Sensitivitätsanalyse stabiler Gleichgewichtslagen dünnwandiger Strukturen unter Verwendung von Lösungsverfahren für Parallelrechner

215 Pages·2000·9.438 MB·German

by  Rottner T.

Sensitivitätsanalyse stabiler Gleichgewichtslagen
dünnwandiger Strukturen unter Verwendung
von Lösungsverfahren für Parallelrechner
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTOR-INGENIEURS
von der Fakultät für
Bauingenieur- und Vermessungswesen
der Universität Fridericiana zu Karlsruhe (TH)
genehmigte
DISSERTATION
von
Dipl.-Ing. Thomas Rottner
aus Karlsruhe
Tag der mündlichen Prüfung : 3. Mai 2000
Hauptreferent : Prof. Dr.-Ing. K. Schweizerhof
Korreferent : Prof. Dr. G. Alefeld
Korreferent : Prof. Dr.-Ing. P. Vielsack
Karlsruhe 2000

Kurzfassung
UmdieStabilitätvonGleichgewichtslagendünnwandiger,unddamitbeulgefährdeterStruk-
turen quantitativ zu beurteilen, wird in der vorliegenden Arbeit der Begriff der Sensitivi-
tät eingeführt. Sie wird definiert als der reziproke Wert der kinetischen Energie, die ei-
nemSystemmindestenseingeprägtwerdenmuß,umausgehendvoneinerstabilenGleich-
gewichtslage eine weitere stabile Gleichgewichtslage oder unbegrenzt anwachsende Ver-
schiebungenzuerreichen.FürkonkretenumerischeUntersuchungendientdieMethodeder
FinitenElementealsSimulationsinstrument.
Die Untersuchung von Stabilitätsproblemen unter Einsatz der Finiten Elemente Metho-
de erfolgt meist mittels der statischen Verfolgung des Last-Verformungspfades. Konver-
genzproblemedeszurLösungdernichtlinearenProblemeüblicherweisegenutztenNewton
Verfahrens und die zum Teil notwendige manuelle Steuerung des Bogenlängenverfahrens
gestalten die Lösung insbesondere für Systeme mit vielen Freiheitsgraden sehr aufwen-
dig.EventuellvorhandeneverzweigendeLösungsästemüssenebenfallsberechnetwerden.
Dennoch ist nicht gewährleistet,daß eine minimaleTraglast des untersuchtenSystems im
Nachbeulbereichgefundenwird,wieamBeispieleinesaxialbelastetenStahlzylindersbe-
legt wird. Transiente Berechnungen stellen hier eine attraktiveAlternativedar. Hiermit ist
die Berechnung des Beulverhaltens bis in den Nachbeulbereich mit moderatem Aufwand
möglich.DieBestimmungderSensitivitätderGleichgewichtslagenimVorbeulbereichbe-
stätigt die durch die transiente Simulation erhaltene Nachbeullast der Struktur als zur Be-
messungwesentlicheTraglast.
Die Vielzahl der zur SensitivitätsanalysenotwendigennichtlinearenFinite ElementSimu-
lationen erfordert den Einsatz optimierter Algorithmen und moderner Rechnerarchitek-
turen, um die Rechenzeit zu minimieren. Dieses gilt insbesondere für den Algorithmus
zum Auflösen der entstehenden linearen Gleichungssysteme. Oft werden hierzu direkte
Lösungsverfahren eingesetzt, da sie sich insbesondere bei Versagensproblemen als robust
erwiesenhaben.NumerischeVergleichevoneffizientendirektenLösernmititerativenKry-
lovUnterraumverfahrenhabenjedochergeben,daßauchiterativeLöserfürsolcheschlecht
konditioniertenProblemerobustundeffizient einsetzbar sind.ZurKonvergenzbeschleuni-
gungwerdendabeialgebraische,alsoaufderKoeffizientenmatrixbasierendeVorkonditio-
nierereingesetzt.DerEinsatzdieserLöseristsomitfüralleProblemklassenbzw.Element-
typengewährleistet.
DieRobustheitundEffizienzderiterativenLösungsverfahrenerlaubtdieImplementierung
von Finite Element Programmen auf Parallelrechnern unter ausschließlicher Verwendung
dieser Löser. Iterative Gleichungslösersind für parallele Rechnerarchitekturen relativ ein-
fachzuimplementierenundzeichnensichdurcheine guteSkalierbarkeitaus.Anhandvon
BeispielenmitlinearemundnichtlinearemVerhaltenwirddiesbelegt.
Die durchgeführte Parallelisierung des Finiten Elemente Programmes basiert auf einem
geometrischen Ansatz, d.h. das Finite Elemente Netz wird in möglichst gleich große Ge-
biete zerlegt und auf die einzelnen Prozessoren verteilt. Die Gebietszerlegung ist statisch,
d.h. es findet während einer nichtlinearen Berechnung keine Umverteilung statt. Letzte-
res ist erst bei hier nicht berücksichtigten adaptiven Methoden erforderlich, da dann die
Rechenlast auf den verschiedenen Prozessoren sehr ungleichmäßig werden kann. Großen
Wert wurdeauf diebreiteAnwendbarkeitdesparallelisiertenProgrammesgelegt.So wer-
denkeinerleiEinschränkungenbezüglichderElementtypengemachtundsowohlstatische
als auch dynamische nichtlineare Lösungsverfahren implementiert. Der Übertragbarkeit
des parallelisierten Programmes auf unterschiedliche Rechnerarchitekturen ist durch den
EinsatzderstandardisiertenKommunikationsbibliothekMPIRechnunggetragen.
Abstract
To quantitatively judge the stability of equilibrium states of thin-walled structures, which
arepronetobuckle,thetermofsensitivityisintroducedinthepresentthesis.Itisdefinedas
thereciprocalvalueofthekineticenergythatisnecessarytobeintroducedintoamechani-
calsysteminordertoreacheitherasecondstableequilibriumstateortoachieveunlimited
growth of displacements. For numerical investigations, the method of finite elements is
used.
The investigation of stability problems using the finite element method usually is tackled
bycomputingthestaticload-deflectionbehavior.However,convergenceproblemsofNew-
ton’smethodandthepartiallynecessarymanualcontrolofthearc-lengthmethodmakethis
solution strategy unfavorable, especially for systems involving many unknowns. Possible
branchingsolutionpatheshavetobecalculatedaswell.Nevertheless,itisnotensured,that
the minimal post-buckling load of the investigated structure is found, as is shown for the
special structure of an axially loaded steel cylinder. Here, transient computations are an
attractive alternative. Then, the calculation of the buckling behavior is possible with only
moderate effort. The estimationof the sensitivityof equilibriumstates in the pre-buckling
regime confirms the post-buckling load of the transient simulationas an important design
load.
The large number of nonlinearfinite element simulationsthat isnecessary to calculate the
sensitivity requires the use of efficient algorithms and modern hardware architectures to
minimizethe computingtime.Thisisespecially true for thealgorithmtosolvethe arising
systems of linear equations. Here, often direct solvers are used, as they are known to be
robust for collapse problems. However, comparisons with iterative Krylov subspace me-
thodshaveshown,thatiterativemethodsalsoarerobustandefficientforbadlyconditioned
systems from structural mechanics. To improve the convergence behavior, algebraic pre-
conditionersbased on the coefficient matrixare used. Therefore, the use of these methods
ispossibleforalltypesofproblems,regardless,whatkindofelementisused.
The robustness and efficiency of iterative solution methods allows the parallel implemen-
tation of finite element programs with the restriction to these solution methods. Iterative
solvers are relatively easy to implement for parallel strategies and scale very well. This is
shownwithsomelinearandnonlinear examples.
The parallelization of the finite element code performed is based on a geometrical ap-
proach, e.g. the finite element mesh is partitioned in preferably equally sized parts and
distributed to the different processors. The partitioning is static, no redistribution is per-
formed within a nonlinear computation. This is sufficient, until no adaptive strategies are
used,astheloadcanthenbequiteunbalanced.Muchcarehasbeentakentoensurea wide
applicationrangeoftheparallelprogram.Therefore,norestrictionstothetypeofelements
aremade,andsolutionproceduresforstaticandtransientnonlinearproblemsareavailable.
Theportabilityoftheprogramisensuredbytheuseofthestandardcommunicationlibrary
MPI.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Ange-
stellter am Institut für Mechanik der Universität Karlsruhe. Wesentliche Teile wurden im
Rahmen des vom BMBF geförderten Verbundprojektes VERSA “Verbesserung und Be-
schleunigungvonVersagensanalyseninder Strukturmechanik”erarbeitet.
Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Schweizerhof danke ich für die Anregung zu dieser Arbeit und
die Übernahme des Hauptreferates. Seine engagierte und kompetente wissenschaftliche
Betreuung hatdieseArbeitmitgeprägt.
Für diesorgfältigeDurchsichtder Arbeit,dieÜbernahmedesKorreferates unddiebeglei-
tende Betreuung bei dem Verbundprojekt VERSA bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr.
G.Alefeld.
In besonderem Maße möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. P. Vielsack für seine –
über die Mechanik hinausreichenden – Ratschläge und Hinweise bedanken. Durch seine
stete Diskussionsbereitschaft und konstruktive Kritik wird der wissenschaftliche Dialog
amInstitutimmensbelebt.
Schließlich danke ich allen Kollegen des Instituts für das konstruktive Arbeitsklima und
für zahllose offene Diskussionen. Besonders hervorheben möchte ich hierbei die Herren
Ralf Hauptmannund Stefan Doll, deren stete Hilfsbereitschaft und Unterstützung in allen
Situationenfür micheine große Hilfewar.GleichermaßendankeichFrau IngridLenhardt
vom Institut für Angewandte Mathematik für die vertrauensvolle und angenehme, auch
überdasProjektVERSA hinausreichendeZusammenarbeit.
Karlsruhe,Mai2000
ThomasRottner
Inhaltsverzeichnis i
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Zur numerischen Lösung strukturmechanischer Probleme 4
2.1 GrundgleichungenderKontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1 KinematikundVerzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3 SpannungsmaßeundStoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.4 DasPrinzipdervirtuellenVerschiebungen . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.5 LinearisierungdesPrinzipsdervirtuellenVerschiebungen . . . .
10
2.2 FiniteElementDiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.1 DasisoparametrischeKonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.2 Diediskreteschwache Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1 DasNewton-RaphsonVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.2 DasBogenlängenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.3 DasNewmarkVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3 WahlvonBenchmark Problemen 20
3.1 Zahnkrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2 FlacheZylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3 DünnwandigerTorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.4 Rohrkreuz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.5 Gummiblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4 Direkte und iterativeVerfahren 30
4.1 DirekteGleichungslösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.1.1 EinigeBegriffeausderGraphentheorie . . . . . . . . . . . . . .
33
4.1.2 PermutationsstrategienundsymbolischeFaktorisierung . . . . . .
33
4.1.3 NumerischeFaktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
ii Inhaltsverzeichnis
4.1.4 Rückwärts- undVorwärtselimination . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2 IterativeGleichungslösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2.1 DasVerfahren derkonjugiertenGradienten . . . . . . . . . . . .
37
4.2.2 Vorkonditionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.2.2.1 Jacobi-Vorkonditionierung . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2.2.2 SSOR-Vorkonditionierung. . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2.2.3 Unvollständige -Zerlegungen . . . . . . . . . .
T
LDL 43
4.2.2.4 Unvollständige -ZerlegungaufdemSpeicherplatz
T
von (MPILUL) D. .L. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A 43
4.2.2.5 Blockweise unvollständige -Zerlegung . . . . .
T
LDL 44
4.2.2.6 Unvollständige -Zerlegungmitfill-inersterStufe
T
(FLILU) . . . L. D. .L. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2.2.7 Unvollständige -Zerlegung mit numerical drop-
T
ping(NDILU) L. D. .L. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.2.2.8 Element-by-Element(EBE)Vorkonditionierung . . . .
46
4.2.3 DasLanczosVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.2.4 DasQMR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2.5 Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.3 VergleichsberechnungenfürlineareProbleme . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3.1 NumerischerVergleichdirekterLösungsstrategien . . . . . . . .
55
4.3.2 Permutationsstrategien zur Verbesserung der Qualität von unvoll-
ständigenFaktorisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.3.3 CG-Verfahren mitblockweiserunvollständiger -Zerlegung
T
LDL 60
4.3.4 VergleichzwischendirektenunditerativenVerfahren . . . . . . .
61
4.4 VergleichsuntersuchungennichtlinearerProbleme . . . . . . . . . . . . .
64
4.4.1 VorkonditionierungsstrategienbeinichtlinearenBerechnungen . .
65
4.4.2 AbbruchkriteriumbeinichtlinearenBerechnungen . . . . . . . .
66
4.4.3 VergleichzwischeniterativenunddirektenVerfahren . . . . . . .
67
4.5 Richtlinienzur WahleinesLösers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5 Parallelverarbeitung 71
Inhaltsverzeichnis iii
5.1 KlassifikationvonParallelrechnern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2 Programmiermodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.3 MessagePassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.4 Netzwerktopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.4.1 VollständigesNetzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.4.2 Ringtopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.4.3 Gitter-bzw.Torustopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.4.4 MehrstufigeCrossbarSwitches. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.5 Speedup,Effizienz,Amdahl’sGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.6 ParallelisierungeinesFinite ElementProgrammes . . . . . . . . . . . . .
79
5.6.1 Gebietszerlegungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.6.2 VomFE-NetzzumGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.6.3 GeometrischbasierteHeuristikenzurPartitionierung . . . . . . .
82
5.6.4 GraphenorientierteHeuristikenzurPartitionierung . . . . . . . .
83
5.7 Datenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.7.1 VektorenmitlokalenundglobalenEinträgen . . . . . . . . . . .
87
5.7.2 Last-bzw.Verschiebungsvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.8 IterativeGleichungslösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.8.1 Vektor-Aufdatierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.8.2 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.8.3 Matrix-VektorMultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.8.4 LösendesVorkonditionierungssystems . . . . . . . . . . . . . .
90
5.9 WeitereAspektederParallelisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.9.1 DetailszurGlobalisierungderlokalenSteifigkeitsmatrizen . . . .
91
5.9.2 StatischenichtlineareFinite ElementBerechnungen . . . . . . .
93
5.10 ParalleleVergleichsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.10.1 LinearesProblem:Zahnkrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.10.2 NichtlinearesProblem:Rohrkreuz . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.11 WertungderResultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
iv Inhaltsverzeichnis
6 Einigenumerische Aspekte 98
6.1 ÜberdieKondensationvonEAS-Parametern . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.1.1 KondensationinnererEAS-Parameter . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.1.1.1 AlgorithmusEAS-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
6.1.1.2 AlgorithmusEAS-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
6.1.2 Vergleichder AlgorithmenEAS-1undEAS-2 . . . . . . . . . . .
100
6.1.2.1 Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
6.1.2.2 VergleichmitdemANS3DqElement . . . . . . . . . .
104
6.1.3 ZusammenfassungundDiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
6.2 VerteilteBerechnungdesSkalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
7 Stabilitätsuntersuchungen mitFiniten Elementen 107
7.1 StabilitätsbegriffnachLjapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
7.1.1 1.MethodenachLjapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
7.1.2 2.oderdirekteMethodenachLjapunov . . . . . . . . . . . . . .
108
7.1.3 Sonderfall:Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
7.2 BehandlungvonStabilitätsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
7.2.1 Trägheitder tangentiellenSteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . .
110
7.2.2 Determinantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
7.2.3 SteifigkeitswertnachBergan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
7.2.4 Eigenwertanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
7.3 PrognosevonsingulärenPunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
7.3.1 Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
7.3.2 Lineare Eigenwertuntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
7.3.3 DirekteBerechnungvonStabilitätspunkten . . . . . . . . . . . .
115
7.3.4 KlassifizierungvonsingulärenPunkten . . . . . . . . . . . . . .
116
7.3.5 BehandlungvonVerzweigungsproblemen . . . . . . . . . . . . .
117
7.3.6 Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
7.3.7 ZwischenbilanzzustatischenStabilitätsanalysen . . . . . . . . .
121
7.3.8 Perfekte undimperfekteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
122