Table Of ContentTeroHarju(2008,2010,2012)
Ryhmien operointi ja Sylowin lauseet
Cayleyn lauseen yleistys
Olkoon S joukon X symmetriaryhmä eli kaikkien permutaatioiden X → X muo-
X
dostamaryhmä.RyhmänS aliryhmätovatpermutaatioryhmiä.
X
Lause1.1(Cayley). JokainenryhmäonisomorfinenjonkunpermutaatioryhmänG ≤ S
X
kanssa.
Itseasiassa,edelläX = G,jaisomorfismiong (cid:55)→ τ ,missäkaikillax ∈ G:
g
τ (x) = gx.
g
SeuraavatulosonCayleynlauseenyleistys.
Lause1.2. OlkoonH ≤ G,jolleindeksi[G : H] = nonäärellinen.Tällöinonhomo-
morfismiϕ: G → S ,jolleKer(ϕ)onsuurinnormaalialiryhmäniin,ettäKer(ϕ) ≤ H.
n
Todistus. Harjoitus. (cid:116)(cid:117)
Lauseen1.1todistusäärellisilleryhmille. Oletetaan, että |G| < ∞, ja valitaan vali-
taanH = {1}.TällöinsaadaanCayleynalkuperäinentulos. (cid:116)(cid:117)
Seuraus1.1. Jos G on yksinkertainen ryhmä, ja H ≤ G siten, että [G : H] = n, niin
onolemassaupotusϕ: G → S .
n
Todistus. Lauseen 1.2 mukaan on olemassa homomorfismi ϕ: G → S , ja koskapa
n
Ker(ϕ) = {1}normaalinaaliryhmänä,onϕupotus. (cid:116)(cid:117)
Esimerkki1.1.Tiedetään, että alternoiva ryhmä G = A on yksinkertainen. Cayleyn
5
lauseen mukaan A uppoaa symmetriseen ryhmään S , sillä nyt |A | = 60. Toisaalta
5 60 5
A ≤ G, missä |A | = 12, joten [A : A ] = 5, ja niinpä seurauksen 1.1 mukaan A
4 4 5 4 5
uppoaasymmetriseenryhmäänS (mikäeioleyllätys).
5
Tästäsaadaanhetiseuraavatulos.
Seuraus1.2. Jos G on ääretön yksinkertainen ryhmä, niin ei ole aliryhmää H ≤ G,
jolle[G : H] < ∞.
2
Permutaatioiden yleistys: Ryhmien operointi
Ryhmä G operoi joukossa X, jos on kuvaus g (cid:55)→ α , joka kiinnittää jokaiseen g ∈ G
g
funktionα : X → X,jolle
g
(i) α α = α kaikilleg,h ∈ G,ja
g h gh
(ii) α = idonidentiteettifunktio.
1
Tällöinsanotaanmyös,ettäX onG-joukko.
Jos G operoi joukossa X, kirjoitetaan mieluummin g·x merkinnän α (x) asemesta.
g
Tällöinedeltävätehdotsaavatmuodon:
g·(h·x) = (gh)·x ja 1·x = x.
Operointivoidaanilmoittaamyöskirjoittamallag: x (cid:55)→ α (x),kung ∈ Gjax ∈ X.
g
Esimerkki1.2.(1)PermutaatioryhmäG ≤ S operoijoukossaXluonnollisellatavalla.
X
(2)CayleynlauseenmukaanryhmäGoperoijoukossaG.
(3) Ryhmä G operoi konjugoimalla: jos g ∈ G, niin α (x) = gxg−1 (harjoitus).
g
Tämävoidaanilmaistamyösseuraavasti:g: x (cid:55)→ gxg−1.
Lemma1.1. JosryhmäGoperoijoukossaX,niinα ∈ S .Erityisesti
g X
g·x = y =⇒ x = g−1·y
g·x = g·y =⇒ x = y
kaikilleg ∈ Gjax,y ∈ X.
Todistus. Todetaan,ettäα α (x) = α (x) = α (x) = x,jotenα onkuvauk-
g g−1 gg−1 1 g−1
senα käänteiskuvaus,jasitenα onjoukonX permutaatio. (cid:116)(cid:117)
g g
OperoikoonGjoukossaX.Alkionx ∈ X rataonjoukko
Orb(x) = {g·x | g ∈ G}.
Alkionxstabiloijaon
G = {g ∈ G | g·x = x}.
x
Lemma1.2. JosGoperoijoukossaX,niinG ≤ Gkaikillax ∈ X.
x
Todistus. Harjoitus. (cid:116)(cid:117)
Esimerkki1.3.Olkoon τ Cayleyn lauseen operointi: τ (x) = gx. Tällöin Orb(x) =
g g
G,silläjosg ∈ G,niing = (gx−1)x,jasiteng ∈ Orb(x).Tässätapauksessaonmyös
G = {1},silläjosx = τ (x) = gx,niintokig = 1.
x g
3
Esimerkki1.4.KunGoperoikonjugoimalla,merkitäänOrb(x) = xG.Siis
xG = {axa−1 | a ∈ G}.
SanotaanettäxG onalkionxkonjugaattiluokka.
Alkionx ∈ Gsentralisoijaon
C (x) = {g ∈ G | gxg−1 = x}.
G
Siisg ∈ C (x)josjavainjosg kommutoialkionxkanssa.
G
SeuraavassalauseessaedustajistoonosajoukkoY ⊆ X,johonjokaisestaradastaon
valittuyksikäsitteinenalkio.
Lause1.3. OperoikoonryhmäGjoukossaX.TällöinX onalkioidensaratojenpartitio.
Lisäksi,jos|X| < ∞jaY ⊆ X onratojenedustajisto,niin
(cid:88)
|X| = |Orb(y)|.
y∈Y
Todistus. Olkoonx ∈ X.Tällöinx = 1·x ∈ Orb(x),jasitenX = ∪ Orb(x).
x∈X
Jos Orb(x) ∩ Orb(y) (cid:54)= ∅, niin on olemassa alkiot g,h ∈ G siten, että g·x =
h·y. Tässä tapauksessa x = g−1h·y ja samoin y = h−1g·x. Olkoon a ∈ Orb(x) eli
a = f·x jollain f ∈ G. Tällöin edeltävän mukaan, a = fg−1h·y ∈ Orb(y). Näin
ollenOrb(x) ⊆ Orb(y).Symmetrisestisaadaansisältyminentoiseensuuntaan,jasiten
Orb(x) = Orb(y).Tästäosituksestaseuraamyösväitteenviimeinenkaava. (cid:116)(cid:117)
Lause1.4. JosryhmäGoperoijoukossaX jax ∈ X onannettualkio,niin
|Orb(x)| = [G : G ].
x
Todistus. Määritelläänkuvausγ: Orb(x) → G/G ehdosta
x
y = g·x =⇒ γ(y) = gG .
x
Tällöinγ onhyvinmääritelty:josy = g·x = h·x,missäg,h ∈ G,niinh−1g·x = xja
sitenh−1g ∈ G ,mistäseuraaettähG = gG .
x x x
Kuvausγ onbijektio:Oletetaan,ettäγ(y) = γ(z).Tällöinonalkiotg,h ∈ G,joilla
y = g·x ja z = h·x siten, että gG = hG . Nyt h−1g ∈ G ja siten h−1g·x = x eli
x x x
y = g·x = h·x = z. Näin ollen γ on injektiivinen. Toisaalta, jos gG ∈ G/G , niin
x x
olkoony = g·x ∈ Orb(x).Tällöinγ(y) = gG ,jasitenγ onsurjektiivinen.
x
Siis|Orb(x)| = |G/G | = [G : G ],mikäoliväite. (cid:116)(cid:117)
x x
Esimerkki1.5.DiedriryhmäD operoineliönkärkipisteidenv ,v ,v ,v joukossaper-
4 0 1 2 3
mutoimalla ne. Vain permutaatio g = (v v ) ∈ D ja identiteettikuvaus kiinnittävät
1 3 4
pisteenv .SiisG onkertalukuakaksiolevaaliryhmä:|G | = 2.Voidaanlaskea,että
0 v0 v0
|Orb(v )| = 4ja[G : G ] = 4(= 8/2).
0 v0
4
Lagrangenlauseenmukaansaadaan:
Seuraus1.3. Olkoon G äärellinen ryhmä, joka operoi joukossa X. Tällöin |Orb(x)|
jakaaryhmänkertaluvun|G|.
Seuraus1.4. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin alkion x ∈ G konjugaattien luku-
määräon
|xG| = [G : C (x)],
G
jasiten|xG|jakaaryhmänGkertaluvun|G|.
Todistus. Alkiollex ∈ G,Orb(x) = xG,jatoisaaltaG = C (x). (cid:116)(cid:117)
x G
OperoikoonryhmäGaliryhmienjoukossakonjugoimalla,eli
g·H = gHg−1, kunH ≤ G.
TällöinmerkitäänstabiloijaaG = N (H)jasitäkutsutaannormalisoijaksi.Siis
H G
N (H) = {g ∈ G | gHg−1 = H}.
G
Lemman1.2mukaannormalisoijaonryhmänGaliryhmä.
Lemma1.3. Olkoon H ≤ G. Tällöin N (H) on suurin ryhmän G aliryhmä, jolle
G
H (cid:69) N (H).
G
Todistus. Harjoitus. (cid:116)(cid:117)
Lause1.5. OlkoonH ≤ G.TällöinaliryhmänH konjugaattienxHx−1 (x ∈ G)luku-
määräonsamakuinindeksi[G : N (H)].
G
Todistus. Olkoonoperointiosajoukkojenjoukossakonjugoimalla.Lauseen1.4mukaan
|Orb(H)| = [G : G ],missäG = N (H) = C (H).Sitenväiteseuraaseuraukses-
H H G G
ta1.4. (cid:116)(cid:117)
Ryhmän keskus Z(G) koostuu niistä alkioista, jotka kommutoivat kaikkien alkioi-
denkanssa,janiinpä
Z(G) = {x ∈ G | |xG| = 1}.
Lause1.6(Luokkayhtälö). OlkoonGäärellinenryhmä,jaolkoonAniidenkonjugaat-
tiluokkien,jotkasisältävätvähintäänkaksialkiota,edustajisto.Tällöin
(cid:88)
|G| = |Z(G)|+ [G : C (x)]. (1.1)
G
x∈A
Todistus. Seuraus1.4antaaväitteen,koskapakonjugaattiluokatmuodostavatryhmänG
partition. (cid:116)(cid:117)
5
Lemma1.4. Olkoon G äärellinen ryhmä, joka operoi äärellisessä joukossa X. Jos
x,y ∈ Orb(z)jollainz,niiny = g·xjollaing ∈ GjaG = gG g−1.Erityisesti,
y x
x,y ∈ Orb(z) =⇒ |G | = |G |.
y x
Todistus. Oletetaan,ettäx,y ∈ Orb(z)elix = a·z jay = b·z joillaina,b ∈ G,jasiten
y = b·(a−1·z) = (ba−1)·x ∈ Orb(x),missäsiisg = ba−1.
Olkoonh ∈ G elih·x = x.Nyty = g·x,jasiten
x
ghg−1·y = ghg−1g·x = gh·x = g·x = y,
jasiksigG g−1 ≤ G .Vastaavastivoidaanosoittaa,ettäG ≤ gG g−1 käyttäenyhtä-
x y y x
suuruuttax = g−1·y.
Kuvaus ϕ : G → G ehdosta ϕ (h) = ghg−1 on automorfismi, jolle ylläolevan
g g
mukaanonϕ (G ) = G .Näinollen|G | = |G |. (cid:116)(cid:117)
g x y x y
Sylowin lauseet
Lause1.7(Cauchy). Olkoonpalkuluku,jokajakaaäärellisenryhmänGkertaluvunn.
Tällöinonolemassaalkiox ∈ G,jolleord(x) = p.
Lause1.7seuraaoheisestayleisemmästätuloksesta,jonkatodistiJ.H.McKay(1959).
Lause1.8.Olkoon p alkuluku, joka jakaa kertaluvun |G|. Tällöin yhtälöllä xp = 1 on
rpratkaisuajollainr > 0.
Todistus. Tarkastellaanjoukkoa
X = {(x ,...,x ) | x ···x = 1}.
1 p 1 p
Tällöin |X| = |G|p−1, sillä jokaista (x ,...,x ) vastaa yksikäsitteinen x , jolle
1 p−1 p
x x ...x = 1. Siten |X| on alkuluvun p monikerta. Määritellään ekvivalenssirelaa-
1 2 p
tio∼joukossaX:α ∼ β josjavainjosαjaβ ovattoistensasyklisiäkonjugaatteja.Siis
josα = (x ,...,x ),niinβ = (x ,...,x ,x ,...,x )jollaini.OlkoonjoukossaX
1 p i p 1 i−1
tarkalleenksellaistaalkiota,joidenekvivalenssiluokassaonvainyksialkio,jokaonsiis
välttämättämuotoa(x,x,...,x) ∈ X,missäxp = 1.Huomaa,että(1,1,...,1) ∈ X ja
sitenk ≥ 1.Kaikissamuissaluokissaontarkalleenpalkiota,koskaponalkuluku.Siis
|G|p−1 = k+p·tjollaint.Koskapap||G|,myösp|k,mistäväiteseuraa. (cid:116)(cid:117)
Olkoon p alkuluku. Ryhmä G, jonka kertaluku on luvun p potenssi on p-ryhmä.
Lagrangenlauseennojallasenkaikkienalkioidenkertaluvutovatluvunppotensseja.
OlkoonGäärellinenp-ryhmä,jokaoperoiylijoukonX.Merkitään
Fix(G) = {x ∈ X | ∀g ∈ G: g·x = x}.
6
Lemma1.5. OlkoonGäärellinenp-ryhmä,jokaoperoiylijoukonX.Tällöin
(cid:88)
|X| = |Fix(G)|+ |Orb(x)|, (1.2)
x∈I
x(cid:54)∈Fix(G)
missäI onratojenedustajisto.Erityisesti,
|X| ≡ |Fix(G)| (mod p). (1.3)
(cid:80)
Todistus. Nyt|X| = |Orb(x)|.Toisaalta,josx ∈ Fix(G),niing·x = xkaikilla
x∈I
g ∈ Gjasiten|Orb(x)| = 1.Jälkimmäistäväitettävartentodetaan,ettäjosx (cid:54)∈ Fix(G),
niin |Orb(x)| = pk jollain k ≥ 1, sillä |G| = |Orb(x)| · |G | Lagrangen lauseen
x
mukaan. (cid:116)(cid:117)
Seuraus1.5. OlkoonGäärellinenp-ryhmä.TällöinZ(G) (cid:54)= {1}.
Todistus. TarkastellaanryhmänGoperointiakonjugoimallayliitsensä:g: a (cid:55)→ gag−1.
Nyt X = G ja siten |X| = pn jollain n ≥ 1. Tällöin kongruenssin (1.3) mukaan
|Fix(G)| > 1.MuttaFix(G) = {x ∈ G | gxg−1 = x} = Z(G). (cid:116)(cid:117)
Lause1.9(SylowI). OlkoonGkertalukuapnmolevaryhmä,missäponalkuluku,jolle
p (cid:45) m.
(1) TällöinryhmälläGonkertalukuapi olevaaliryhmäkaikillei = 0,1,...,n.
(2) Lisäksi,josH ≤ Gonkertalukuapi olevaaliryhmä,niinonkertalukuapi+1 oleva
i
aliryhmäH ≤ G,jolleH (cid:69) H kun0 ≤ i ≤ n−1.
i+1 i i+1
Todistus. Todistetaanolemassaoloinduktiollapotenssiinnähden.Cauchynlauseenmu-
kaan ryhmällä G on kertalukua p oleva alkio ja siten kertalukua p oleva (syklinen) ali-
ryhmä.
Oletetaan sitten, että H ≤ G on kertalukua |H| = pi, missä i < n. Tarkastellaan
ryhmänH operointiaylitekijäjoukonX = G/H:
h·(xH) = (hx)H.
Tässä
xH ∈ Fix(H) ⇐⇒ xH = hxH kaikillah ∈ H
⇐⇒ x−1hx ∈ H kaikillah ∈ H
⇐⇒ x−1Hx ⊆ H
⇐⇒ Hx ⊆ xH
⇐⇒ Hx = xH (sillä|Hx| = |H| = |xH|)
⇐⇒ H = xHx−1
⇐⇒ x ∈ N (H).
G
7
Siis|Fix(H)| = [N (H) : H].Koskapai < n,niin
G
|Fix(H)| ≡ |X| = pn−im ≡ 0 (mod p).
CauchynlauseenmukaanryhmälläN (H)/H onkertalukuapolevaaliryhmä,jatämä
G
aliryhmäonmuotoaH(cid:48)/H.Näinollen|H(cid:48)| = pi+1 jamyösH (cid:69) H(cid:48). (cid:116)(cid:117)
Seuraus1.6. Jokainenäärellinenp-ryhmäonratkeava.
Todistus. Olkoon|G| = pn.Tällöinonsarjaaliryhmiä:
{1} = H < H < ... < H = G
0 1 n
siten,että|H | = pi jaH (cid:69) H .VieläpäH /H ∼= C . (cid:116)(cid:117)
i i i+1 i+1 i p
Sylowin lauseesta seuraa, että jokaisella äärellisellä ryhmällä G, jolle |G| = pnm
kuten edellä, on kertalukua pn oleva maksimaalinen p-aliryhmä. Tällaista ryhmää kut-
sutaanSylowinp-aliryhmäksi.
Lause1.10(SylowII). Olkoon|G| = pnm,missäalkulukupeijaalukuam.OlkootP
ryhmän G Sylowin p-aliryhmä ja H ryhmän G jokin p-aliryhmä. Tällöin on olemassa
x ∈ Gniin,ettäxHx−1 ≤ P.
Todistus. MerkitäänX = G/P,jaoperoikoonH ylijoukonX kutenedellä:h·(xP) =
hxP, jolloin lemman 1.5 mukaan |Fix(H)| ≡ |X| = m (mod p). Eritoten on
Fix(H) (cid:54)= ∅,ja
xP ∈ Fix(H) ⇐⇒ ∀h ∈ H: hxP = xP ⇐⇒ x−1Hx ≤ P .
Väiteseuraatästä. (cid:116)(cid:117)
Seuraus1.7. Olkoon|G| = pnm,missäalkulukupeijaalukuam.Tällöinkaikkiryh-
män G Sylowin p-aliryhmät ovat toistensa konjugaatteja: jos P ja H ovat Sylowin p-
aliryhmiä,niinP = x−1Hxjollainx ∈ G.
Lause1.11(SylowIII). Olkoon|G| = pnm,missäalkulukupeijaalukuam,jaolkoon
k ryhmänGSylowinp-aliryhmienlukumäärä.Tällöink |mjak ≡ 1 (mod p).
p p p
Todistus. Olkoon P jokin Sylowin p-aliryhmä, ja olkoon X = {xPx−1 | x ∈ G}
aliryhmänP konjugaattiluokka.Seurauksen1.7mukaanXkoostuukaikistaSylowinp-
aliryhmistä,janäinollenlauseen1.5mukaank = |X| = [G : N (P)].
p G
TarkastellaanryhmänGoperointiakonjugoimallaylijoukonXelig: H (cid:55)→ gHg−1
(g ∈ G,H ∈ X).Lauseen1.10mukaantämäoperointiontransitiivista:josH,K ∈ X,
niinonolemassag ∈ G,jollaK = gHg−1 jasitenOrb(H) = XkullakinH ∈ X.Näin
ollenk = |X|jakaakertaluvun|G| = pnm,sillä|G| = |G |·|Orb(H)|.
p H
TarkastellaannytryhmänP vastaavaaoperointia:g: H → gHg−1 (g ∈ P,H ∈ X).
OlkoonH ∈ X.Tällöin
8
H ∈ Fix(P) ⇐⇒ ∀g ∈ P: gHg−1 = H ⇐⇒ P ≤ N (H).
G
Tässä tapauksessa sekä P että H ovat ryhmän N (H) Sylowin p-aliryhmiä ja siten
G
ne ovat konjugaatteja ryhmässä N (H). Lemman 1.3 mukaan H (cid:69) N (H) ja siten
G G
ryhmällä H ei ole muita konjugaatteja ryhmässä N (H) kuin se itse, joten P = H, ja
G
eritoten Fix(P) = {P}. Lemman 1.5 mukaan k = |X| ≡ 1 (mod p). Tällöin myös
p
p (cid:54) |k ,janiinpäk |m. (cid:116)(cid:117)
p p
Esimerkkejä
Esimerkki1.6.Osoitetaan,ettäkertalukua200olevaryhmäeioleyksinkertainen.Tätä
varten olkoon |G| = 200 = 23 · 52. Tällöin k = 1, sillä k ≡ 1 (mod 5) ja k |23.
5 5 5
Siten jos P on Sylowin 5-aliryhmä, myös gPg−1 on Sylowin p-aliryhmä, ja näin ollen
gPg−1 = P kaikillag ∈ G,mikätietää,ettäP (cid:69) G.Johtopäätöksenätodetaan,ettäG
eioleyksinkertainenryhmä.
Esimerkki1.7.Olkoonpalkuluku.Osoitetaan,ettäkertalukua2polevaryhmäonjoko
syklinen tai diedraaliryhmä. Myös tapauksessa p = 1 ainoa ryhmä on syklinen: Z .
2
Oletetaansitten,ettäp > 2.
OlkoonH ≤ Gniin,että|H| = p,sanokaammeH = (cid:104)x(cid:105).Sylowinlauseenmukaan
k = 1 ja siten H (cid:69) G. Samoin on aliryhmä U ≤ G siten, että |U| = 2, sanokaamme
p
U = (cid:104)y(cid:105).KoskaH onnormaali,yxy−1 = xk jollaink.Nyt
x = y2xy−2 = yxky−1 = xk2
janäinollenk2 ≡ 1 (mod p).Siisk ≡ 1 (mod p)taik ≡ −1 (mod p).
(1) Oletetaan, että k ≡ 1 (mod p). Tällöin xy = yx, ja siten G on Abelin ryhmä.
KiinalaisenjäännösluokkalauseennojallaGonsyklinen.
(2) Oletetaan sitten, että k ≡ −1 (mod p). Tällöin xy = yx−1. Tämä ryhmä on
kertalukua2polevadiedraaliryhmä.
Wielandtin todistus Sylowin aliryhmän olemassaololle
Lemma1.6.Osoita,ettäalkulukupeijaalukua(cid:0)pnm(cid:1),missäp(cid:54) |mjan ≥ 1.
pn
Todistus. Itseasiassa(cid:0)pnm(cid:1) ≡ m (mod p).
pn
Tarkastellaanpolynomiaf(x) = x+1.Koskapap ∈ P,niinf(x)p = (cid:80)n (cid:0)p(cid:1)xi ≡
i=0 i
xp +1 (mod p).(Tarkastelebinomikertoimia(cid:0)p(cid:1).)Toistetaantämäinduktiivisesti,jol-
i
loinsaadaan
f(x)pn ≡ xpn +1 (mod p), jasiis (x+1)pnm ≡ (xpn +1)m (mod p).
Oikeanpuolen tekijän xpn kerroin on m, ja samoin täytyy olla vasemmanpuolen saman
tekijänkerroin(cid:0)pnm(cid:1)modulop.Tästäväiteseuraa. (cid:116)(cid:117)
pn
9
Lause1.12.Olkoon G kertalukua pnm oleva ryhmä, missä alkuluku p ei jaa lukua m.
TällöinryhmälläGonSylowinp-aliryhmä.
Todistus. Olkoon A = {A ⊂ G | |A| = pn}. Tällöin G operoi joukossa A luonnolli-
seentapaan:gA = {g(a) | a ∈ A}.
Osoitetaan,ettäonolemassarataOrb(A),A ∈ A,jonkakokoapeijaa.
OperointiosittaaperheenAratoihin,joten|A|onratojenkokojensumma.Niinpä
(cid:18)pnm(cid:19)
|A| ≡ (mod p),
pn
missä p ei jaa binomikerrointa Lemman 1.6 nojalla. Siis on olemassa ainakin yksi rata,
jollep(cid:54) ||Orb(A)|.
Olkoon H = G joukon A stabiloija, jolloin |G| = |Orb(A)|·|H|. Koska p ei jaa
A
radan kokoa, mutta pn jakaa ryhmän G kertaluvun, jakaa pn ryhmän H kertaluvun, ja
sitenpn ≤ |H|.NytH stabiloialkionA ∈ A,jotenjosa ∈ A,niinHa ⊆ A.Saadaan,
että|H| = |Ha| ≤ |A| = pn.Yhdistämälläsaadaan,että|H| = pn,jotenH onryhmän
GSylowinaliryhmä. (cid:116)(cid:117)
Abelin ryhmät
SeuraavassatuloksessaGeiolevälttämättäAbelinryhmä.
Lause1.13.OlkoonGkertalukuap1n1pn22···pnrr olevaryhmä,missäp1,...,pr ovateri
alkulukuja,jaolkoonP ryhmänGSylowinp -aliryhmä.TällöinG ∼= P ×P ×···×P
i i 1 2 r
josjavainjosjokainenSylowinaliryhmäP onnormaali.
i
∼
Todistus. (1)JosG = P ×P ×···×P ,niinjokainenP onnormaali.
1 2 r i
(2)Oletetaan,ettäP (cid:69) G,i = 1,2,...,r.SelvästiP ∩P = {1}kuni (cid:54)= j.Olkoot
i i j
g ∈ P , kun i = 1,2,...,r. Normaaliudesta seuraa, että [g ,g ] = g g g−1g−1 = 1,
i i i j i j i j
silläg g g−1 ∈ P jag g−1g−1 ∈ P .Sitenalkiotg jag kommutoivat.
i j i j j i j i i j
Oletetaan, että g g ···g = 1, missä g ∈ P on kertalukua m = psi. Olkoon 1 ≤
1 2 r i i i i
j ≤ r ja merkitään m = m m ···m m ...m . Tällöin kommutoinnin avulla
1 2 j−1 j+1 r
saadaan1 = (g g ···g )m = gmgm···gm = gm.Koskagmj = 1jasyt(m,m ) = 1,
1 2 r 1 2 r j j j
niinvälttämättäg = 1.Kaikenkaikkiaansiis1 = g = g = ... = g .
j 1 2 r
Oletetaansitten,että
x = g g ...g missäg ∈ P . (1.4)
1 2 r i i
Josmyösx = h h ...h ,missäh ∈ P ,niinjälleenkommutointiinvedotensaadaan
1 2 r i i
1 = (g g ···g )(h h ···h )−1 = (g h−1)···(g h−1)···(g h−1)missäg h−1 ∈ P ,
1 2 r 1 2 r 1 1 2 2 r r i i i
jasiteng h−1 = 1,jolloinkag = h kaikillai.Siisjokaisellaalkiollax ∈ P P ···P
i i i i 1 2 r
∼
onyksikäsitteinenesitys(1.4).Tästäseuraa,ettäP ×P ×···×P = P P ...P ⊆ G.
1 2 r 1 2 r
∼
Lisäksi|P ×P ×···×P | = |G|janäinollenG = P ×P ×···×P . (cid:116)(cid:117)
1 2 r 1 2 r
10
Lause1.14.Olkoon G kertalukua pnm oleva Abelin ryhmä, missä alkuluku p ei jaa
lukuam.Merkitään
G(p) = {g ∈ G | alkiong kertalukuonalkuluvunppotenssi}.
TällöinG(p)onyksikäsitteinenryhmänGSylowinp-aliryhmä.
Todistus. Selvästi G(p) ≤ G. Olkoon P Sylowin p-ryhmä, jolloin |P| = pn. Sylowin
lauseen nojalla P on yksikäsitteinen, sillä G on Abelin ryhmä. Jokaisen alkion a ∈ P
kertaluku on alkuluvun p potenssi, ja siten a ∈ G(p), eli P ⊆ G(p). Mutta G(p) on
ryhmän G p-aliryhmä, ja siten se sisältyy konjugaattiryhmään: G(p) ⊆ aPa−1 = P
(Abelinryhmä).NäinG(p) = P. (cid:116)(cid:117)
Lause1.15.OlkoonGkertalukuapn1pn2...pnr olevaAbelinryhmä.Tällöin
1 2 n
(1) G = G(p )⊕G(p )⊕···⊕G(p ).
1 2 r
(2) |G(p )| = pni kaikillai = 1,2,...,r.
i i
Todistus. Olkoon |G| = pnim , missä alkuluku p ei jaa lukua m . Edeltävän nojalla
i i i i
G(p ) on yksikäsitteinen Sylowin p -aliryhmä, ja näin ollen väite (2) seuraa. Lisäksi,
i i
G(p ) (cid:69) Gkaikillai,jotenmyösväite(1)onvoimassa. (cid:116)(cid:117)
i
