Repetitorium Funktionentheorie: Mit über 180 ausführlich bearbeiteten Prüfungsaufgaben zur Vorbereitung auf Diplomprüfung und Staatsexamen

315 Pages·1996·6.81 MB·German

by  Andreas Herz (auth.)

Andreas Herz
Repetitorium Funktionentheorie
Aus dem Programm _____________ ___.
Mathematik
Analysis, Bd. 1-3
o.
von Forster
Funktionentheorie
von W. Fischer und 1. Lieb
Lineare Algebra
von G. Fischer
Analytische Geometrie
von G. Fischer
Geometrie
von H. Knärrer
Algebra
vonE. Kunz
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik
von U. Krengel
Diskrete Mathematik
von M. Aigner
Repetitorium Mathematik
von R.-H. Schulz
Vieweg __________________
~
Andreas Herz
Repetitorium
Funktionentheorie
Mit über 180 ausführlich bearbeiteten
Prüfungsaufgaben zur Vorbereitung auf
Diplomprüfung und Staatsexamen
Unter Mitarbeit von Martin Schalk
11
Vl8weg
Andreas Herz
Hohenwarterstraße 7
80686 München
Dieses Buch ist eine überarbeitete und erweiterte Fassung des 1994 im Deutschen Universitäts
Verlag erschienenen Titels "Repetitorium der Funktionentheorie" von A. Herz und M. Schalk
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1996
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rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-06903-2 ISBN 978-3-322-93978-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93978-4
v
Vorwort
Allen Studierenden der Funktionentheorie soll mit diesem Buch geholfen werden, den Vorlesungsstoff
besser zu verstehen, Übungsaufgaben erfolgreich zu bearbeiten und sich auf Prüfungen gezielt vorzu
bereiten. Zu diesem Zweck wurde der klassische Pflichtstoff der Funktionentheorie thematisch geglie
dert, in vielen Tabellen, Übersichten und Graphiken anschaulich dargestellt und anhand zahlreicher
detailliert bearbeiteter PrÜfungsaufgaben erläutert. Dieses Buch möchte den Studierenden als vorlesungs
begleitendes Lehrbuch, als prÜfungsvorbereitendes Repetitorium und als Aufgabensammlung mit aus
führlichen Lösungen beim Studium der Funktionentheorie eine praktische Hilfe sein.
Bei der Auswahl des Inhalts wurden neben den "Kernthemen" der Funktionentheorie auch diejenigen
Themen berücksichtigt, die in einer einsernestrigen Einführungsvorlesung oft nur am Rande oder erst im
zweiten Semester behandelt werden können, deren Wichtigkeit aber eine Aufnahme in dieses
Repetitorium rechtfertigt. Beispiele hierzu sind die konformen Abbildungen, die harmonischen
Funktionen, die Indexfunktion, die Homologieversionen der Integralsätze, der Holomorphiebegriff auf der
Riemannschen Zahlensphäre sowie die Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß.
Jeder Paragraph gliedert sich in einen Theorie- und einen Aufgabenteil. Der erste Abschnitt faßt die wich
tigsten Definitionen und Aussagen zusammen, die zum Lösen der Aufgaben des zweiten Teils benötigt
werden.
Anders als in den meisten Lehrbüchern richten sich der Inhalt, die Gliederung und die Darstellung des
Theorieteils nicht nach beweistechnischen oder historischen Gesichtspunkten. Es wurde vielmehr auf
eine knappe, aber vollständige und didaktisch sinnvolle Darbietung des Pflichtstotts Wert gelegt. So
wurden zum Beispiel die drei Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz, nämlich die Übertragung
der Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit auf die Grenzfunktion, wegen ihrer Zusammenge
hörigkeit zu einem Paragraphen zusammengefaßt. Dies wurde in diesem Buch ermöglicht durch das
Weglassen der zugehörigen Beweise, die der Studierende in Lehrbüchern finden kann, die im literatur
verzeichnis angegeben werden.
Die zahlreichen Gegenüberstellungen von komplexer und reeller Version wichtiger Sätze sollen
Vergleiche ermöglichen, das Lernen erleichtern und die Vorteile der komplexen gegenüber der reellen
Analysis verdeutlichen.
Der Aufgabenteil nimmt entsprechend der Bedeutung der Übung für den Lernprozeß einen besonders
großen Platz ein. Die Lösungen sind sehr detailliert, um sie für den Leser leichter nachvollziehbar zu
machen. Häufig auftretende Beweisschemata und Rechenroutinen werden besonders deutlich herausgear
beitet, so daß sie von den Lesern auch auf andere Aufgaben leicht angewendet werden können. Erwähnt
sei hier nur das Schema in Kapitel VII, §2 zur Integralberechnung nach der (in Prüfungen so beliebten)
Residuenmethode. Ich hoffe, daß dieses Buch den Lesern helfen wird, ihre Übungs- und Prüfungsaufgaben
zu meistern und wünsche dazu recht viel Erfolg.
Die meisten der über 1 80 bearbeiteten AUfgaben stammen aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung für
das Lehramt an Gymnasien. Für bayerische Lehramtskandidaten ist somit dieses Repetitorium zur Vor
bereitung auf das Staatsexamen besonders geeignet. Es wurden alle Examensaufgaben der Funktionen
theorie aus den Jahren 1990 bis 1994 aufgenommen. Sie wurden durch eine Auswahl weiterer
Examensaufgaben aus den Jahren 1983 bis 1989 und eigener Aufgaben ergänzt.
Zum kleinen Teil wurden die Angaben der Examensaufgaben aus Gründen der Einheitlichkeit geringfügig
abgeändert, ohne jedoch die AufgabensteIlung inhaltlich zu verändern.
Bedanken möchte ich mich bei allen, die an der Realisierung dieses Buches mitgewirkt haben:
Große Teile dieses Buches, wie z.B. die Kapitel V, VI und VII basieren auf Arbeiten meines Kollegen
Martin Schalk. Da ohne seine vierjährige Mitarbeit dieses Buch nie entstanden wäre, schulde ich ihm
größten Dank.
VI Vorwort
Für die sehr sorgfältige Überprüfung des Skripts und für viele Verbesserungsvorschläge möchte ich
mich bei meinen Kolleginnen und Kollegen Lisa Amann, Christine Frank, Andrea Hechenleitner, Rainer
Hoff und Tine Lenz recht herzlich bedanken. Ein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr. Günther
Kraus für die Unterstützung bei der Erstellung und Veröffentlichung des Skripts. Das im Deutschen
Universitäts Verlag erschienene Buch "Repetitorium der Funktionentheorie" von Martin Schalk und mir,
aus dem das vorliegende Buch hervorgegangen ist, wurde von meinen Kolleginnen Ursula Baumann und
Gabi Krämer sehr gewissenhaft und kompetent auf Fehler überprüft. Bei ihnen möchte ich mich ebenso
bedanken wie bei Herrn Prof. Dr. Heinrich Stein lein, dessen Verbesserungsvorschläge und Ideen das Buch
bereichert haben. Auch für die Ermutigungen und die wertvollen Informationen von Herrn und Frau
Oehler und Herrn Schenk möchte ich mich recht herzlich bedanken. Meiner Frau Birgit danke ich für
unendlich viel Geduld, die sie in den letzten zwei Jahren mit mir haben mußte. Schließlich danke ich Frau
Schmickler-Hirzebruch für die gute Zusammenarbeit bei der Verwirklichung dieses Vieweg-Buches.
München, im August 1996 Andreas Herz
VII
Inhaltsverzeichnis
Kapitell
Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.
§O Die komplexen Zahlen
Aufgaben zu §O 7
§1 Reelle Differenzierbarkeit -Komplexe Differenzierbarkeit 9
Aufgaben zu § 1 15
§2 Holomorphie. 18
Aufgaben zu §2 19
§3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen 22
Aufgaben zu §3 24
§4 Biholomorphe Abbildungen 32
Aufgaben zu §4 34
§5 Harmonische Funktionen 37
Aufgaben zu §5 38
Kapitel 11
Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen 41
§ 1 Konvergenzbegriffe und -kriterien 41
Aufgaben zu § 1 46
§2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz 50
Aufgaben zu §2 52
§3 Potenzreihen. 57
Aufgaben zu §3 60
§4 Laurentreihen 64
Aufgaben zu §4 66
Kapitel 111
Elementare holomorphe Funktionen.
Erweiterung des Holomorphiebegriffs 69
§1 Polynome und rationale Funktionen 69
Aufgaben zu § 1 72
§2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen 75
Aufgaben zu §2 78
§3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen 80
Aufgaben zu §3 85
§4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs 88
Aufgaben zu §4 95
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel IV
Konforme Abbildungen. 99
§1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsche Abbildungssatz . 99
Aufgaben zu § 1 · 103
§2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen) · 106
Aufgaben zu §2 · 109
§3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen. · 121
Aufgaben zu §3 .140
Kapitel V
Integration komplexer Funktionen. Integralsätze .151
§ 1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie .151
Aufgaben zu § 1 .154
§2 Holomorphie und Integrabilität . · 156
Aufgaben zu §2 .158
§3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie .163
Aufgaben zu §3 · 167
§4 Parameter integrale . · 173
Aufgaben zu §4 .174
Kapitel VI
Reihen- und Produktentwicklungen
holomorpher und meromorpher Funktionen .177
§1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor .177
Aufgaben zu § 1 182
§2 Entwicklung holomorphe Funktionen auf Kreisringen nach Laurent .187
Aufgaben zu §2 .189
§3 Nullstellen und isolierte Singularitäten . .192
Aufgaben zu §3 .196
§4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt 00 .203
Aufgaben zu §4 .207
§5 Meromorphe Funktionen . .211
Aufgaben zu §5 .216
§6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produkt satz . .220
Aufgaben zu §6 .225
Kapitel VII
Der Residuenkalkül .233
§1 Der Residuensatz . .233
Aufgaben zu § 1 .235
§2 Berechnung spezieller Integrale .243
Aufgaben zu §2 .246
§3 Der Residuensatz für den Punkt .258
00
Aufgaben zu §3 .260
IX
Übersichten und Zusammenfassungen .265
Teil A: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Biholomorphiecharakteristika .266
Teil B: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete .268
Teil C: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe .269
Teil D: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung .270
Teil E: Übersicht über die wichtigsten holomorphen Funktionen .272
Anhang A
Topologische und ordnungstheoretische Grundbegriffe .276
1. Topologische Grundbegriffe . .276
2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe. .280
Anhang B
Wege und Gebiete in der Funktionentheorie .282
1. Wege in der Zahlenebene ([ . .282
2. Gebiete in der Zahlenebene ([ .284
3. Zusammenfassung .286
Anhang C
Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen .287
Symbolverzeichnis .292
Literaturverzeichnis .295
Verzeichnis der Examensaufgaben
aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung. .296
Sachverzeichnis .300
Kapitell
Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie
Das Kapitel beginnt mit einem einführenden" nullten" Paragraphen über die komplexen Zahlen.
Im Vergleich der Mengen der reellen und komplexen Zahlen bezüglich ihrer algebraischen, ord
nungstheoretischen und lopologischen Eigenschaften soll bereits vorhandenes Wissen aufgefrischt
und ergänzt werden. Im anschließenden Paragraphen werden die reelle und die komplexe Differen
zierbarkeit vergleichend gegenübergestellt, um ihre kennzeichnenden Merkmale herauszustellen.
Hierbei liegt in der IR- bzw. <C-Linearität der Ableitungen der charakteristische Unterschied. Die
Holomorphie von Funktionen wird im zweiten Paragraphen über die komplexe Differenzierbarkeit
definiert. Im darauffolgenden Paragraphen findet man eine Auflistung der wichtigsten, zum Lösen
von Prüfungsaufgaben unentbehrlichen Eigenschaften holomorpher Funktionen. Ihm schließt sich
ein kurzer Abschnitt über die biholomorphe Abbildung an, die mit ihrem reellen Gegenstück, der
diffeomorphen Abbildung, verglichen wird. Das Kapitel endet mit einem Paragraphen über harmo
nische Funktionen, zu denen auch die Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen gehören.
§O Die komplexen Zahlen
In diesem einführenden Paragraphen werden die wichtigsten algebraischen, topologischen und
Ordnungseigenschaften der Menge der komplexen Zahlen zusammengestellt und mit den
entsprechenden Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen verglichen.
0.1 Algebraische Struktur
Durch Vorgabe von Verknüpfungen auf einer Menge M, welche gewisse algebraische Axiome er
füllen (z.S. Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz), wird eine algebraische Struktur auf M
definiert.
Durch die Festlegung der algebraischen Struktur können beispielsweise folgende algebraische
Grundbegriffe definiert werden: Summe und Produkt; Null-, Eins- und inverses Element; Nullteiler;
Einheit; Polynom; Gruppe; Körper ...
0.1.1 Definition: Der Körper der komplexen Zahlen
Die Menge 1R2 der geordneten Paare reeller Zahlen wird durch die beiden Verknüpfungen
Addition: + : 1R2 x 1R2 ~ 1R2, (a;b) + (c;d) = (a + c ; b + d) und
Multiplikation: : 1R2 x 1R2 ~ 1R2, (a;b) . (c;d) = (ac - bd ; ad + bc)
zu einem Körper, dem Körper IL: der komplexen Zahlen, mit dem Nullelement (0;0) und dem
Einselement (1 ;0).
0.1.2 Bemerkungen und Definition
a) Die Menge IR'= ((a;O) : a E IRI ist ein zu IR isomorpher Unterkörper von IL:. Aus diesem
Grund identifiziert man IR' mit IR und schreibt a anstatt (a;O).
Der Körper der reellen Zahlen IR ist somit in natürlicher Weise ein Unterkörper von IL:.