Statistical analysis of stress and deformation state in polycrystalline aggregates with a large

129 Pages·2015·11.39 MB·English

Statistical analysis of stress and deformation
state in polycrystalline aggregates with
a large number of grains
Dissertation
zurErlangungdesakademischenGrades
Doktoringenieur
(Dr.-Ing.)
vonM.Sc.OleksandrPrygorniev
geb.am22.11.1987inKharkiw
genehmigtdurchdieFakultätfürMaschinenbau
derOtto-von-Guericke-UniversitätMagdeburg
Gutachter:
apl.Prof.Dr.-Ing.habil.KonstantinNaumenko
Prof.Dr.rer.nat.SiegfriedSchmauder
Promotionskolloquiumam17.06.2015

Abstract
The present thesis is focused on the numerical modeling and simulation
of polycrystalline structures with the macroscopic dimensions and realistic
boundary conditions. The microstructure of polycrystals is represented by
therandomizedthree-dimensionalVoronoidiagramassumingtheconvexity
of grains and faces. In order to achieve the macroscopic dimensions of
structures, a large number of grains must be calculated and generated
within the geometrical model. On the other hand, several assumptions
such as the simple grain material model, grains interaction approach, etc.
should be introduced to reduce the computational costs. The developed
software framework generates the geometrical and finite element models of
a polycrystal considering arbitrary shape of sample, thickness of the grain
boundarylayer,numberofgrains,andothergeometricalproperties.
The main idea is to investigate the influence of the heterogeneous
microstructure on the macroscopic behavior in different regions of the
polycrystals such as the bulk, notches, and surface area. For this
reason, specific numerical algorithms of averaging and interpolation are
developed and implemented in an efficient programming code to perform
a statistical analysis of the simulation results. One usually considers a scale
separationmethodwith therepresentativevolumeelement to introducethe
microstructuralmaterialbehavior at the macroscale. However, theobtained
results of the simulation with entire polycrystals show an appearance of
the surface layer effect, which is not covered by the classical continuum
theory. After thorough investigation of the smooth and notched cylindrical
polycrystals under different loading conditions, the thickness of the surface
layerandthestrengthofthesurfacelayereffectweredetermined.
The proposed method and developed framework can be furtherused for
theanalysis of polycristallineheterogeneousmaterialswith various material
modelsandunderarbitraryloadingconditions.
Zusammenfassung
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der geometrischen Mod-
ellierung und Simulation von polykristallinen Strukturen unter Berücksich-
tigung der makroskopischen Abmessungen und realistischer Randbedin-
gungen. Die Mikrostruktur den Polykristalle wird durch stochastische,
regellos aufgebaute, dreidimensionale Voronoi-Diagramme repräsentiert
unter Annahme konvexer Körner und Korngrenzen. Um makroskopische
Abmessungen zu berücksichtigen, muss man ein Voronoi-Diagramm mit
einer großen Anzahl an Körnern generieren und die Ergebnisse im ge-
ometrischen Modell abbilden. Außerdem müssen einige Annahmen, zum
Beispiel bezüglichdes Materialmodellsundder Wechselwirkung der Körner,
getroffen werden, um die Rechenkosten zu reduzieren. Das entwickelte
Programmgerüstgeneriertdiegeometrischenund Finite-Elemente-Modelle
unter Berücksichtigung der beliebigen Formen des Polykristalls, Dicke der
Korngrenzen, Anzahl der Körner und anderer variierender geometrischer
Eigenschaften.
Der Grundgedanke besteht dabei in der Untersuchung des Einflusses
der heterogenen Gefügestruktur auf das makroskopische Materialverhalten
in unterschiedlichen Teilgebieten eines Polykristalls, wie zum Beispiel das
Innere des Polykristalls, Kerben und Oberflächen. Deshalb werden spezielle
numerische Algorithmen zur Mittelung und Interpolation entwickelt und in
einen leistungsfähigen Programmcode implementiert, um eine statistische
Analyse der Simulationsergebnisse durchzuführen. Üblicherweise wird
das Materialverhalten auf der Mikroebene ins makroskopische Modell
integriert, indem die verschiedenen Skalen mittels eines repräsentativen
Volumenelements getrennt werden. Die erzielten Simulationsergebnisse
der ganzen Polykristalle lassen jedoch auf das Auftreten von Oberflächen-
schichteffekten schließen, welche in der klassischen Kontinuumstheorie
nicht berücksichtigt werden. Die Dicke der Oberflächenschicht und die
StärkedesOberflächenschichteffektswerdennachsorgfältigerUntersuchung
der glatten und gekerbten zylindrischen Polykristalle unter verschiedenen
Beanspruchungsbedingungenbestimmt.
Man kann die vorgeschlagene Methode und das entwickelte Program-
mgerüst zur Analyse von polykristallinen heterogenen Materialien mit
variierenden Materialmodellen und unterschiedlichen Beanspruchungsbe-
dingungeneinsetzen.
I
Contents
Contents I
ListofFigures III
ListofTables VII
1 IntroductionandMotivation 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Modelsforpolycrystals 9
2.1 Masingmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Examplewiththreerods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Statisticaldistributionofyieldstress . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Masingprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Voronoidiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Algorithmsoverview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Cell-basedgenerationalgorithm . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Grainboundarylayer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Geometricalsingularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5 Randomizedincrementalalgorithm . . . . . . . . . . . . 32
2.3 ConstructioninCAD/CAEAbaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Shapeofpolycrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Finiteelementmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Finite-thicknessboundarylayer . . . . . . . . . . . . . . 41
II
2.4.2 Meshdependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Constitutiveequations 49
3.1 Graininterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Grainboundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Postprocessing 57
4.1 Volumetricaveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Point-wiseaveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Interpolationusingshapefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1 Lineartetrahedralfiniteelement . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Linearhexahedralfiniteelement . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.3 Linearprismfiniteelement . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Simulation 67
5.1 Surfacelayereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.1 Rectangularplateundercyclicload . . . . . . . . . . . . 68
5.1.2 Cylindricalbarincyclicviscoplasticity . . . . . . . . . . 72
5.1.3 Cylindricalbarundertension.Loadingratedependence 75
5.1.4 Cylindricalbarundertension.Relaxationtest . . . . . . 78
5.1.5 Cylindricalbarundermulticyclicdeformation. . . . . . 79
5.1.6 Influenceofgrainmaterial’sanisotropy . . . . . . . . . . 80
5.1.7 Elastictensionofnotchedcylindricalbar . . . . . . . . . 82
5.2 Intergranularfracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 Sensitivityanalysisofviscosityparameter . . . . . . . . 87
5.2.2 Displacement-controlledtest . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.3 Uniaxialcreeptestofcylindricalpolycrystal . . . . . . . 90
6 Conclusions 95
A Implicittimeintegrationscheme 101
B Mappingofarbitrarypointinextrudedhexahedralfiniteelement 103
C Mappingofarbitrarypointinextrudedprismfiniteelement 105
Bibliography 107
III
List of Figures
1.1 Examplesofcoppermicropartsandmicrostructures . . . . . . . . . 5
1.2 Exampleoffuelcellplate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Strainsincompressedaluminiumspecimen. . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Polycrystallinemicrostructureofcopper . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Elasticitymodulusofsinglecrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Distributionofcrystallographicorientations . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Reconstructionofthemicrostructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 2DVoronoidiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Masingmodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Constructionofthestress-straindiagramforthreerods . . . . . . . 16
2.8 ContinuousMasing-typemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 IllustrationoftheMasingprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Gravitationalinfluenceofstars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.11 Voronoidiagramsinnature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Samplesofaluminum/silicon-carbidefoam . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Cubiccrystallites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.14 DualityoftheVoronoidiagramandDelaunaytessellation . . . . . 22
2.15 RasterVoronoidiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.16 Formationofthecellbycuttingwithhalf-spaceplanes . . . . . . . 24
2.17 Cavitiesingrainboundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.18 Transformationofgrains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.19 Offsetoffaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.20 Grainboundaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV
2.21 Shortedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.22 Examplesofshortedges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.23 RegularizationoftheVoronoidiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.24 Constructionof6cellswithrandomizedincrementalapproach . . 33
2.25 Algorithmofmodifiedrandomizedincrementalalgorithm . . . . . 34
2.26 Step-by-stepconstructionofagrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.27 Formationofcylindricalpolycrystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.28 Unmeshableboundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.29 Exampleofmeshingtwograinsandboundariesbetweenthem . . 42
2.30 GeometricalandFEmodelofgrainboundariesinpolycrystal . . . 42
2.31 Calculationofpoint’sbarycentriccoordinates. . . . . . . . . . . . . 43
2.32 Schemeofinterpolationandtransformationofnodes . . . . . . . . 44
2.33 Exampleoftheunitcellmodelwith1000grains. . . . . . . . . . . . 46
2.34 Mesh-dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 CohesivefiniteelementCOH3D6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Examplesofdeformationofbicrystalwithcohesivegrainboundary 55
4.1 Normalstressesincylindricalpolycrystal . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Schemeofpoint-wiseaveragingoverN samplesofpolycrystal . . . 60
4.3 Illustrationofthemappingprocedure . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 ArbitrarypointPwithinlineartetrahedralfiniteelementC3D4 . . 62
4.5 ArbitrarypointPwithinlinearhexahedralfiniteelementC3D8 . . 63
4.6 ArbitrarypointPwithinlinearprismfiniteelementC3D6 . . . . . . 64
5.1 Rectangularplateundercyclicload . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Averagedstressesinrectangularmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Cylindricalbarundertension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Averageddistributionsofstressesincylindricalmodel . . . . . . . . 74
5.5 Averageddistributionofnormalstressesincylindricalbar . . . . . 75
5.6 Cylindricalpolycrystalsunderdifferentstrainrates . . . . . . . . . 76
5.7 Dependenceofaveragedstressesincylinderontheradialcoordinate 77
5.8 Cylindricalpolycrystallinespecimenundertensionandrelaxation 78
5.9 Averagedstressesincylindricalpolycrystalundercyclicload . . . . 80
5.10 Averagedstressesvs. radialcoordinateincylindricalspecimen. . . 81
5.11 Averagestressesvs. radialcoordinateincylindricalspecimen . . . 82
5.12 Cylindricalbarwithcircumferentialnotch . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.13 Notchedcylindricalspecimeninelastictensiletest . . . . . . . . . 84
5.14 Cylindricalpolycrystalwithfinite-thicknessgrainboundaries . . . 87
5.15 Influenceoftheviscosityindisplacement-controlledtest . . . . . . 88
V
5.16 Influenceoftheviscosityincreeptest . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.17 Cylindricalpolycrystalunderdisplacement-controlledtensileload 90
5.18 Cylindricalpolycrystalincreeptestunderdifferentloads . . . . . . 91
5.19 Cylindricalpolycrystalincreeptest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.1 ArbitrarypointwithinlinearhexahedralfiniteelementC3D8. . . . 103
C.1 ArbitrarypointwithinlinearprismfiniteelementC3D6 . . . . . . . 105