Sergio Antonio Wielewski

471 Pages·2008·5.36 MB·Portuguese

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP

Sergio Antonio Wielewski

Pensamento instrumental e
pensamento relacional na
Educação Matemática

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo
2008
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP

Sergio Antonio Wielewski

Pensamento instrumental e
pensamento relacional na
Educação Matemática

Tese apresentada à Banca Examinadora
como exigência parcial para obtenção do
título de Doutor em Educação
Matemática, pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, sob a orientação
do Prof. Dr. Michael Friedrich Otte.

PUC
São Paulo
2008
Banca Examinadora

Prof. Dr. Michael F. Otte - Orientador
Pesquisador UFMT/Universitat der Bielefeld - Alemanha

Profa Dra Sonia Barbosa Camargo Igliori (PUC/SP) –
Co-orientadora

Profa Dra Circe Mary Silva da Silva Dynnikov (UFES)

Profa Dra Maria Cristina S. de A. Maranhão (PUC/SP))

Prof.Dr. Benedito Antonio da Silva (PUC/SP)
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial dessa Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: __________________________ Local e Data: ______________
i

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao professor Orientador Dr. Michael F. Otte, pelos
incontáveis momentos de orientações necessárias ao
desenvolvimento dessa Tese de Doutorado, pela paciência,
disponibilidade e, principalmente, pela oportunidade de
crescimento intelectual e profissional.
Agradeço à professora Co-orientadora Drª Sonia Barbosa Camargo
Igliori, da mesma forma, pelos incontáveis momentos de
orientações, sua experiência profissional, apoio irrestrito e pelas
inúmeras sugestões e orientações no desenvolvimento dessa Tese
de Doutorado. E também pela oportunidade de realizar esse
Doutorado na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
viabilizado pelo Convênio do Programa de Qualificação
Institucional (PQI) da CAPES sob a Coordenação na Instituição
Cooperante da Drª Sonia.
ii

Agradeço aos membros da Banca Examinadora dessa Tese de
Doutorado, que contribuíram de forma muito especial e qualitativa
para o aprimoramento da mesma.
Agradeço à amiga e Profa Dra. Marta M Pontin Darsie, pelo enorme
suporte dado à realização desse Doutorado, enquanto
Coordenadora do Programa PQI na Instituição Cooperada, além do
incentivo permanente, exemplo de garra e principalmente
profissionalismo.
Agradeço a todos os professores da PUC–SP, pelos inúmeros
conhecimentos, experiências e oportunidades de crescimento
intelectual e profissional.
Agradeço às amizades estabelecidas nesse Curso de Doutorado
que foi fundamental como apoio pessoal e intelectual.
Agradeço aos quatorzes Discentes e Professores que participaram
da pesquisa exploratória, pela disponibilidade de tempo, paciência
e grande contribuição, com informações que foram valiosas e muito
interessantes para o desenvolvimento dessa Tese.
Agradeço a minha maravilhosa esposa Neiva, pela compreensão,
paciência pelo suporte emocional, afetivo, a graça de me ter
concedido dois filhos maravilhosos, Sergio e Ítalo, razão para
continuar.
Agradeço a minha irmã Gladys, pelo suporte emocional e técnico,
sobretudo, na organização e formatação final dessa Tese.
Agradeço a meus pais pelo apoio, dedicação e compreensão nos
diversos momentos dessa trajetória, construída no decorrer do
Curso de Doutorado.
Agradeço a todos os professores da UFMT, pelos inúmeros
incentivos, compreensão, apoio moral e suporte profissional.
iii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Esquema construindo e testando de Skemp ...................................... 66
Figura 2: Sistema de relações entre símbolos e conceitos, de Skemp.............. 68
Figura 3: Relação entre a representação visual e representação visual-
114
algébrico de Skemp............................................................................
Figura 4: Esquema de relações entre imaginação mental, sistema simbólico
116
e fórmulas algébricas...........................................................................
Figura 5: Argumento visual dos elementos de Euclides..................................... 116
Figura 6: Esquema da linguagem visual para atividades matemáticas.............. 117
Figura 7: Esquema de um cachorrinho.............................................................. 187
Figura 8: Diagrama da atividade cognitiva humana............................................ 203
Figura 9: Mapa Mundi e os fusos horários.......................................................... 230
Figura 10: Perguntas que só o instrumento não revela....................................... 232
Figura 11: Esqueleto de um Lobo........................................................................ 235
Figura 12: Comparação do esqueleto do lobo com o esqueleto de várias raças
236
Caninas...............................................................................................
Figura 13: Divisão de um cubo em 27 outros menores....................................... 246
Figura 14: Indicação de uma opção de corte de um cubo em 27 outros 247
cubos menores....................................................................................
Figura 15: Resolução Visual do Problema do Cubo........................................... 248
Figura 16: Arranjo para uma e duas mesas........................................................ 251
Figura 17: Generalização geométrica para 10 mesas......................................... 252
Figura 18: Generalizando uma solução aritmética.............................................. 252
Figura 19: Formulação do Problema do Quadrado Mágico de 9 casas.............. 254
Figura 20: Possibilidade de disposição geométrica no quadrado mágico.......... 255
Figura 21: Números eqüidistantes....................................................................... 256
Figura 22: Centros, "meios" e cantos de um quadrado mágico.......................... 257
Figura 23: Montagem da tabela de dupla entrada do contexto de um banhado. 260
Figura 24: Preenchimento das características dos objetos no contexto
261
de um banhado..................................................................................
Figura 25: Exclusão de características extremamente gerais, comuns a
261
praticamente todos os objetos num contexto de um banhado...........
Figura 26: Permutação de linhas na tabela de dupla entrada (matriz) no
262
contexto de um banhado....................................................................
iv

Figura 27: Permutação das colunas da matriz no contexto do banhado........... 263
Figura 28: Preenchimento das característica dos objetos no contexto de um
264
banhado..............................................................................................
Figura 29: Lista das extensões com os respectivos passos............................... 264
Figura 30a: Sequência de procedimentos para montagem de um reticulado.... 265
Figura 30b: Sequência de procedimentos para montagem de um reticulado.... 266
Figura 31: Identificação dos nós do reticulado indicando as relações

entre características (letras) e objetos (números) no contexto
267
de um banhado.................................................................................
Figura 32: Análise da matriz ordenada no contexto de um banhado................ 268
Figura 33: Substituição das letras e números pelos respectivos nomes dos
269
objetos e das características no contexto de um banhado................
Figura 34: Visualização dos reinos no contexto de um banhado........................ 270
Figura 35: Visualização dos estilos de ambiente de um banhado...................... 271
Figura 36: Esquema gráfico de uma pista de Fórmula 1.................................... 275
Figura 37: Estilos de atividades com gráficos elaborados a partir da pista
276
de Fórmula 1....................................................................................
Figura 38: Gráfico de deslocamento X aceleração constante............................ 279
Figura 39: Gráfico de movimento constantemente acelerado............................ 280
Figura 40: Gráfico de relação entre velocidade e distância................................ 281
Figura 41: Atividades para traçar o percurso da pistas....................................... 283
Figura 42: Atividade para identificar uma pista de corrida específica................ 283
Figura 43: Atividade envolvendo gráficos relacionais......................................... 284
Figura 44: Representação da soma dos n primeiros números inteiros positivo 286
Figura 45: Soma dos n quadrados perfeitos....................................................... 286
Figura 46: Montagem do cubo............................................................................ 287
Figura 47:Soma de quadrados:
3(1² + 2² + 3² + ... + n²) = (2n+1)(1 + 2 + 3 +...+n)............................. 288
Figura 48: Comparação da espécie de urso com seu habitat............................. 289
Figura 49: Representação dos aneis no Globo terrestre..................................... 290
Figura 50: Gráfico da velocidade de um carro num circuito de corrida.............. 328
Figura 51: Atividade de Comparação entre o gráfico e diversos circuitos.......... 340
Figura 52: Atividade apresentando gráficos com diferentes níveis de
348
informações ........................................................................................
Figura 53: Representação geométrica e representação algébrica do Teorema
352
de Pitágoras.......................................................................................
v

Figura 54: Relação escada na seqüência de números naturais......................... 363
Figura 55: Comparação de áreas equivalentes.................................................. 365
Figura 56: Comparação de identidades algébricas com representações
367
Geométricas ......................................................................................
Figura 57: Anéis no planeta Terra...................................................................... 377

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Tabela de situações aritméticas......................................................... 252
Tabela 2: Tabela de generalização algébrica .................................................... 253
Tabela 3: Participantes Pesquisados e suas origens......................................... 299
Tabela 4: Perfil pessoal/profissional dos pesquisados....................................... 306
Tabela 5: Síntese das resoluções da atividade 3-A apresentadas pelos
323
participantes pesquisados...................................................................
Tabela 6: Cotação das alternativas da atividade 3-B.......................................... 342
Tabela 7: Síntese do item 1 da atividade 1-C dos participantes pesquisados... 354
Tabela 8: Síntese do item 2 da atividade 1-C dos participantes pesquisados.... 357
Tabela 9: Síntese do item 3 da atividade 1-C dos participantes pesquisados.... 359

LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Esquema da seqüência da aplicação da Pesquisa Exploratória........ 301
Quadro 2: Resolução da atividade 1-A pelos participantes................................. 310
Quadro 3: Processos de cálculos utilizados pelos participantes pesquisados.... 311
Quadro 4: Resolução da atividade 2-A pelos participantes pesquisados............ 314
Quadro 5: Resolução da atividade 2-A pelos participantes pesquisados (cont.). 315
Quadro 6: Síntese dos resultados de alguns itens da atividade 2-A .................. 319
Quadro 7: Resolução da atividade 3-A pelos participantes pesquisados............ 322
Quadro 8: Resolução da atividade 4-A pelos participantes
pesquisados...................................................................................... 324
Quadro 9: Resolução da atividade 1-B-item 1 pelos participantes pesquisados. 329
Quadro 10: Resolução da atividade 1-B-item 2 pelos participantes
pesquisados...................................................................................... 330
vi

Quadro 11: Resolução da atividade 1-B-item 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 331
Quadro 12: Resolução da atividade 1-B-item 4 pelos participantes
pesquisados...................................................................................... 332
Quadro 13: Resolução da atividade 1-B-itens 5 e 6, pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 333
Quadro 14: Resolução da atividade 1-B-itens 7 e 8 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 333
Quadro 15A: Resolução da atividade 2-B-itens 1, 2 e 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 335
Quadro 15B: Resolução da atividade 2-B-itens 1, 2 e 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 336
Quadro 15C: Resolução da atividade 2-B-itens 1, 2 e 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 337
Quadro 15D: Resolução da atividade 2-B-itens 1, 2 e 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 338
Quadro 16: Resolução da atividade 3-B pelos participantes da pesquisa........... 341
Quadro 17: Resolução da atividade 4-B-item 1 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 344
Quadro 18: Resolução da atividade 4-B-item 2 pelos participantes
pesquisados ...................................................................................... 346
Quadro 19: Resolução da atividade 4-B-item 3 pelos participantes
pesquisados ...................................................................................... 347
Quadro 20: Resolução da atividade 5-B-item 1 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 349
Quadro 21: Resolução da atividade 5-B, item 2, pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 350
Quadro 22: Resolução da atividade 1-C-item 1, pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 353
Quadro 23: Resolução da atividade 1-C-item 2 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 356
Quadro 24: Correspondência entre as representações geométricas A e B e
algébricas Z e X ................................................................................ 358
Quadro 25: Resolução da atividade 1-C com o item 3 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 358
Quadro 26: Resolução da atividade 1-C-item 4 pelos participantes
pesquisados....................................................................................... 360
Quadro 27: Resolução da atividade 1-D pelos participantes pesquisados ......... 364
Quadro 28: Resolução da atividade 2-D pelos participantes pesquisados ......... 366
Quadro 29: Resolução da atividade 3-D pelos participantes pesquisados.......... 368
Quadro 30: Descrição da espécie de Urso com seu habitat............................... 373
Quadro 31A: Resolução da atividade 1-E item 1 pelos participantes
pesquisados..................................................................................... 374
Quadro 31B: Resolução da atividade 1-E item 1 pelos participantes
pesquisados..................................................................................... 375
Quadro 32A: Resolução da atividade 2-E pelos participantes pesquisados........ 378
Quadro 32B: Resolução da atividade 2-E pelos participantes pesquisados........ 379
Quadro 32C: Resolução da atividade 2-E pelos participantes pesquisados ...... 380