Resultat negatif en theorie d'approximation de compacts fonctionnels par des varietes analytiques et application a un probleme inverse

0.51 MB·French

by  Amadeo Irigoyen

6 RE´SULTAT NE´GATIF EN THE´ORIE D’APPROXIMATION
0
0 DE COMPACTS FONCTIONNELS PAR DES VARIE´TE´S
2 ANALYTIQUES ET APPLICATION A` UN PROBLE`ME

n
INVERSE
a
J
0 par
3
Amadeo Irigoyen

]
A
F
.
h
R´esum´e. —
t
a Danslath´eoried’approximationfigurentenparticulierlesprobl`emesd’approximation
m decompactsdanslesespacesfonctionnels,pardesfamillesnonlin´eaires: onrappelle
le cas de la param´etrisation polynomiale, puis on s’int´eressera au cas analytique.
[
On montre un r´esultat n´egatif qui dit qu’une famille de fonctions param´etr´ee
1 analytiquement par N variables ne peut pas approximer le compact Λl(Is) mieux
v quedel’ordrede(NlogN)−sl,lorsqueN augmente.
0 Cetteassertionfournit,commeapplicationa`unprobl`emeinversedanslath´eorie
3 de Sturm-Liouville, une r´eponse a` une question sur la meilleurereconstruction pos-
7 sible du potentiel Q, n´egatif avec m+1 d´eriv´ees int´egrables, a` partir des valeurs
1 propres et valeurs caract´eristiques de l’´equation −y′′+ω2Qy = λy, lorsque ω aug-
0 mente: onmontrel’impossibilit´ed’avoiruneformuleanalytiqued’approximationqui
6 puisse avoir une pr´ecision meilleure que de l’ordre de (ωlogω)−(m+1). Il existe en
0 outredans[5]desformulesd’approximationpresqueoptimales.
/
h
t
a
Abstract. —
m
In the theory of approximation there are some problems on approximation of
: compactsinfunctionalspacesbynonlinearfamilies: firstwedealwiththepolynomial
v
case, and then we consider the analytic case. We demonstrate a negative result in
i
X which we claim that an analytic family of functions with N parameters can not
r approachthecompactΛl(Is)closerthanoforder(NlogN)−sl,whenN increases.
a As applied to an inverse problem in Sturm-Liouville theory, this assertion pro-
videsananswertoaquestionaboutthebestpossiblereconstructionofthenegative
potentialQwithm+1integrablederivatives,fromitseigenvaluesandcharacteristic
values of the equation −y′′+ω2Qy = λy, when ω increases : we show that it is
impossible to get an analytic approximating formula with precision better than of
order(ωlogω)−(m+1). Moreoverthereisin[5]formulaswhicharealmostoptimal.
Table des mati`eres
1. Introduction..................................................... 2
2. Remerciements................................................... 8
3. Approximation analytique....................................... 8
2 AMADEO IRIGOYEN
4. Th´eor`eme de Vitushkin par la m´ethode de Warren.............. 23
5. Application `a un probl`eme inverse............................... 32
6. Autres m´ethodes................................................. 49
R´ef´erences.......................................................... 53
1. Introduction
On s’int´eresse ici `a un probl`eme d’approximation de compacts dans certains es-
paces fonctionnels par des sous-espaces non lin´eaires. Cette th´eorie est li´ee `a l’´etude
d’entropie d’un compact dans un espace vectoriel norm´e, concept d´efini par Kol-
mogorov comme ´etant le logarithme du nombre minimal de boules de rayon ε pour
recouvrir un compact K. Cette notion donne une id´ee de la possibilit´e ou de la
difficult´e d’approximer un compact par un ensemble donn´e (cf [8], [11] et [19]).
Si K est un compact d’un espace vectoriel norm´e L, et F un sous-ensemble de L,
on pose
D(K,F)= sup inf y z
y Kz Fk − k
∈ ∈
qui repr´esente le d´efaut d’approximation de K par F. Les cas les plus ´etudi´es sont
ceux ou` L d´esigne un espace de fonctions continues ou int´egrablessur Is et K =Λ
l,s
d´esignelabouleunit´edesfonctionsdeclasseCl, l>0surIs,ouencorelabouleunit´e
des restrictions de fonctions analytiques born´ees sur un voisinage de Is dans Cs.
Un des principaux exemples est celui de l’approximation lin´eaire, c’est-`a-dire par
des sous-espaces vectoriels de dimension finie. Si n est un entier 1, on pose
≥
D (K)=infD(K,F ),
n n
Fn
ou`F parcourtl’ensemble dessous-espacesvectorielsdedimensionndeL. D (K)
n n n
L
estappel´en widthducompactK. DanslasuitedestravauxdeVitushkin(cf[19]),
−
Tihomirov (cf [18]) ´etablit quelques propri´et´es g´en´erales des n-widths ainsi que des
exemples de calcul avec explicitation de F r´ealisantle minimum (cf [15]).
n
On en particulier, si Λ d´esigne la boule unit´e de Cl(Is) C0(Is), I =[0,1],
l,s
⊂
A B
D (Λ ) ,
nsl ≤ n l,s ≤ nsl
cequimontreentreautresune minoration,doncunr´esultatn´egatifd’approximation.
Dans le cadre non lin´eaire, Vitushkin consid`ere dans [19] le cas suivant : si n et d
sont des entiers 1, on se donne l’ensemble
≥
P = P(ζ)= a ()ζk, ζ =(ζ ,...,ζ ) Rn , a C0(Is),
n,d  k · 1 n ∈  k ∈
 |kX|≤d 
param´etr´epolynomialement avec n variables et de degr´e d, et
 
D(K,P )= sup inf y P(ζ) .
n,d
y Kζ Rnk − k
∈ ∈
APPROXIMATION PAR VARIE´TE´S ANALYTIQUES 3
On pose finalement
D (K)= inf D(K,P ),
n,d n,d
Pn,d
ou` P parcourt l’ensemble des vari´et´es de L param´etr´ees par n variables
n,d n,d
P
ind´ependantes, polynomialement de degr´e au plus d. On a comme r´esultat princi-
pal le th´eor`eme de Vitushkin que l’on peut trouver dans [6], [11], [19] et [21] :
A B
D (Λ ) ,
(nlogd)sl ≤ n,d l,s ≤ (nlogd)sl
ce quiestune g´en´eralisationducaslin´eaire,etmontreenparticulierqu’augmenterla
complexit´e par le degr´e n’apportera pas d’am´elioration significative. On souligne en
particulier des r´esultats n´egatifs d’approximation, i.e. des minorations de D .
n,d
Vitushkin a montr´e cette estimation en utilisant la th´eorie de variation of sets,
sans en expliciter les constantes.
Plustard,Warrenamontr´ecer´esultatdans[20],sansutilisationdesvariationsof
sets,enexplicitantlesconstantes,maisseulementdansdescasparticuliers: Λ ([0,1])
ω
danslecasuniforme(ou`ωestunmoduledecontinuit´e),etΛ ,0<α 1,danslecas
α,s
≤
L1(Is). La m´ethode est diff´erente, mais elle utilise comme Vitushkin une estimation
du nombre de composantes connexes d’un ensemble alg´ebrique dans Rn, de Oleinik
et Petrovskii(cf [14]). Ce dernier repose finalement sur le th´eor`eme de B´ezout : une
intersection de n ensembles alg´ebriques ζ Rn,P (ζ)=0 , ou` degP =p , ne peut
j j j
avoirplus de n p points,lesensembl{es∈de z´erossetrouv}antenpositiong´en´erique
j=1 j
(i.e. les coefficients de ces polynˆomes´etant pris dans un ouvert de Zariski).
Q
Celapermet`aWarrend’obtenirl’estimationsuivante,´ecriteend´etaildans[20]: si
P ,...,P sontdespolynˆomessurRn,dedegr´e d,alorslenombredecomposantes
1 m
≤
connexes de l’ensemble
n
Rn P (ζ)=0
j
\ { }
j=1
[
nepeutd´epasser 4edm n. Onend´eduitainsiuneestimationdunombredesuitesε=
n
(ε ,...,ε ), ε = 1, prises par la fonction : ζ Rn (sgnP (ζ),...,sgnP (ζ)).
1 m j 1 m
(cid:0)± (cid:1) ∈ 7→
Il en r´esulte que si K poss`ede des fonctions qui oscillent suffisamment, il existera des
points ou` des ´el´ements de K diff`ereront de l’ensemble polynomial, ce qui permettra
d’obtenir une minoration de D (K).
n,d
Notre premier but est de d´emontrer le th´eor`eme de Vitushkin dans la partie 4,
dans le cas g´en´eralΛ et en explicitant la constante A :
l,s
Th´eor`eme 1.1. — Soit l’ensemble des familles polynomiales de C(Is) (resp.
n,d
P
L1(Is)), i.e. form´ee des ´el´ements
P = c ζk, ζ =(ζ ,...,ζ ) Rn ,
n,d  k 1 n ∈ 
|kX|≤d 
 
4 AMADEO IRIGOYEN
ou` c C(Is) (resp. L1(Is)). On a alors
k
∈
C
D (Λ ) l,s .
n,d l,s ≥ (nlogd)sl
On donne en outre une estimation des constantes C (l,s) et C (l,s).
L1
∞
Dans le cadre de la th´eorie d’approximation non lin´eaire, figure aussi l’´etude
d’approximationrationnelle,que l’on peut trouver dans [17] et [19]. Ici aussi, passer
du cas polynomial au cas rationnel n’am´eliore pas essentiellement la pr´ecision.
En vue d’applications pour des probl`emes inverses, on g´en´eralise l’approximation
nonlin´eairesuruneclasseasseznaturelledefonctionsanalytiquesquinesontpasdes
polynˆomes, qui est celle des fonctions enti`eres de type exponentiel, i.e. qui v´erifient :
z Cn, f(z) aexp b z d ,
∀ ∈ | |≤ k k1
ou` z 1 = z1 +...+ zn . Ce seral’objetde lapa(cid:0)rtie 3,(cid:1)ou` onconsid`ereunensemble
k k | | | |
param´etr´eanalytiquement par N variables ind´ependantes, `a valeurs dans C(Is), soit
une fonction de la forme
f(x,ζ)=f(x ,...,x ,ζ ,...,ζ ), x Is, ζ RN,
1 s 1 N
∈ ∈
ou`, pour chaque ζ, f est continue par rapport `a x, et pour chaque x Is, f est
∈
enti`ere de type exponentiel par rapport`a ζ. L’hypoth`esedu type exponentiel pour f
se r´e´ecritavec f(,ζ) . On doit n´eanmoins adopter une restriction sur le domaine
de d´efinition : kla v·ariakb∞le ζ reste dans un compact dont la taille grandit avec N. Le
r´esultat est alors le suivant :
Th´eor`eme 1.2. — Soit la classe des familles enti`eres de C(Is) (resp. L1(Is)),
N
E
i.e. de la forme
E = f(,ζ)=(x Is f(x ,...,x , ζ ,...,ζ )), ζ RN, ζ BNr,1 j N ,
N 1 s 1 N j
· ∈ 7→ ∈ | |≤ ≤ ≤
ou` f es(cid:8)t une fonction enti`ere de ζ v´erifiant (cid:9)
ζ CN, f(,ζ) AeuNvebNtkζkd1.
∀ ∈ k · k≤
Alors
C
D (Λ )= inf sup inf h f(,ζ) ,
N l,s f∈EN h∈Λl,s |ζj|≤BNrk − · k≥ (NlogN)sl
ou` C =C(l,s,A,u,v,b,t,d,B,r).
Ici aussi, on explicite les constantes C et C .
L1
∞
Pour finir dans le cadre d’approximation par des ensembles analytiques, on a
´egalement consid´er´e une classe particuli`ere de fonctions enti`eres de type exponen-
tiel appel´ees quasipolynˆomes, et qui sont de la forme
P(ζ ,...,ζ ,exp<a ,ζ >,...,exp<a ,ζ >),
1 n 1 k
ou` ζ Rn, a ,...,a Rn, < a ,ζ >= a1ζ +...+anζ . En utilisant la m´ethode
∈ 1 k ∈ j j 1 j n
de Warren, on peut obtenir des r´esultats n´egatifs d’approximation de Λ par des
l,s
familles non lin´eaires qui sont des quasipolynˆomes `a coefficients dans L (=C(Is) ou
APPROXIMATION PAR VARIE´TE´S ANALYTIQUES 5
L1(Is)). Onabesoinpourcelad’estimationsdunombrederacinesd’unsyst`emeden
quasipolynˆomes,doncdetypeB´ezout. Khovanskiiapourcela´etablidans[7]plusieurs
r´esultats sur les ´equations de Pfaff, ou` il a donn´e des exemples avec estimations
explicites : si on consid`ere un syst`eme
P =...=P =0
1 p
de p ´equations quasi-polynomiales en ζ, ou` chaque P est de degr´e m en les n+k
j j
variables ζ ,...,ζ , y ,...,y , avec y = exp < a ,ζ >, alors le nombre de cellules
1 n 1 k k k
(a` homotopie pr`es) de l’ensemble solution de dimension n p sera major´e par
−
n p k
p − p
k(k−1)
2 2 m1...mp mj +n p+1 (n p+1) mj +n p+1 n+p ,
 −   −  − − 
j=1 j=1
X X
     
ce qui donnera une estimation du mˆeme type pour le nombre de composantes de
l’ensemble Rn m P =0 ,et en particulier le r´esultatsuivant, que l’on prouvera
\ j=1{ j }
en derni`ere partie :
S
Th´eor`eme 1.3. — Soit l’ensemble des familles de C(Is) repr´esent´ees par
n,k,d
P
Pn,k,d = cjζ1j1...ζnjnejn+1<a1,ζ>...ejn+k<ak,ζ>, ζ ∈Rn,
|Xj|≤d 
ou` P est un quasi-polynoˆme a` coefficients c C(Is), a` n variables ζ , k pseudo-
n,k,d  j ∈ i
variables e<ai,ζ> et de degr´e total d. On a alors
C
D (Λ ):= inf sup inf h P(ζ) l,s .
n,k,d l,s P∈Pn,k,dh∈Λl,s ζ∈Rnk − k∞ ≥ (k2nlognlogd)sl
En outre, la constante C peut ˆetre calcul´ee et vaut
l,s
1
.
√s2l+138sl([l]+1)[l]+1(4(1+e))s([l]+1)
Ainsi, une famille quasi-polynomiale de C(Is) ne peut pas approcher le compact
Λ mieux qu’`a l’ordre
l,s
1
.
l
(k2nlognlogd)s
Cependant la pr´esence du terme k2 semble brutale, ce qui donne un r´esultat n´egatif
relativement faible. En revanche, on n’a ici aucune restriction sur les param`etres
ζ ,...,ζ R.
1 n
∈
Dans la partie 5 on donne une application du th´eor`eme 1.2 `a un probl`eme inverse
dans la th´eorie de Sturm-Liouville sur la demi-droite R+. On consid`ere l’´equation
d2y
ω2Qy =λy,
−dx2 −
ou` ω2Qestunpotentielstrictementn´egatifetsuffisammentr´egulier,ωunparam`etre
−
grand: dansnotrecas,Qauram+1d´eriv´eeslocalementint´egrableset`ad´ecroissance
6 AMADEO IRIGOYEN
polynomiale. On sait alors que l’op´erateur d2 ω2Q admet N(ω) valeurs propres
−dx2 −
ξ2 n´egatives,avec pour chacune une fonction propreψ associ´eev´erifiantles condi-
− j j
tions aux bords :
ψ (0)=0 et ∞ψ2(x)dx=1.
j j
Z0
On pose alors C =(ψ (0))2, qui est la valeur caract´eristiqueassoci´ee `a ξ .
j j′ j
Le probl`eme est le suivant : connaissant les valeurs propres ξ et valeurs car-
j
act´eristiquesC de l’´equation,il s’agitde reconstruirele potentiel ω2Q sur R+. On
j
−
dispose pour cela de formules plus ou moins explicites (cf [9], avec convergence dans
L2, et [5]), provenant en particulier des travaux de Gelfand, Levitan, Kohn et Jost
(cf [3], [10]). En outre, G. Henkin et N. Novikova, motiv´es en particulier par Lax
et Levermore, donnent dans [5] des estimations sur la vitesse de convergence : si
Q poss`ede m+1 d´eriv´ees int´egrables, il existe des formules qui l’approximent uni-
form´ement sur tout intervalle [0,X] lorsque ω , avec une vitesse (au moins) de
→ ∞
l’ordre de 1 .
ωm
La question que l’on se pose alors (cf [5], p. 22) est de savoir si on peut am´eliorer
cette approximation, i.e. montrer s’il existe une autre estimation ou bien une autre
formule (et si c’est le cas, l’expliciter) qui donne une convergence plus rapide vers le
potentiel donn´e ω2Q.
−
Ily adeux casquenous traitons,auxquelsnousdonnonsune r´eponsen´egative: le
premierestceluiou` m=1. Onutilisedans[5]une formuled’approximationexplicite
du type Gelfand-Levitan pour des potentiels avec propri´et´es´enonc´ees ci-dessus :
2 d2
Q0(x)= ln det(W )(x),
ω ω2dx2 | s,r |
ou`
2sh(ξ +ξ )x 2sh(ξ ξ )x 4ξ2
W (x)= r s (1 δ ) r− s δ 2x j .
s,r s,r s,r
ξr+ξs − − ξr ξs − − Cj !
−
Cette formule approxime en primitives tout Q uniform´ement sur tout [0,X], `a la
vitesse lnω (mais l’approximation peut ˆetre vraisemblablement bien meilleure, de
√ω
l’ordre de 1 ). On remarque que, mis `a part le d´enominateur de Q0 provenant du
ω2 ω
logarithme, det(W (x)) est une fonction enti`ere de type exponentiel par rapport `a
s,r
ξ ,...,ξ , 1 ,..., 1 , continue par rapport `a x. On peut donc interpr´eter Q0
1 N C1 CN ω
(cid:16)comme une famille de fo(cid:17)nctions continues param´etr´eeanalytiquement. Pour cela, on
peutappliquernotrer´esultatn´egatifetlecompl´eteravecler´esultatpositifde[5]. On
obtient :
Th´eor`eme 1.4. — Soient la classe des fonctions Q d´efinies sur R+, strictement
Q
positives, a` d´ecroissance polynomiale, avec 2 d´eriv´ees localement int´egrables, et leurs
op´erateurs associ´es d2 ω2Q ; pour tout N(ω) = O(ω), soit ´egalement ψ(x,ζ)
−dx2 −
une fonction d´efinie sur R CN, de classe C1 par rapport a` x et enti`ere de type
×
APPROXIMATION PAR VARIE´TE´S ANALYTIQUES 7
exponentiel par rapport a` ζ CN. Alors l’approximation de
∈
x
·
:= x Q(t)dt , Q ,
Q 7→ ∈Q
Z0 (cid:26)(cid:18) Z0 (cid:19) (cid:27)
uniform´ement sur tout intervalle [0,X], par la famille
1 ∂ψ
x (x,ζ) , ζ =O(ωr), j =1,...,N ,
j
7→ ψ ∂x ∀
(cid:26)(cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:27)
lorsque ω , ne peut pas ˆetre meilleure que de l’ordre de
→∞
1
.
(ωlnω)3
En outre, un cas d’approximation au moins a` l’ordre lnω, est donn´e par la formule
√ω
de type Gelfand-Levitan
Ψ(x,ζ)=detW (x,ζ),
s,r
avec
f
2sh(ζ +ζ )x 2sh(ζ ζ )x
r s s r
W (x,ζ)= (1 δ ) − δ (2x exp(ζ )),
s,r ζ +ζ − − s,r ζ ζ − s,r − r+N
r s s r
−
s, rf= 1,...,N(ω), ou` N(ω) est le nombre de valeurs propres ξj et caract´eristiques
C de l’op´erateur d2 ω2Q, dont l’´el´ement optimisant peut ˆetre ainsi choisi :
j −dx2 −
4ξ2
ζ (Q)=ξ , et ζ (Q)=ln j, j =1,...,N(ω).
j j j+N C
j
Onaurabesoinpourlad´emonstrationd’´etabliruneestimationdesvaleurspropres
ξ et valeurs caract´eristiquesC , j =1,...,N(ω), ainsi que de leurs inverses,`a cause
j j
de la restriction des param`etres ζ , n´ecessaire pour pouvoir appliquer notre r´esultat
j
n´egatif. Plus pr´ecis´ement,on montrera la
Proposition 1.1. — Si q = ω2Q est un potentiel n´egatif, int´egrable de classe C1
−
avec q (0) = 0, et a` d´ecroissance polynomiale, alors pour tous ω assez grand et j =
′
1,...,N(ω), on a
1 1 4ξ2
ξ aωb, et j αexp(βωγ).
aωb ≤ j ≤ αexp(βωγ) ≤ C ≤
j
Dansl’autrecas,quin’estpascoml`etementfini,ils’agitdeformulesd’approximation
concernantlecasplusg´en´erald’unpotentielavecm+1d´eriv´ees,maispasexplicit´ees,
et qui r´ealisent l’approximation (au moins) `a l’ordre
1
.
ωm
Cesformulessontcependant,dans lecasou` les mpremi`eresd´eriv´eesde Qs’annulent
en 0, de la forme
2 d d2
Q (x)= K(x,x)+ detT (x) ,
ω ω2 −dx dx2 j,k
(cid:18) (cid:19)
8 AMADEO IRIGOYEN
ou`
K(x,x)=K(x,x,q(0)) et T (x)=T (x,ξ,C,q(0)).
j,k j,k
Cesontdoncdesformulesqui, bienquenonexplicites,sontdesfonctions analytiques
en les variables ξ, C, q(0) = ω2Q(0). Ici encore, mˆeme si ce n’est pas prouv´e, on
−
esttr`esoptimistesurlavalidit´ed’unr´esultatn´egatifaffirmantqu’iln’estpaspossible
d’approximer Q, avec des formules du mˆeme type, mieux qu’`a l’ordre
1
,
(ωlnω)m+1
ce qui montrerait encore une propri´et´e de presque optimalit´e (mais cette fois, sans
formule de reconstruction explicite).
On terminera en derni`ere partie par quelques discussions sur d’autres m´ethodes
pour obtenir des r´esultats analogues : on prouvera en particulier le theor`eme 1.3
surlesfamillesdequasi-polynˆomes,etquiutiliselesestimationsdeKhovanskii;ainsi
qu’unautrer´esultatn´egatif,quiestuneapplicationdirecteduth´eor`emedeDescartes.
Onconstateraalorsqueleth´eor`eme1.2donneunemeilleureminoration,enplusd’ˆetre
plus g´en´eral,malgr´e la restriction n´ecessaire sur les param`etres.
2. Remerciements
Je remercie G. Henkin pour les id´ees et discussions enrichissantes sur ce sujet.
3. Approximation analytique
3.1. Enonc´e et preuve du th´eor`eme. — On consid`ere le compact Λ (Is), I =
l
[0,1], s N , l>0,
∗
∈
Λ =Λ (Is)= f Cl(Is), j,0 j m, f(j) 1, f(m) 1 ,
l,s l
∈ ∀ ≤ ≤ ≤ α ≤
n (cid:13) (cid:13)∞ (cid:13) (cid:13) o
ou` l =m+α, m N, 0<α 1 (m= [ l] 1),(cid:13)et (cid:13) (cid:13) (cid:13)
∈ ≤ −− − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
f(x) f(y)
f =sup| − |,
k kα x y α
x=y
6 k − k
ou` est la norme euclidienne usuelle.
k·k
(Λ (Is) est un compact de (C0(Is), ) et de (L1(Is), ))
l 1
k·k∞ k·k
Th´eor`eme 1. — On se donne, pour N N,N 2,
∈ ≥
f(x,ζ)=f(x ,...,x ,ζ ,...,ζ ), x Is, ζ RN,
1 s 1 N
∈ ∈
ou` f est enti`ere par rapport a` ζ CN, continue (resp. int´egrable) par rapport a`
∈
x Is.
∈
On suppose de plus que,
ζ CN, f(,ζ) AeuNvebNtkζkd1,
∀ ∈ k · k≤
APPROXIMATION PAR VARIE´TE´S ANALYTIQUES 9
ou` A,u,v,b,t,d sont des r´eels 1, f(,ζ) = f(,ζ) (resp. f(,ζ) ), et
L1
≥ k · k k · k∞ k · k
ζ = ζ +...+ ζ .
1 1 N
k k | | | |
Alors on a : h Λ , ζ RN, ζ BNr, j =1,...,N, avec B, r 1,
l,s j
∃ ∈ ∀ ∈ | |≤ ≥
C C
h f(,ζ) (resp. h f(,ζ) ),
k − · k∞ ≥ Nlog N sl k − · kL1 ≥ Nlog N sl
[2] [2]
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
ou` C est une constante d´ependant de l,s,A,u,v,b,t,d,B,r (mais pas de N) .
De fac¸on ´equivalente, si d´esigne la classe des fonctions analytiques du type f
N
E
(donc d´ependant de A,u,v,b,t,d), alors
C
D (Λ )= inf sup inf h f(,ζ) .
N l,s f∈EN h∈Λl,s |ζj|≤BNrk − · k≥ Nlog N sl
[2]
(cid:16) (cid:17)
Dans la suite, on notera simplement log pour le logarithme binaire log (ln
[2]
d´esignera toujours le logarithme n´eperien).
D´emonstration. — On commence par montrer le
Lemme 1. — On consid`ere le d´eveloppement de Taylor de f : (x,ζ) Is RN,
∀ ∈ ×
f(x,ζ)= c (x)ζk,
k
|kX|≥0
ou` k est le multi-indice (k ,...,k ) NN, k =k +...+k et ζk =ζk1...ζkN.
1 N ∈ | | 1 N 1 N
Alors on a : k NN,
∀ ∈
|k|
ebdNd+t d
c () AeuNv ,
k k · k≤ k
(cid:18) | | (cid:19)
ou` la norme d´esigne la norme uniforme ou la norme L1.
D´emonstration. — On commence par remarquer que, pour tout k, la fonction x
7→
c (x), qui donne le coefficient de Taylor du monoˆme ζk, est bien d´efinie, que ce soit
k
dans l’espaceC(Is)ouL1(Is). Eneffet, elle est donn´eeparla formule de Cauchy qui
utilise l’holomorphie de f par rapport `a ζ :
1 f(x,ζ)
c (x)= dζ,
k (2iπ)N ζk+1
Z|ζ1|=...=|ζN|=R
ou` R>0, ζ =(ζ ,...,ζ ), dζ =dζ ... dζ et (k+1)=(k +1,...,k +1).
1 N 1 N 1 N
∧ ∧
Pour le cas continu, il s’agit d’une int´egrale `a param`etre d’une fonction continue
parrapport`a x Is ; tandis que pour le casL1, c’estle th´eor`emede Fubini appliqu´e
∈
`ala fonctionf sur l’ensemble Is (bD(0,R))N,quipermet de d´efinirsur Is (presque
×
partout, puis en prolongeant par 0) la fonction c , qui sera alors dans L1(Is).
k
10 AMADEO IRIGOYEN
On a donc : x Is,
∀ ∈
1 f(x,ζ)
c (x) | |dζ,
| k |≤ (2π)N Rk+N
Z|ζj|=R | |
soit
c 1 AeuNvebNt(|ζ1|+...+|ζN|)ddζ =AeuNvebNd+tRd.
k kk≤ (2π)N Rk+N Rk
Z|ζj|=R | | | |
L’in´egalit´e ´etant valable pour tout R > 0, on l’a en particulier pour R = R
min
qui minimise le membre de droite. Pour d´eterminer R , on consid`ere la fonction
min
d´efinie sur ]0,+ [par R ebNd+tRd. Cette fonction tend vers + en 0 et + , elle
∞ 7→ R|k| ∞ ∞
admet donc (au moins) un minimum, qui annule sa d´eriv´ee,donn´ee par :
ebNd+tRd ebNd+tRd ebNd+tRd
R bdNd+tRd 1 k = bdNd+tRd k ,
−
7→ Rk −| | Rk+1 Rk+1 −| |
| | | | | |
1 (cid:0) (cid:1)
qui s’annule exactement en R=Rmin = bdN|kd|+t d.
(cid:16) (cid:17)
Par suite, il y a un seul minimum, et on a :
c AeuNvebNd+tbdN|kd|+t =AeuNv ebdNd+t |kd| ,
k kk≤ |k| k
k d (cid:18) | | (cid:19)
bdN| d|+t
(cid:16) (cid:17)
ce qui prouve le lemme. √
Nous pouvons commencer la preuve du th´eor`eme.
On a : ζ RN, ζ ,..., ζ BNr,
1 N
∀ ∈ | | | |≤
f(x,ζ)= c (x)ζk = c (x)ζk + c (x)ζk =P (x,ζ)+R (x,ζ),
k k k K K
|Xk|≥0 |kX|≤K |kX|>K
ou` K est un entier >0. Or, d’apr`es le lemme :
RK(,ζ) ck ζ1 k1... ζN kN
k · k ≤ k k| | | |
k>K
|X|
|k|
ebdBdNd(r+1)+t d
AeuNv
≤ k
k>K(cid:18) | | (cid:19)
|X|
n
ebdBdNd(r+1)+t d
= AeuNv card k + +k =n
n { 1 ··· N }
n>K(cid:18) (cid:19)
X
n
ebdBdNd(r+1)+t d (n+N 1)!
= AeuNv − ,
n n!(N 1)!
n>K(cid:18) (cid:19) −
X