technik, Soziologie, während die obenerwähnten Werke ent
weder einem bestimmten Anwendungsgebiet (z. B. den biolo
gischen Gehaltsbestimmungen) gewidmet sind, oder aber nahezu
ausschliesslich die Theorie behandeln.
Mit dem heute üblichen mathematischen Rüstzeug des
Naturwissenschafters und Technikers sollten die theoretischen
Kapitel unseres Buches leicht zu erarbeiten sein. Indessen kann
der Leser die rein theoretischen Teile überschlagen, wenn er
nur die Anwendungen kennenlernen will; die Darstellung ist
so angelegt, dass die statistischen Auswertungsverfahren unab
hängig von den theoretischen Darlegungen erläutert werden·
In dieser Monographie liegt das Schwergewicht auf
statistischen Auswertungen mit Hilfe moderner Rechenauto
maten; allerdings wird auch angegeben, wie man vorgeht, wenn
lediglich nichtprogrammierbare Tischrechner zur Verfügung
5
stehen; die entsprechenden Abschnitte sind mit einem Stern (*)
gekennzeichnet.
Das Buch richtet sich an Forscher auf den Gebieten der
Biologie (im weitesten Sinne), der Technik, der Medizin, der
Wirtschaftswissenschaften und der Soziologie, sowie insbeson
dere auch an Studierende, welche Einblick gewinnen möchten
in ein wichtiges Sondergebiet der neueren Statistik.
Unser Dank richtet sich in erster Linie an Herrn Prof. Dr.
H. L. Le Roy, der unsere Arbeit in grosszügiger Weise gefördert
hat. Herrn Dr. H. R. Roth verdanken wir verschiedene An
regungen und Vorschläge. Die Ausarbeitung des Manuskripts
besorgte Frl. M. Schneeberger mit gewohnter Umsicht; sie hat
auch alle Figuren gezeichnet.
Genf und Zürich, Juli 1976 A.L., W.B.
6
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 11
1.1 Ziel der Arbeit . 11
1.2 Eigenschaften der verschiedenen Transformationen 19
1.21 Die Winkeltransformation 19
1.22 Die Probittransformation 20
1.23 Die Logittransformation . 23
1.24 Die Loglogtransformation 32
1.25 Die Wurzeltransformation 35
1.26 Die logarithmische Transformation 35
1.27 Transformation kleiner Anzahlen . 36
1.3 Theoretische Grundlagen 37
1.31 Allgemeine Grundlagen 37
1.32 Ergänzungen zur Berechnung mit Tischrechnern 40
1.33 Nach Poisson verteilte Anzahlen 42
1.4 Gewichte, Spannweiten und Rechenwerte 45
1.41 Winkeltransformation . 45
1.42 Probittransformation 46
1.43 Logittransformation . 47
1.44 Loglogtransformation . 48
1.45 Wurzeltransformation . 49
1.46 Logarithmische Transformation 49
1.47 Transformation für kleine Anzahlen . 50
1.5 Historische Hinweise und Literaturangaben 52
2 Einfache lineare Regression; eine einzige Regressions-
gerade 55
2.1 Theorie 55
2.11 Likelihoodschätzung 55
2.12 Zulässigkeit der gewählten Transformation . 62
2.13 Testen von Hypothesen und Streuungszerlegung 64
2.14 Likelihoodschätzung; die Methode der Rechenwerte . 66
2.15 Vertrauensgrenzen 68
2.16 Grenzfälle . 72
2.2 Beschreibung des Rechenablaufs 74
2.3 Anwendungen 79
7
2.31 Beispiel aus der Bakteriologie 79
2.32 Beispiel aus der Ornithologie. 85
2.33 Beispiel aus der Elektrotechnik *) 88
3 Einfache lineare Regression; mehrere Regressions-
geraden 97
3.1 Theorie 97
3.11 Parallelität und Abstand zweier Regressionsgeraden . 97
3.12 Parallelität bei mehreren Regressionsgeraden . 103
3.13 Abstände zwischen mehreren Regressionsgeraden 106
3.2 Anwendungen 110
3.21 Beispiel aus der Pathologie. 110
3.22 Beispiel einer biologischen Gehaltsbestimmung 114
3.23 Beispiel aus der Epidemiologie . 118
4 Mehrfache Regression; allgemeines lineares Modell 125
4.1 Theorie 125
4.11 Likelihoodschätzung; allgemeine Formulierung. 125
4.12 Testen von Hypothesen 129
4.13 Likelihoodschätzung; die Methode der Rechenwerte . 134
4.14 Einfache lineare Regression 137
4.2 Beschreibung des Rechenablaufs 139
4.3 Anwendungen 146
4.31 Beispiel aus der Metallurgie 146
4.32 Beispiel aus der Physiologie 148
4.33 Beispiel aus der Strahlengenetik 150
5 Einweg-und Mehrwegklassifikation; Streuungszerlegung 155
5.1 Einleitung . 155
5.2 Theorie 162
5.21 Einwegklassifikation 162
5.22 Zweiwegklassifikation ohne Wiederholung 168
5.23 Zweiwegklassifikation mit Wiederholung . 173
5.3 Anwendungen 176
5.31 Beispiel aus der Tierzucht 176
5.32 Beispiel aus der medizinischen Genetik 177
5.33 Beispiel aus der Genetik . 180
5.34 Beispiel aus der Entomologie. 182
*) Anwendungen ohne Benützung von Rechenautomaten.
8
5.35 Beispiel aus der Soziologie . 184
5.36 Beispiel eines Feldversuchs . 187
5.37 Beispiel aus der Schädlingsbekämpfung*) 192
5.38 Beispiel aus der Ophthalmologie*) 200
6 Tafeln. 206
6.1 Winkeltransformation . 206
6.2 Probittransformation 208
6.3 Logittransformation. 211
6.4 Loglogtransformation . 214
6.5 Verteilung von x2 • 218
6.6 Normalverteilung . 219
6.7 Verteilung von F und von t 220
7 Literatur. 226
7.1 Im Text zitiert 226
7.2 Weitere Literaturangaben 228
8 Namenverzeichnis, Sachverzeichnis . 230
*) Anwendungen ohne Benützung von Rechenautomaten.
9
1 Einleitung
In diesem einleitenden Kapitel wird unter 1.1 zunächst
angegeben, weIchen Zweck wir mit unseren Ausführungen ver
folgen. Es wird gezeigt, weshalb bei der statistischen Auswertung
von Prozentzahlen besondere Schwierigkeiten auftreten und wie
man versucht, durch Transformation der Prozentzahlen diese
Schwierigkeiten zu überwinden. In 1.2 werden die am meisten
verwendeten Transformationen einzeln vorgeführt und ihre
Eigenschaften angegeben. In 1.3 und 1.4 erörtern wir die bei
derartigen Transformationen allgemein auftretenden Probleme.
Schliesslich fügen wir in 1.5 noch einige kurze historische
Bemerkungen und Hinweise auf die Literatur an.
1.1 Ziel der Arbeit
Der Forscher erhält recht oft die zahlenmässigen Ergeb
nisse seiner Beobachtungen und Versuche in Form von Pro
zentzahlen (Anteilziffern). Wir erwähnen einige Beispiele.
1. Sterberate eines Insektes in Abhängigkeit von der
Konzentration eines Giftes;
2. Prozentsatz der Überschläge an einem Isolator in
Abhängigkeit von der Stromspannung ;
3. Prozentsatz der befruchteten Eier, aus denen Küken
geschlüpft sind, bei sechs weiblichen Inzuchtlinien;
4. Prozentsatz der Personen mit Magenkrebs, in Ab
hängigkeit von Blutgruppe und Geschlecht;
5. Prozentsatz der Personen mit Steinkrankheit (Lithia
sis), in Abhängigkeit von Geschlecht und Alter.
In jedem dieser fünf Beispiele will man untersuchen, in
weIcher Weise Prozentzahlen von gewissen Einflüssen abhängen.
In den Beispielen 1 und 2 verändern sich die Prozentsätze
in Abhängigkeit von kontinuierlich variierenden Einfluss
grössen; in 1 ist diese Einflussgrösse die Giftkonzentration, in
11
2 ist es die Stromspannung. Im allereinfachsten Fall wird diese
Abhängigkeit durch eine lineare Funktion
y = c + bx (1)
dargestellt, wobei x der Einflussgrösse, Y dem im Mittel zu
erwartenden Prozentsatz entspricht.
Im Beispiel 3 will man herausfinden, ob die weiblichen
Inzuchtlinien die (cSchlüpfrate» beeinflussen. Mit den sechs
Inzuchtlinien werden die Prozentzahlen in ebensoviele Klassen
aufgeteilt, wodurch sich eine sogenannte Einwegklassijikation
ergibt.
In den Beispielen I und 2 haben wir quantitative Variabeln
als Einflussgrössen; im Beispiel 3 dagegen eine qualitative
Variable.
Auch hier kann die Beziehung zwischen den Prozent
zahlen Yund der Einflussgrösse durch eine Formel dargestellt
werden, indem man schreibt
Y = m + b" (2)
wobeij die Werte I bis 6 annimmt.
Im Beispiel 4 suchen wir festzustellen, wie der Prozentsatz
der Personen mit Magenkrebs von der Blutgruppe und vom
Geschlecht beeinflusst wird. Die beiden Einflussgrössen, Blut
gruppe und Geschlecht, sind wiederum qualitativer Art; sie
bilden je zwei Klassen, da nur die beiden häufigsten Blut
gruppen A und 0 berücksichtigt werden. Wir haben es hier
mit einer Zweiwegklassijikation zu tun.
Die Beziehung zwischen den Prozentzahlen Y und den
beiden (qualitativen) Einfiussgrössen lässt sich in die folgende
Formel fassen:
(3)
wobei bj (bl und b2) den Einfluss der Blutgruppe und CI< (Cl und
C2) den Einfluss des Geschlechts angibt.
Im letzten Beispiel schliesslich liesse sich der Prozentsatz
Y der Personen mit Lithiasis durch eine Beziehung der folgenden
Art in Abhängigkeit vom Geschlecht und vom Alter x darstellen:
(4)
12
