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E. W. BETH
JEAN PIAGET
Relaciones entre .
la lógica formal
y el pensamiento real
EDITORIAL CIENCIA NUEVA, S. L.
CRUZ VERDE, 22 MADRID
Título de la edición original:
Epistemologie mathématique et psychologie. Essai sur les relations entre
la logique formelle et la pensée reelle
Traducción: Víctor Sánchez de Zavala
Maqueta: Alberto Corazón
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© Copyright 1961. Presses Universitaires de France, París. Derechos
exclusivos para la publicación en castellano: Editorial Ciencia Nueva,
Sociedad Limitada. Cruz Verde, 22. Madrid-13 (España).
Depósito legal: M. 20.986-1968
MARIBEL, ARTES GRÁFICAS.-Tomás Bretón, 51. MADRID-7
PRIMERA PARTE
INTRODUCCION
Con objeto de aclarar el fondo de las reflexiones que cons
tituyen los capítulos que sigue]J., me parece que será útil pre
sentar ahora, a modo de introducción, algunos sucintos datos
relativos a mi evolución intelectual.
Tras haber acabado en 1932 los estudios de matemáticas
y de física en la Universidad de Utrecht, continué estudiando
tres años más en centros universitarios: primero en el mismo
Utrecht, después en Leiden y finalmente en Bruselas. En 1933
tuve el privilegio de poder incorporarme a una agrupación
filosófica de vanguardia, la Genootschap voor Critische Philo
sophie (que a partir de 1938, debido a haber abandonado la
orientación exclusivamente neokantiana, pasó a ser la Genoot
schap voor Wetenschappelijke Philosophie [«Sociedad de filo
sofía científica»]), en la que, juntamente con el matemático y
lógico P. G. J. Vredenduin, me correspondía representar a la
filosofía de las ciencias matemáticas; pues ya en 1930 ó 1931
había yo empezado a orientarme hacia la filosofía en general,
y, más en particular, hacia la epistemología y la investigación
de los fundamentos de las matemáticas. De este modo, en 1935
pude defender una tesis de doctorado sobre Redé en aanschou
wing in de wiskunde (Razón e intuición en las matemáticas,
Groningen, 1935), si bien no ante la Facultad de Ciencias, sino
ante la de Letras, que me había admitido después de someterme
a un examen doctoral sobre psicología teórica. Posteriormente
me he liberado poco a poco de las influencias de la tradición
filosófica, principalmente del kantismo; no obstante lo cual,
8 RELACIONES ENTRE LA LÓGICA
he conservado siempre un profundo interés por la historia de
las diversas disciplinas que estudiaba.
De 1935 a 1945 enseñé matemáticas en distintas institucio
nes de enseñanza secundaria; y se comprenderá fácilmente que
durante este período tuviera muchas razones para reflexionar
sobre la psicología del pensamiento matemático. Asimismo me
estimuló en gran medida la psicolingüística de G. Mannoury, y
los estudios psicolingüísticos que consagré a los sistemas for
males, a la noción de tiempo y a la de e~pacio, fueron premia
dos por la Wiskundig Genootschap de Amsterdam en 1936,
1937 y 1938. En 1939 publiqué un informe sobre las bases psi·
cológicas de una reforma de la enseñanza matemática, trabajOl
que más tarde tuve ocasión de discutir con O. Selz; al mismo
tiempo me esforzaba por profundizar en el estudio del intui
cionismo de L. E. J. Brouwer y A. Heyting.
También había, sin embargo, influencias en sentido con
trario, especialmente provinentes del cantorismo y del logi
cismo; así, a partir de 1933, tuve la buena fortuna de poder
seguir una serie de conferencias sobre los fundamentos de las
matemáticas dada por A. Fraenkel en la Universidad de Utrecht.
Algo más tarde, el estudio que hacíamos en la Genootschap
de los trabajos de R. Carnap, y, posteriormente, los contactos
personales habidos con R. Feys, H Scholz y A. Tarski, me han
llevado a orientarme hacia la lógica en lugar de hacia la psi
cología.
Cabe interpretar este cambio de posición como una verda
dera «conversión intelectual» suscitada por consideraciones de
orden puramente científico; pero igualmente puede sospechar
se que se trata, por el contrario, de un simple retorno a unos
intereses primordiales que únicamente habían estado «repri
midos» durante cierto período, debido a determinadas influen
cias externas. Lo mismo da una cosa que otra, con tal de que
se admita que las tesis que me propongo defender no se fun
dan sobre ninguna postura tomada de antemano con respecto
a la psicología, ni sobre un logicismo o un formalismo miopes,
sino sobre una preocupación profunda y sincera por hacer jus
ticia tanto a la lógica formal como a la psicología del pensa·
miento, así como sobre unos estudios muy ahincados en ambos
campos.
FORMAL Y EL PENS~IIENTO REAL 9
Por lo demás, en los capítulos que siguen no se encontrará
ante todo una defensa de una postura personal con respecto a
las diferentes cuestiones estudiadas; pues mi punto de vista
se caracteriza, precisamente, por un esfuerzo continuo de com
prensión de cualquier otro punto de vista como posición razo
nable: aborrezco las doctrinas que nos obligan a rechazar
todas las demás opiniones como algo «carente de sentido». Al
mismo tiempo, creo que todas las concepciones tradicionales
acerca de los fundamentos de la lógica y de las matemáticas
han resl,lltado ser inadecuadas frente a la situación actual;
por ello se impone, a mi entender, la necesidad de una especie
de síntesis doctrinal de las diversas tendencias contemporáreas,
síntesis que irá tomando cuerpo, probablemente, a medida que
tales tendencias se lleven a sus posiciones más extremas.
Pese a esta convicción, y por más que actualmente mis tra
bajos científicos versen ante todo sobre la lógica matemática,
la filosofía de las ciendas y la historia de estos dominios cien
tíficos (dado que a partir de 1946 tales disciplinas forman el
tema de mi enseñanza en la Universidad de Amsterdam), no
he renunciado nunca a un contacto frecuente con la filosofía
general, contacto que, por otra parte, está facilitado principal
mente por las sesiones de la Genootschap. Y me siento especial
mente agradecido ante el hecho de que con la presente asocia
ción con J. Piaget me encuentro en una ocasión inapreciable de
orientarme una vez más en el dominio tan vasto y fascinador
de la psicología del pensamiento.
Me permito hacer notar, además, que los simposios inter
nacionales de Epistemología genética que Piaget acostumbra a
organizar en el Centro de Ginebra, y a los que he tenido el
privilegio de poder participar en 1956, 1959 y 1960, han estimu
lado poderosamente mi interés por la investigación en este cam
po. Los cordiales y abiertos debates entre representantes de
las diversas disciplinas pertinentes (epistemología, lógica, ma
temáticas, psicología), que tienen lugar en un reducido círculo,
en el que se agrupan, junto a Piaget y sus colaboradores, cierto
número de especialistas invitados, han demostrado ser súma
mente fructuosos para todos los participantes.
Gracias a estos simposios he tenido el gusto de conocer a
Jean-Blaise Grize, quien ha tenido la amabilidad de leer el
10
manuscrito de este trabajo. Las perspicaces observaciones que
me ha comunicado, y que no sólo se referían a la forma, sino
asimismo a la materia, me han permitido incorporar numero
sas e importantes mejoras al texto; y querría que aceptase esta
expresión de mi más sincera gratitud 1
•
1 En esta primera parte damos las referencias bibliográficas indi
cando solamente el nombre del autor y el año de edición, con los que
remitimos a la Bibliografía que se encuentra al final del libro. [En lo
que respecta a las ediciones en castellano -que indicamos entre parén
tesis cuadrados, como, por lo demás, todas las adiciones que hacemos
al texto original, para aclararlo u obviar alguna omisión o ambigüe
dad-, únicamente reseñamos el año cuando hay varias ediciones que
convenga distinguir entre sí (T.).]
1 EL ANALISIS DEL RAZONAMIENTO MATEMATICO ES INAC
CESIBLE PARA LA SILOGISTICA TRADICIONAL
§l. Descartes.-Hoy estamos en situación de considerar
adquirido definitivamente que el razonamiento matemático
-tal y como el que nos ofrecería, por ejemplo, una versión
perfeccionada de los Elementos de Euclides- no puede repre
sentarse mediante una sucesión de silogismos pertenecientes
al sistema de Aristóteles.
Cabe interpretar este hecho de acuerdo con una u otra de
las dos incompatibles doctrinas siguientes:
1) la teoría del silogismo no proporciona un análisis com
pleto del razonamiento matemático, pero tal análisis
será posible en cuanto se reemplace la teoría aristoté
lica por una teoría lógica ampliada que, sin embargo,
sea de carácter análogo a aquélla;
2) en el razonamiento matemático intervienen pasos que
difieren esencialmente del silogismo, por lo cual es im
posible efectuar un análisis lógico de tal razonamiento,
aun cuando dispusiéramos de una teoría lógica conside
rablemente ampliada.
Según las concepciones contemporáneas, la primera doctri
na es la exacta; sin embargo, los filósofos y los matemáticos
han creído durante mucho tiempo que era necesario aceptar
la segunda. No es posible, ni necesario, indagar ahora las fuen
tes de esta última; creo que bastará mostrar que la preconizó
Descartes y ocuparse un poco de su desarrollo ulterior.
12 RELACIONES E:t'-:TRE LA LÓGICA
Lo que para Descartes constituye la diferencia esencial en·
tre el silogismo y el razonamiento matemático es que aquél, par
tiendo de premisas universales, da lugar inmediatamente a una
conclusión igualmente universal, en tanto que el razonamiento
matemático hace intervenir una fase intermedia, que consiste
en la contemplación de un objeto individual; en efecto, según
una observación de las Respuestas a las segundas objeciones 1,
... lo propio de nuestro espíritu es formar las proposiciones generales
[a partir] del conocimiento de las particulares.
Tal fase intermedia, caracterizadora del razonamiento mate
mático con respecto al silogismo, apela a la intuición: citemos
algunas líneas de la Regla XIV 2
:
Esta idea común no pasa de un objeto a otro más que merced a
una simple comparación, por la cual afirmamos que la cosa buscada
es, en tal o cual respecto, semejante, igual o idéntica a la cosa dada;
de manera que en todo razonamiento no conocemos exactamente la
verdad sino por comparación. Por ejemplo, en éste, todo A es B, todo B
P.s e, luego todo A es e, se comparan entre sí la cosa buscada y la
dada, es decir, A y e, en cuanto a la relación que una y otra guardan con
respecto a B, etc ... Pero puesto que las formas del silogismo no sirven
para nada en cuanto a percibir la verdad, no será inútil al lector, tras
haberlas rechazado completamente, el percatarse de que todo conoci
miento que no se adquiere por la intuición pura y simple de un objeto
aislado se adquiere por comparación entre sí de dos o más objetos.
Según la Quinta meditación 3 es esencial que la intuición
,
se aplique a un objeto concreto, aunque no sea material:
... cuando imagino un triángulo, si bien puede ser que no haya en
lugar alguno del mundo, salvo en mi pensamiento, semejante figura, y
que no la haya habido .iamás, no por ello deja de haber cierta natu
raleza, forma o esencia determinada de esta figura, la cual es inmutable
t DESCARTES, 1842, pág. 114. [Adviértase que, tanto en ésta como en
las demás citas de trabajos escritos en idiomas distintos del francés,
traducimos directamente del texto original, y no a través de la versión
francesa de los autores de la presente obra; sólo se exceptúan unos
pocos casos (los escritos citados de P. Bernays, F. Enriques, D. Hilbert,
W. S. Jevons, E. Mach y T. Ziehen), que, por desgracia, hemos sido
incapaces de encontrar en sus versiones originales. En cuanto a las
ediciones en castellano, como ya hemos indicado, no seguimos su tra
ducción, sino que las citamos para orientación del lector. (T.)]
2 DESCARTES, 1842, pág. 502 [vers. cast.: Reglas ... , pág. 131].
3 DESCARTES, 1842, pág. 84 [vers. cast.: Disc. del mét. y Medit. ... ,
páginas 212-3].
FORMAL Y EL PENSAMIENTO REAL 13
y eterna, que yo no la he inventado y que no depende en modo alguno
de mi espíritu; según aparece del hecho de que se puedan demostrar
propiedades diversas de tal triángulo, a saber, que sus tres ángulos son
iguales a dos rectos, que el ángulo mayor se apoya en el lado mayor,
y otras semejantes, las cuales, quiéralo yo o no, reconozco ahora muy
clara y evidentemente que están en él, por más que anteriormente no
haya pensado en ellas de modo alguno ...
§ 2. El problema de Locke y Berkeley.-Esta concepción
plantea una grave dificultad, de la que Descartes no se dio
cuenta suficientemente: si el razonamiento se ha de aplicar a
un objeto concreto (por ejemplo, un triángulo), es preciso que
se tenga alguna garantía de que se razona sobre un objeto cual
quiera para que quepa justificar la generalización en que acaba
la demostración. Al parecer, según Descartes, la esencia del
triángulo, y no un triángulo cualquiera, es lo que constituye el
objeto de la intuición; ahora bien, Locke reformuló esta con
cepción al introducir la noción del triángulo general, que no
sería oblicuángulo ni rectángulo, ni equilátero, isósceles ni es
caleno 4
•
Observemos que la posición filosófica de Locke difiere con
siderablemente de la de Descartes: la concepción de este último
es netamente platonista, mientras que Locke, que rechaza la
doctrina de las ideas innatas, no puede aceptar más que una
ontología conceptualista. Sin embargo, para el problema que
rios ocupa actualmente esta diferencia de opiniones no tiene
gran importancia.
§ 3. Soluciones de Berkeley, Hume y Kant.-Conviene citar
aquí un texto de Berkeley en el que, con una claridad admira
ble, se plantea el problema y se hace ver el carácter inadecuado
de la solución de Locke 5
•
Mas vamos a preguntar ahora cómo podemos saber que una propo
sición sea verdadera para todos los triángulos particulares a menos
que primero la hayamos visto demostrada para la idea abstracta de
triángulo, que conviene igualmente a todos. Pues de que se pueda
demostrar que una propiedad conviene a cierto triángulo particular
no se sigue que la posea asimismo cualquier otro triángulo que no
sea igual a aquél en todos los respectos. Por ejemplo, tras haber demos-
4 LocKE, 1690, Libro IV, cap. 7, § 9.
s BERKELEY, 1710, Introducción, § 16. [La cursiva es de E. W. Beth.
(T.)].
14
RELACIONES ENTRE LA LÓGICA
trado que los tres ángulos de un triángulo isósceles y rectángulo son
iguales a dos restos, no puedo concluir de ello que esta afección con
venga a todos los demás triángulos que no tengan ni un ángulo recto
ni dos lados iguales. Por tanto, parece que, para estar seguros de que
esta proposición es universalmente verdadera, o bien hemos de cons
truir una demostración particular para cada triángulo particular, lo
cual es imposible, o bien hemos de demostrarla de una vez y para
siempre para la idea abstracta de triángulo, en la que participan indi
ferentemente todos los particulares y que representa igualmente a todos
ellos. A lo que respondo que, por más que la idea a la vista de la cual
hago toda la demostración sea, por ejemplo, la de un triángulo isósceles
y rectángulo cuyos lados tengan una longitud determinada, puedo estar
seguro, sin embargo, de que se extiende a todos los demás triángulos
rectilíneos, de cualquier tipo o tamaño que sean [ ... ]. Es cierto que el
diagrama que tengo a la vista incluye todas estas particularidades, pero
no se hace la menor mención de ellas en la demostración de la pro
posición ...
Esta explicación es, en sí misma, enteramente aceptable;
sin embargo, no constituye más que una respuesta parcial al
problema que nos ocupa. En efecto, de lo que se trata es de
dos cuestiones conexas pero distintas, a saber:
1) ¿Por qué se hace intervenir, en la demostración de
una proposición matemática universal, una fase inter
media que se refiere a un objeto particular (por ejem
plo, un triángulo)?
2) ¿Cómo es posible que un razonamiento en que inter
venga semejante fase intermedia pueda, pese a ello, dar
lugar a una conclusión universal?
Antes de continuar me importa subrayar que las observa
ciones de Descartes acerca de la estructura de los razonamien
tos matemáticos son perfectamente correctas, y que las expli
caciones de tan curiosa estructura que se le ocurren a uno a
primera vista no son aceptables. Por eje.mplo, si se quiere
demotrar que en todo triángulo la suma de los tres ángulos es
igual a dos rectos, se empieza por introducir un triángulo
particular, diciendo: «Sea ABC un triángulo cualquiera»; po
dría pensarse que semejante frase no vale más que para ilus
trar nuestro raciocinio por medio de una figura concreta, pero
esta explicación no es satisfactoria, ya que encontramos la mis
ma frase en los tratados científicos que no tienen figuras, y
que en los dominios de la matemática abstracta contemporá-
