Sayısal Analiz

15 Pages·2014·1.26 MB·Turkish

14. HAFTA

BLM323

S AYISAL ANALİZ

Okt. Yasin ORTAKCI

y [email protected]

KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 2
Sayısal Analiz

SAYISAL TÜREV
Türevin tanımı:

𝑑 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 )
𝑓′ 𝑥 = = lim 2 1
𝑑𝑥 (𝑥2−𝑥1)→0 𝑥2 −𝑥1
Bir fonksiyonun Taylor serisine açılımından faydalanılarak aşağıdaki bağıntı
yazılabilir.
𝑓′′ 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝑕+ 𝑖 𝑕2 + … 𝑕 = 𝑥 −𝑥
𝑖+1 𝑖 𝑖 2 𝑖+1 𝑖
Buradan 𝑓′𝑓′ 𝑥 çekildiğinde;
𝑖
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓′′ 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖 − 𝑖 𝑕+𝑂(𝑕2)
𝑖 𝑕 2
elde edilir.
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖 +𝑂(𝑕)
𝑖 𝑕
şeklinde yazılabilir veya
𝑓 𝑥 − 2𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 +𝑂(𝑕)
𝑖 𝑕2
yukarıdaki ikinci türev formülü kullanılarak 𝑓′ 𝑥 ifadesi aşağıdaki formüle
𝑖
dönüşebilir:
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 3
Sayısal Analiz

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 − 2𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖 − 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 𝑕+𝑂(𝑕2)
𝑖 𝑕 2𝑕2
− 𝑓 𝑥 +4 𝑓 𝑥 −3 𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 +𝑂(𝑕2)
𝑖 2𝑕

İleri Farklar Metodu İle Türevler
Birinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕
veya
−𝑓 𝑥 +4 𝑓 𝑥 −3 𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 2𝑕

formülleri ile bulunabilir.

İkinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −2𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕2
veya
−𝑓 𝑥 +4 𝑓 𝑥 −5 𝑓 𝑥 +2 𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕2

formülleri ile bulunabilir.

Üçüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −3𝑓 𝑥 +3𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕3
veya
−3𝑓 𝑥 +14 𝑓 𝑥 −24 𝑓 𝑥 +18 𝑓 𝑥 −5𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖+4 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 2𝑕3

formülleri ile bulunabilir.

Dördüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥 +6 𝑓 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖+4 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕4
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 4
Sayısal Analiz

veya
−2𝑓 𝑥 +11𝑓 𝑥 −24 𝑓 𝑥 −26 𝑓 𝑥 −14 𝑓 𝑥 +3 𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖+5 𝑖+4 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖
𝑖 𝑕4

formülleri ile bulunabilir.
Geri Farklar Metodu İle Türevler
Birinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1
𝑖 𝑕
veya
3 𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 2𝑕

formülleri ile bulunabilir.

İkinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −2𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 𝑕2
veya
2 𝑓 𝑥 −5 𝑓 𝑥 +4 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3
𝑖 𝑕2

formülleri ile bulunabilir.

Üçüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −3𝑓 𝑥 +3𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3
𝑖 𝑕3
veya
5𝑓 𝑥 −18 𝑓 𝑥 +24 𝑓 𝑥 −14 𝑓 𝑥 +3𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3 𝑖−4
𝑖 2𝑕3

formülleri ile bulunabilir.

Dördüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥 +6 𝑓 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3 𝑖−4
𝑖 𝑕4

veya
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 5
Sayısal Analiz

3𝑓 𝑥 −14 𝑓 𝑥 +26 𝑓 𝑥 −24 𝑓 𝑥 + 11 𝑓 𝑥 −2 𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3 𝑖−4 𝑖−5
𝑖 𝑕4

formülleri ile bulunabilir.
Merkezi Farklar Metodu İle Türevler
Birinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖−1
𝑖 2𝑕
veya
− 𝑓 𝑥 +8 𝑓 𝑥 +8 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 12𝑕

formülleri ile bulunabilir.

İkinci mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −2𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖+1 𝑖 𝑖−1
𝑖 𝑕2
veya
− 𝑓 𝑥 +16 𝑓 𝑥 −30 𝑓 𝑥 +16 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 12𝑕2

formülleri ile bulunabilir.

Üçüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −2 𝑓 𝑥 +2 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 2𝑕3
veya
𝑓 𝑥 +8 𝑓 𝑥 −13 𝑓 𝑥 +13 𝑓 𝑥 −8 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3
𝑖 8𝑕3

formülleri ile bulunabilir.

Dördüncü mertebeden türev;

𝑓 𝑥 −4 𝑓 𝑥 +6 𝑓 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 𝑖−1 𝑖−2
𝑖 𝑕4
veya

−𝑓 𝑥 +12 𝑓 𝑥 −39 𝑓 𝑥 +56 𝑓 𝑥 −39 𝑓 𝑥 +12 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥
𝑓(4) 𝑥 = 𝑖+3 𝑖+2 𝑖+1 𝑖 𝑖−1 𝑖−2 𝑖−3
𝑖 6𝑕4
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 6
Sayısal Analiz

formülleri ile bulunabilir.

Örnek: 𝑓 𝑥 = ln𝑥 𝑓′ 5 =? 𝑓′′ 5 =? 𝑓′′′ 5 =? Bu değerleri ileri
farklar türevi ile bulunuz.

Analitik Çözüm:

1
𝑓′ 𝑥 = 𝑣𝑒 𝑓′ 5 = 0,2
𝑥
1
𝑓′′ 𝑥 = − 𝑣𝑒 𝑓′′ 5 = −0,04
𝑥2
2
𝑓′′′ 𝑥 = 𝑣𝑒 𝑓′′′ 5 = 0,016
𝑥3

Sayısal Çözüm:

𝑕 = 0.01 alalım. 𝑥 −𝑥 = 𝑕 olmak üzere;
𝑖+1 𝑖

𝑥 = 5 ise 𝑥 = 5.01, 𝑥 = 5.02, 𝑥 = 5.03 olur.
0 1 2 3

ln 5+0,01 −ln(5)
𝑓′ 𝑥 = = 0,199800266 ≅ 0,2
5,01−5

ln 5,02 −2ln 5,01 +ln(5)
𝑓′′ 𝑥 = = −0,0398405 ≅ −0,04
0,012

ln(5,03)−3ln(5,02)+3ln(5,01)− ln(5)
𝑓′′′ 𝑥 = = 0,0158569 ≅ 0,016
𝑖 0,013

KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 7
Sayısal Analiz

SAYISAL İNTEGRAL

𝑏
𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑
𝑥
𝑎

1. Trapozoid (Yamuk) Kuralı

𝑏 (𝑓 𝑎 +𝑓 𝑏 )
𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑 ≅ ×(𝑏−𝑎)
𝑥 2
𝑎

𝑓 𝑎 :𝑦𝑎𝑚𝑢ğ𝑢𝑛 𝑡𝑎𝑣𝑎𝑛 𝑢𝑧𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢
𝑓 𝑏 :𝑦𝑎𝑚𝑢ğ𝑢𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑧𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢
𝑕 = 𝑏−𝑎 :𝑦𝑎𝑚𝑢ğ𝑢𝑛 𝑦ü𝑘𝑠𝑒𝑘𝑙𝑖ğ𝑖

İntegral bölgesinin n eşit parçaya bölünerek yamuk kuralını uygularsak;

𝑏
𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑 ≅ I +I +I +⋯.+I
𝑥 1 2 3 n
𝑎
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 8
Sayısal Analiz

𝑏 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛
𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 +⋯..+ 𝑓 𝑥
𝑥
𝑎 𝑥0 𝑥1 𝑥𝑛−1

𝐼 ≅ 𝐼 + 𝐼 + 𝐼 + ⋯.+𝐼
1 2 3 𝑛

(𝑏−𝑎)
𝑕 = 𝑥 −𝑥 = olmak üzere
𝑖+1 𝑖
𝑛

𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
0 1 1 2 2 3 𝑛−1 𝑛
𝐼 ≅ 𝑕 +𝑕 +𝑕 + …+𝑕
2 2 2 2

𝑕
𝐼 ≅ 𝑓 𝑥 +2 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 +⋯+𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
2 0 1 2 𝑛−1 𝑛

𝑛−1
𝑕
𝐼 ≅ 𝑓 𝑥 +2 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 )
2 0 𝑖 𝑛
𝑖=1

Örnek: 𝑓 𝑥 = 0,2+25𝑥 −200𝑥2 +675𝑥3 −900 𝑥4 + 400 𝑥5 denklemi için;
0,8
𝐼 = 𝑓(𝑥)𝑑
𝑥
0
değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334 olarak bulunur.
𝑎 = 0 ve 𝑏 = 0.8 olarak alınırsa;
𝑛 = 8 için;
𝑏 −𝑎 0.8−0
𝑕 = = = 0.1
𝑛 8
olarak bulunur.
𝑥 = 0, 𝑥 = 0.1, 𝑥 = 0.2, 𝑥 = 0.3, 𝑥 = 0.4, 𝑥 = 0.5, 𝑥 = 0.6,
0 1 2 3 4 5 6
𝑥 = 0.7, 𝑥 = 0.8
7 8
olur.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 9
Sayısal Analiz

𝑛−1
𝑕
𝐼 ≅ 𝑓 𝑥 +2 𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥
2 0 𝑖 𝑛
𝑖=1

0.1
𝐼 ≅ 𝑓 0 +2 𝑓 0.1 +𝑓 0.2 +𝑓 0.3 +𝑓 0.4 +𝑓 0.5 +𝑓 0.6 +𝑓(0.7) +𝑓 0.8
2

𝑓 0 = 0.2, 𝑓 0.1 = 1.289, 𝑓 0.2 = 1.288, 𝑓 0.3 = 1.607,
𝑓 0.4 = 2.456, 𝑓 0.5 = 3.325, 𝑓 0.6 = 3.464,
𝑓 0.7 = 2.363, 𝑓 0.8 = 2.232 olarak bulunmuştur. Buna göre;

𝐼 ≅ 1.6008 bulunur.
𝜀 = 1,64053334−1.6008 = 0.03973334
𝑚
Algoritması
𝑰𝑵𝑷𝑼𝑻 𝑒𝑛𝑑𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑎,𝑏; 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑛;
𝑶𝑼𝑻𝑷𝑼𝑻 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡𝑜 𝐼.
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟏 𝑕 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟐 ∶ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑏)
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟑 𝐹𝑜𝑟 𝑖 = 1,...,𝑛 − 1 𝑑𝑜 𝑆𝑡𝑒𝑝𝑠 4 𝑎𝑛𝑑 5.
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟒 𝑆𝑒𝑡 𝑥 = 𝑎 + 𝑖𝑕
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟓 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 + 2∗ 𝑓(𝑥)
𝑕
𝑺𝒕𝒆𝒑 𝟔 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
2

KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 10
Sayısal Analiz

2. Simpson (1/3) Kuralı

KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi