Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014-1 Tema 1. Teoría de Sistemas

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Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 1. Teoría de Sistemas

Profesora: Rosa M. Fernández-Cantí
Tema 1. Teoría de Sistemas

Índice

1.  Introducción a la Teoría de Control ....................................................................................................... 4 
2.  Representación de sistemas ..................................................................................................................... 5 
2.1  Lenguajes matemáticos ..................................................................................................................... 5 
2.1.1  Ecuación diferencial (ED) ........................................................................................................ 5 
2.1.2  Ecuaciones de estado (EE) ........................................................................................................ 7 
2.1.3  Función de transferencia (FT) .................................................................................................. 9 
2.2  Lenguajes gráficos ............................................................................................................................ 9 
2.2.1  Esquemas de bloques ................................................................................................................ 9 
2.2.2  Álgebra de bloques ................................................................................................................. 10 
2.2.3  Flujograma de señal ................................................................................................................ 14 
2.2.4  Flujograma de estado .............................................................................................................. 14 
2.2.5  Regla de Mason ...................................................................................................................... 15 
2.3  Analogías ......................................................................................................................................... 17 
2.4  Linealización ................................................................................................................................... 19 
2.5  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 22 
3.  Respuesta temporal ................................................................................................................................ 32 
3.1  Obtención de la respuesta temporal a partir de la ecuación diferencial (método clásico) ............. 32 
3.2  Transformada de Laplace ............................................................................................................... 33 
3.2.1  Definición y propiedades ........................................................................................................ 33 
3.2.2  Teorema del valor inicial (TVI) y teorema del valor final (TVF) ........................................... 35 
3.2.3  Solución de EDOs (lineales y de coeficientes constantes) en el dominio s ............................ 35 
3.2.4  Cálculo de residuos ................................................................................................................. 36 
3.3  Obtención de la respuesta temporal a partir de la función de transferencia .................................. 40 
3.3.1  Diagramas de polos y ceros .................................................................................................... 40 
3.3.2  Modos naturales ...................................................................................................................... 40 
3.3.3  Polos dominantes .................................................................................................................... 42 
3.4  Transitorios. Dinámica de orden 1, 2 y n ....................................................................................... 43 
3.4.1  Dinámica de primer orden ...................................................................................................... 43 
3.4.2  Dinámica de segundo orden .................................................................................................... 44 
3.4.3  Bloque de segundo orden con un polo (o un cero) adicional .................................................. 46 
3.4.4  Sistemas de orden n (I). Con polos dominantes ..................................................................... 47 
3.4.5  Sistemas de orden n (II). Sin polos dominantes: Formas prototipo ...................................... 47 
3.4.6  Sistemas de orden infinito (retardo puro) ............................................................................... 49 
3.5  Simulación de la respuesta temporal .............................................................................................. 50 
3.5.1  Introducción del sistema. Polos, ceros y residuos .................................................................. 50 
3.5.2  Respuesta temporal con Matlab .............................................................................................. 53 
3.5.3  Respuesta temporal con Simulink........................................................................................... 55 
3.6  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 56 
4.  Respuesta frecuencial ............................................................................................................................ 65 
4.1  Régimen permanente ....................................................................................................................... 65 
4.1.1  Bases ....................................................................................................................................... 65 
4.1.2  Sistema resonante de segundo orden ...................................................................................... 67 
4.2  Diagramas de Bode ......................................................................................................................... 69 
4.2.1  Reglas para el trazado de la aproximación asintótica ............................................................. 69 
4.2.2  Curvas de corrección de los diagramas asintóticos ................................................................. 72 
4.3  Simulación de la respuesta frecuencial. Matlab............................................................................. 73 
4.4  Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 74 
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5.  Alfabeto griego ....................................................................................................................................... 87 
6.  Servomotor de corriente continua ........................................................................................................ 88 
6.1  Introducción .................................................................................................................................... 88 
6.2  Descripción de los módulos ............................................................................................................ 88 
6.2.1  Planta ...................................................................................................................................... 89 
6.2.2  Etapa de potencia (alimentación de la planta) ....................................................................... 90 
6.2.3  Sensores .................................................................................................................................. 94 
6.2.4  Módulos para la implementación de compensadores ............................................................. 95 
6.2.5  Módulos auxiliares ................................................................................................................. 96 
6.3  Características del motor MS150 utilizado en las prácticas ........................................................... 97 

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Tema 1. Teoría de Sistemas

1. Introducción a la Teoría de Control

Objetivo del control

La Teoría de Control es una rama de la Teoría de Sistemas que se encarga de analizar y modificar el
comportamiento de los sistemas dinámicos. En la terminología de control, el sistema dinámico bajo
estudio recibe el nombre de “planta”.

La Ingeniería de Control consiste en diseñar e implementar sistemas/subsistemas que, de manera
automática, fuerzan a la planta a tener un comportamiento dinámico adecuado y robusto.

Un comportamiento “adecuado” es, por ejemplo, que la respuesta temporal de la planta “y” siga las
variaciones de una señal de referencia “r” (también llamada consigna o set-point), y  r . Que el
comportamiento sea además “robusto” implica que el seguimiento y  r debe mantenerse a pesar
de los errores en el modelo de la planta (incertidumbre) y la presencia de perturbaciones externas
(ruido).

Los sistemas de control cuyo objetivo es el seguimiento de consignas también reciben el nombre de
“servosistemas” puesto que, en cierto modo, se comportan como siervos (esclavos).

Ámbitos de aplicación del control

Son todos los tecnológicos, incluyendo también los económicos y ecológicos. Por ejemplo:
 Regulación de procesos de producción (fábricas, refinerías, centrales nucleares,...)
 Electrónica y comunicaciones (amplificadores operacionales AOs, lazos de enganche de
fase PLLs, controles automáticos de ganancia AGC,...)
 Ingeniería mecánica (servomecanismos,...)
 Ingeniería de estructuras (control de vibraciones,...)
 Automoción (sistemas de control en vehículos: frenado asistido ABS, servodirección,...)
 Navegación en general (náutica, aeronáutica, astronáutica, diseño de autopilotos,...)
 Cibernética (robótica, bioingeniería,...)
 Economía (control del PIB, relaciones de maximización/minimización de beneficios/costes,
identificación de series temporales para predicción bursátil,...)
 Sistemas ecológicos (establecimiento de paradas biológicas/periodos de veda, control de
fluviales, predicción meteorológica...)
 etc.

Dimensiones del problema de control

La Ingeniería de Control aborda todo tipo de problemas. Atendiendo a las dimensiones de los
problemas, éstos se pueden clasificar en:
 Problemas de pequeña escala: desensibilizar un AO, climatizar una estancia,...
 Problemas de gran escala (large scale systems, LSS): control de lentes en observatorios
astronómicos (Mauna Keck, Canarias), control de compuertas en presas y canales ...
 Problemas muy complejos (very complex systems, VCS): redes de distribución eléctrica,
ferrocarriles, redes de alcantarillado,…

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2. Representación de sistemas

2.1 Lenguajes matemáticos

Vamos a ilustrar la descripción de un mismo sistema dinámico por medio de una ecuación
diferencial ordinaria (EDO), un sistema de ecuaciones de estado (EE) y una función de transferencia
(FT). El sistema escogido es el péndulo simple de la figura.

l
F
b

mg

Fig. 1. Péndulo simple

2.1.1 Ecuación diferencial (ED)

La descripción del comportamiento de sistemas dinámicos por medio de EDOs es resultado directo
de la aplicación de las leyes de la física. En nuestro caso, la dinámica del péndulo viene descrita
por medio de la EDO no lineal de segundo orden,

b g F d
  
  sin , 
ml2 l ml dt
  u

con, por ejemplo, las siguientes condiciones iniciales (CI),


(0) (posición: arriba, pegado al techo),
2

(0)0 (velocidad: parado)

Ejemplo 1. Obtención de la ecuación diferencial ordinaria del péndulo simple. El modelo del
comportamiento dinámico del péndulo simple puede obtenerse de diversas maneras.

Aplicando la segunda ley de Newton.

En movimiento rectilíneo, la segunda ley de Newton establece que la fuerza neta F (N) aplicada
sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración a (m/s2) siendo la constante de
proporcionalidad la masa m (kg). Así, F  ma.

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La versión para movimiento rotacional establece que el par neto T (Nm) aplicado a un cuerpo es
proporcional a su aceleración angular  (rad/s2) siendo la constante de proporcionalidad el momento
de inercia J (Nmrad-1s2). Así, T  J .


Suponer que la bola está subiendo con una aceleración . El balance de las fuerzas que actúan
tangencialmente al movimiento de la bola (par debido a la gravedad, rozamiento y excitación) es:

mgsinl b F l  J

Notar que el par debido al rozamiento y a la gravedad se oponen al par de excitación. El momento
de inercia se calcula como J  m r2. En nuestro caso, J  ml2. Sustituyendo valores se
i i
obtiene:
b g F
 
  sin
ml2 l ml

Aplicando las ecuaciones de Lagrange (opcional).

En sistemas más complicados es más conveniente modelizar el comportamiento dinámico mediante
las ecuaciones de Lagrange. Éstas se basan en el principio de Hamilton que establece que, en un
sistema dinámico, un movimiento entre dos configuraciones del sistema y entre dos intervalos de
tiempo es natural si y solo si la energía del sistema se mantiene constante.

En los sistemas conservativos (no disipativos), la ecuación de Lagrange es

d  L  L
  0
 
dt q q
 
i i

donde L T V es el Lagrangiano (T y V son las energías cinética y potencial respectivamente) y
q son las coordenadas generalizadas (las coordenadas generalizadas, o número de grados de
i
libertad, son el mínimo número de variables independientes que hay que especificar para definir la
posición de un objeto).

En los sistemas más generales (con disipación de energía y excitación externa), la ecuación de
Lagrange es

d  L  L P
   Q
dt q  q q i
 
i i i

donde la función de potencia P describe la disipación de energía del sistema y Q son las fuerzas
i
externas generalizadas que actúan sobre el sistema.

Para obtener la EDO del péndulo simple por Lagrange, el procedimiento es el siguiente. Suponer
que  = 0 es el origen de potencial (posición vertical del péndulo = 0). Si se sube el péndulo a una
1 1
posición vertical de h, la energía cinética es E T  mv2  m(l)2 y la energía potencial
cinet 2 2
1
es E V  mgh  mgl(1cos). La disipación por el rozamiento es P  b2. Y el par de
pot 2
excitación aplicado a sistema es Q  F l.
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Tema 1. Teoría de Sistemas
1
El Lagrangiano es L T V  ml22 mgl(1cos). Las ecuaciones de Lagrange, con un
2
grado de libertad (en nuestro caso ), son:

d L L P
  Q
 
dt   

Lo que da: d 1ml22mglsinb  F l  ml2mglsinb  F l.
 
dt 2 

Si la ED es complicada o presenta un orden elevado se hace difícil trabajar con ella. Por eso, es
conveniente convertirla en un sistema de ecuaciones de estado o en una función de transferencia,
que son descripciones mucho más sencillas de manejar y, como veremos más adelante, nos
permitirán diseñar sistemas de control.

2.1.2 Ecuaciones de estado (EE)

Variables de estado

Las variables de estado se definen como el mínimo conjunto de variables capaces de describir en su
totalidad el comportamiento de un sistema dinámico. Para identificarlas hay varias guías:

 Una variable es variable de estado si necesitamos conocer su valor inicial para caracterizar
la evolución temporal del sistema.

 Si una variable determinada corresponde a un elemento capaz de almacenar energía,
entonces también es una variable de estado. Por ejemplo, en un circuito RLC las variables
de estado son dos: la tensión en el condensador y la corriente en la bobina. Puesto que son
dos, el sistema es de segundo orden.

Ecuaciones de estado

Las ecuaciones de estado (EE) no son otra cosa que ecuaciones diferenciales de primer orden, cada
una correspondiente a una variable de estado.

Conversión de EDO a EE

Para pasar de la siguiente EDO de orden n

 
sinu

a n EDOs de 1er orden, hay que renombrar las variables. Lo habitual es empezar por la variable sin
derivar, que en nuestro caso es . Así, asignamos la primera variable de estado x a , x .
1 1
Notar que x . La segunda variable de estado, x , se escoge como la derivada de la primera,
1 2
x  x , o lo que es lo mismo, x . Notar que dos variables de estado bastan para describir el
2 1 2
comportamiento del péndulo, puesto que el sistema de segundo orden. Notar también que x .
2
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Si el sistema fuera de orden superior, cada nueva variable de estado se escoge como la derivada de
la anterior, es decir, x  x , x  x ,...
3 2 4 3

excitación
x  x
1 2
 
sinu x  sinx x u CI: x (0)  , x (0) 0
2 1 2 1 2 2
 x
1

x x  x x
2 1 2 1

La descripción EE consiste en las dos ecuaciones de estado, más la ecuación de salida ( x ),
1
más el conjunto de condiciones iniciales (CI).

Caso de sistemas lineales. Matrices A, B, C, D.

Si el sistema es lineal (en nuestro caso, podemos suponerlo así para pequeños desplazamientos
alrededor del punto de equilibrio, sinx  x ) se puede utilizar la notación matricial (A, B, C, D)
1 1

x   0 1 x  0
 1  1 u
      
x   x  1
2  2 
x  AxBu A B
x 
y CxDu y 10x10u
 
x(0) C 2 D
/2
x(0) 
 
 0 

Si el sistema es lineal, pero sus parámetros varían con el tiempo, las matrices A, B, C, D serán
funciones del tiempo,
x  A(t)xB(t)u
y C(t)xD(t)u
x(0)

Si el sistema es MIMO (multiple input multiple output), en vez de señales entrada/salida escalares,
u(t), y(t), tendremos vectores u(t), y(t).
x  AxBu
y CxDu
x(0)

Si el sistema no es lineal, las ecuaciones de estado no serán lineales tampoco. Una notación general
para un sistema SISO (single input single output) no lineal es:

x(t)  f (x(t),u(t))
1
y(t)  f (x(t),u(t))
2
x(0)

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2.1.3 Función de transferencia (FT)

La función de transferencia (FT) describe el comportamiento de un sistema SISO y lineal con
condiciones iniciales nulas en el dominio transformado (Laplace o Z). Vamos a ilustrar cómo se
obtiene la FT a partir de la ED del péndulo linealizada.

En primer lugar hay que obtener la ecuación transformada (notar que, al transformar, hay que tener
en cuenta las condiciones iniciales):

 
u
Transformada de Laplace
s2(s)s(0)(0)s(s)(0)(s) U(s)

Se agrupan términos,

s2 s(s)U(s)s(0)(0)

Y se despeja la variable de salida (posición del péndulo, en nuestro caso)

Respuesta Respuesta
Zero state (ZS) Zero input (ZI)
 
1 s 1

(s)  U(s) (0) (0)
s2 s s2 s s2 s

FT (CI=0)

Notar que la función de transferencia es el término que relaciona únicamente entrada (excitación) y
salida (respuesta). Si trabajamos con funciones de transferencia estamos asumiendo que las
condiciones iniciales son nulas ya que no estamos teniendo en cuenta la respuesta zero-input.

2.2 Lenguajes gráficos

2.2.1 Esquemas de bloques

Los esquemas de bloques facilitan la construcción de modelos, su interpretación y reducción.
Representan relaciones algebraicas (es decir, no diferenciales) y, en principio, son válidos para
sistemas lineales (aunque por abuso de notación pueden incluir bloques no lineales, funciones
descriptivas, etc.)

Símbolos

 Las variables se representan por medio de flechas y están en el dominio transformado:
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X(s)

 Los sistemas/subsistemas son cajas que contienen el nombre de la función de transferencia
(también llamada transmitancia). Estos bloques pueden corresponder a sistemas físicos o a
algoritmos. En general son un conjunto de operaciones que transforman la señal:

T(s)

 Las operaciones son sumas y restas, y tomas de información (sin que haya drenaje, es decir,
no se tiene en cuenta la conservación de la energía, sólo se toma información)
X
1
+ X1 X
X + Y 1
2
X
1
X
3

Ejemplo 2. Esquema de bloques de un circuito RC
Considerar el circuito de la figura,
I R
+ +
V1 C V2
_ _

Fig. 2. Circuito RC
V V 1
Puesto que I  1 2 y V  I , el esquema de bloques es el siguiente:
R 2 Cs

V1 + 1 I

R
1
V2
Cs

Fig. 3. Esquema de bloques del circuito RC

Si se desea obtener la función de transferencia en lazo cerrado V (s)/V (s) una opción es usar las
2 1
reglas reducción que nos proporciona el álgebra de bloques (ver Ejemplo 4).

2.2.2 Álgebra de bloques

Reglas de reducción

Primera interconexión: serie (tándem o cascada), T T .
eq i
i
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