Table Of ContentFRANCESCO SPERANZA
RELAZIONI
E STRUTTURE
La cosiddetta « matematica moderna », nata da un'esigenza che si
potrebbe dire « amministrativa », di mettere ordine nel linguaggio
e nella presentazione della matematica, ha dimostrato di essere molto
di piu: ha portato un punto di vista nuovo, che si sta rivelando estre
mamente utile anche nella didattica della matematica, fin dai livelli
piu elementari. Questo volume introdurrà i lettori al linguaggio e
ai metodi della matematica moderna: prendendo l'avvio dalle nozioni
elementari di « insieme» e « relazione », che cominciano oggi a
esser familiari anche nella scuola media, si passa a uno studio piu
particolareggiato delle « applicazioni» e dei « prodotti di relazioni »,
con un cenno alle operazioni su di esse e ai grafi che vi si collegano;
la visuale si allarga poi alle « strutture algebriche », alle « strutture
topo logiche » e all'idea generale di « struttura », quale è considerata
nella matematica. Ad ogni capitolo seguono numerosi problemi con
cui il lettore è invitato a cimentarsi e che contengono anche infor
mazioni e idee nuove a complemento di quelle già presentate nel
capitolo. L'indice analitico finale è anche un piccolo glossario della
terminologia della matematica moderna.
ZANICHELLI
Francesco Speranza è attualmente titolare della Cattedra di
Geometria presso l'Università di Parma. Ha tenuto corsi uni
versitari di varie discipline matematiche. Le sue pubblica
zioni riguardano specialmente la geometria differenziale e le
discipline collegate, e la teoria dei grafi. Si interessa di pro
blemi didattici e divulgativi specialmente per quanto riguarda
i fondamenti della matematica, l'algebra e la topologia.
Matematica Moderna
Collana diretta da Delfino Imolera
8
Relazioni e strutture
Matematica Moderna
Questa serie, dedicata a tutti coloro che sentono interesse
per la matematica, si comporrà di voi umetti di mole limitata,
ciascuno rivolto a un argomento specifico, monografico,
assai circoscritto. Tra gli argomenti trattati primeggeranno
quelli meno noti, il cui interesse è venuto in luce recente
mente, attraverso ricerche di matematici moderni; non
mancheranno però argomenti classici, e anche storici, ma
si cercherà di vederli sempre in una prospettiva tipica della
matematica moderna.
Mentre poche conoscenze tecniche basteranno al lettore
per capire la maggior parte di questi libri, gli sarà sempre
richiesto un certo sforzo intellettuale.
Un lettore che, prima d'ora, abbia incontrato la matematica
soltanto a scuola, dovrebbe tener presente che un libro di
matematica non può essere letto in fretta. E non dovrebbe
pretendere di capire tutte le parti del libro alla prima lettura;
dovrebbe invece sentirsi libero di saltare le parti piu com
plicate, per ritornarvi in seguito: spesso ciò che da prin
cipio appariva oscuro viene chiarito da qualche osserva
zione successiva. D'altra parte, certi capitoli conterranno
materiale ben familiare al lettore e potranno essere letti
molto rapidamente.
Il miglior modo di imparare la matematica è facendo della
matematica, e perciò ogni libro conterrà dei problemi,
alcuni dei quali esigono molta meditazione. Si raccomanda
al lettore di prender l'abitudine di leggere con carta e
matita alla mano: in questo modo la matematica acqui
sterà per lui un significato sempre piu profondo.
L'editore desidera ringraziare il Professor Carlo Felice
Manara per i suoi consigli.
Sarà estremamente importante per l'editore poter cono
scere i giudizi dei lettori sui libri di questa serie: si spera
perciò che molti lettori vorranno scrivere le loro impressioni
e le loro critiche alla Direzione Editoriale della Casa Edi
trice Zanichelli, Via Irnerio 34, Bologna.
Francesco Speranza
Relazioni e strutture
Zanichelli Bologna
Copyright <:> 1970 Nicola Zanichelli S.p.A •• Bologna
Copertina e disegni di Paolo Sala
Redazione: Laura Felici
Indice
p. 9 Introduzione
Il 1 Nozioni sugli insiemi
1.1 Insiemi e sottoinsiemi. 1.2 Complementazione, interse-
zione, riunione. 1.3 Insiemi prodotto.
34 2 Le relazioni
2.1 Relazioni fra due o piu insiemi. 2.2 Legami fra relazioni.
2.3 Proprietà delle relazioni. 2.4 Relazioni di equivalenza.
Insieme quoziente. 2.5 Relazioni d'ordine.
65 3 Applicazioni
3.1 Definizione di applicazione. 3.2 Suriezioni, iniezioni,
biiezioni.
83 4 Prodotto di relazioni
4.1 Il prodotto di due relazioni. 4.2 Prodotto di due applica
zioni. 4.3 Pseudoprodotto di due suriezioni.
100 5 Relazioni e grafi
5.1 Grafi non orientati e grafi orientati. 5.2 Grafi semplici.
Grafi bipartiti. 5.3 Grafi e relazioni.
121 6 Strutture algebriche
6.1 Operazioni. 6.2 Proprietà delle operazioni. 6.3 Gruppi.
6.4 Reticoli. 6.5 Categorie e gruppoidi. 6.6 Strutture alge
briche. 6.7 Omomorfismi e isomorfismi.
163 7 Strutture topologiche
7.1 Spazi topologici. 7.2 Funzioni continue. Omeomorfismi.
7.3 Spazi metrici.
185 8 Strutture matematiche
8.1 Strutture di relazione. 8.2 Cos'è una struttura matematica?
8.3 Isomorfismi fra strutture. 8.4 Esempi di strutture composte
nella matematica.
201 Risoluzione di alcuni problemi
222 Suggerimenti per ulteriori letture
223 Indice analitico e glossario
Ai miei Cari
Elenco dei principali simboli usati
C insieme dei numeri complessi, o retta complessa
N insieme dei numeri naturali
Q insieme dei numeri razionali, o retta razionale
R insieme dei numeri reali, o retta reale (o numerica)
Z insieme dei numeri interi relativi
R" spazio numerico ad n dimensioni
P(I) insieme delle parti di I
classe di equivalenza cui appartiene x
classe delle applicazioni d'un elemento di if{ in un
altro (g{ è una classe di insiemi)
il3 (if{) classe delle biiezioni d'un elemento di g{ su un altro
éI (iIt) classe delle iniezioni d'un elemento di if{ in un altro
{il (if{) classe delle relazioni fra gli elementi d'una classe g{
d'insiemi
~ (iIt) classe delle suriezioni d'un elemento di g{ su un
altro
E, 12 ..l, 31
~, 12 ~, 31
C, 14 3, 16
c, 14 -V-,, 16
C,
18 20
0, 15 =>, 20
n, 18 65
--+,
U, 18 1-+, 66
~, 31 -<, 55
{ l}, 13 -<, 52
A, 13 =, 59
V, 18 83
0,
-', 17 H, 165
